Tìm kiếm
Nam
Bài 1 : Cho $a$ là một số tự nhiên và $(u_{n})$ là dãy được xác định bởi :
$u_{1}=u_{2}=1, u_{n+2}=14 \, u_{n+1}-u_{n}-a$ với mọi $n \geq 1$.
Tìm $a$ để tất cả các số hạng của dãy $(u_{n})$ đều là số chính phương.
Bài 2. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn điều kiện :
$ f(xy-1) + f(x)f(y) = 2xy - 1 $ với mọi $x,y \in \mathbb{R}$.
Bài 3 Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ cố định, hai điểm $B,C$ thay đổi trên đường tròn đó. Gọi $BE,CF$ là các đường cao của tam giác $ABC$. Trên đường thằng $EF$ lấy các điểm $M,N$ sao cho $\angle MBC = \angle NCB = 90^{\circ}$. Gọi $I$ là trung điểm $BC$, vẽ $MI$ cắt $AC$ tại $P$, $NI$ cắt $AB$ tại $Q$.
a) Chứng minh rằng các đường thẳng $BP,CQ$ cắt nhau tại một điểm thuộc đường tròn $(O)$.
b) Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $MP$ cắt đường tròn $(O)$ tại $X$; đường thẳng qua $A$ vuông góc với $NQ$ cắt đường tròn $(O)$ tại $Y (X,Y\neq A)$. Các tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $X,Y$ cắt nhau tại $T$. Chứng minh rằng đường thẳng qua $T$ và vuông góc với $BC$ luôn đi qua một điểm cố định khi $B,C$ thay đổi trên $(O)$.
Bài 4. Cho các số dương $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng :
$$ \dfrac{a^3+5}{a^3(b+c)}+\dfrac{b^3+5}{b^3(c+a)}+\dfrac{c^3+5}{c^3(a+b)}\geq 9 $$
Bài 5
a) Cho $p>3$ là một số nguyên tố, chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì ba số $p+2, \, 2^n+p$ và $2^n+p+2$ không thể đều là số nguyên tố.
b)Tìm số tự nhiên $n$ để tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho cả ba số $p+2, \, 2^n+p$ và $2^n+p+2$ đều là số nguyên tố.
Bài 6
Cho tam giác nhọn $ABC$ không cân nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $AB$. Trên cung $AB$ của đường tròn $(O)$ không chứa $C$ lấy các điểm $P,Q$ sao cho $\angle ACP=\angle BCQ < \angle ACQ$. Gọi $R,S$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $CQ,CP$.
a) Chứng minh rằng bốn điểm $P,Q,R,S$ cùng nằm trên một đường tròn và $M$ là tâm của đường tròn đó.
b) Vẽ $OD$ cắt $BE$ tại $K$, $OE$ cắt $AD$ tại $L$. Chứng minh rằng $K,L,M$ thằng hàng khi và chỉ khi $OH$ song song với $DE$.
Bài 7
Từ các số $1,2,3,4,5$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $n$ chữ số $(n$ nguyên dương $)$ mà trong mỗi số đó chứa một số lẻ chữ số $1$ và một số chẵn chữ số $2$ ?
