IrisMorgenster

^^ tính nhầm chút

2, b,ĐKXD: x≥-3/2
đặt x+1=a, √(2x+3)=b( b≥0)
=> 8x^2+18x+11=8a²+b²
vt lại pt theo a, b
giải pt bậc 2 rồi đối chiếu ĐK là OK

1, b,dùng đồng dư CM đc 2^(2n+1)chia 3 dư 2 => 2^(2n+1)=3k+2 (k là số tự nhiên)
dùng đồng dư c/m 2^2^(2n+1)=2^(3k+2)chia 7 dư 4 mà 31 chia 7 dư 3 => A chia hết cho 7 mà A>31>7 => A là hợp số

1, Gọi số có 4 cs cần tìm là A
33≤√A≤99 (do A là số chính phương)
Đặt √A = xy (xy là số có 2 chữ số) => 1≤x+y≤18
Vì A là SCP nên A chỉ có tận cùng là 0,1,4,5,6,9 mà A có tận cùng là số nguyên tố => A có tận cùng là 5 => y=5 => 1+5=6≤x+y≤9+5=14
Theo đề bài x+y là số chính phương => x+y =9 
=> xy=45 => A=2025 

cho $\Delta ABC$ nhọn (AB < AC). Gọi E, F lần lượt là trung điểm AC, AB, đường trung trực của đoạn thẳng EF cắt BC tại D. Giả sử I nằm trong $\angle EAF$ và nằm ngoài $\Delta AEF$ sao cho $\angle IEC=\angle DEF$ và $\angle IFB=\angle DFE$ , IA cắt đường tròn ngoại tiếp $\Delta IEF$ tại Q (Q không trùng với I)

a, Chứng minh $\angle EQF =\angle BAC + \angle EDF$

b, tiếp tuyến tại I của đường tròn ngoại tiếp $\Delta IEF$ cắt các đường thẳng AC, AB lần lượt ở M và N. Chứng minh 4 điểm C, M, B, n cùng nằm trên 1 đường tròn.

c, Gọi đường tròn ngoại tiếp tứ giác CMBN là (K). chứng minh đường tròn (K) tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF

TH1: xy $\geq$ 0 $\Rightarrow$ x > y$\Rightarrow x-y\geq 1$ (do x, y nguyên)

$\Leftrightarrow xy+32=x^{5}-y^{5}=(x-y)(x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4})\geqslant x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4}\geq 5x^{2}y^{2} (cauchy)$$\geq 5xy$

$\Leftrightarrow 4xy\leq 32\Leftrightarrow xy\leq 8$ 

C/m x, y chẵn => $\Rightarrow x^{5}-y^{5} \vdots 32\Leftrightarrow xy\vdots 32$ $\Rightarrow xy= 0 \Rightarrow x=0, y=-2$ hoặc $x=2, y=0$

TH2: $xy<0$

xét $x>0, y<0$ $\Rightarrow x^{5}<32$ mà $x\vdots 2\Rightarrow x\epsilon \o $ (do x nguyên)

xét $x<0, y>0$ $\Rightarrow -x^{5}+y^{5}+xy+32=0$

mà $\Rightarrow -x^{5}+y^{5}+xy+32\geq x^{2}+y^{2}+xy=32>32>0$

$\Rightarrow x, y\epsilon \o $