Diepnguyencva

Cho các số $a,b,c > 0$ và $a+b+c=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

 

$ P= \frac {a^2}{b}+\frac {b^2}{c}+\frac {c^2}{a}+\frac {1}{a^2+b^2+c^2}$

$(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})=(a^{3}+ab^{2})+(b^{3}+bc^{2})+(c^{3}+ca^{2})+(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)\geq 3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a) \Rightarrow a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}$

Mặt khác, P$\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{^{2}}}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

$\sqrt[3]{3+\sqrt{x}}> -\sqrt[3]{3-\sqrt{x}}=\sqrt[3]{\sqrt{x}-3}\Leftrightarrow \sqrt{x}+3> \sqrt{x}-3\Rightarrow A> 0 A^{3}=(\sqrt[3]{\sqrt{x}+3}+\sqrt[3]{-\sqrt{x}+3})^{3}\leq 4(3+3)=24 \Rightarrow A\leq \sqrt[3]{24}< 3$

Bài 93: Cho tam giác ABC nhọn và cân tại C. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Gọi H là giao điểm BF và CE. Đường tròn đường kính EC cắt AC tại M. Gọi K là giao điểm của BM và (O). Chứng minh KC đi qua trung điểm HF.

Bài 94: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC; cát tuyến ADE sao cho BD< CD; AD< AE. Gọi H là giao điểm của OA và BC. Gọi I là trung điểm DE. Kéo dài IH cắt (O) tại K sao cho H nằm giữa I và K. Gọi S là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OKA. Chứng minh OS vuông góc IK.

Ta có: $\frac{a^{2}(1-2b)}{b} + b(1-2b)\geq 2a(1-2b)$

Tương tự, VT$\geq \sum 2a(1-2b)-\sum b(1-2b)\geq \sum a+\sum 2a^{2}-4\geq \sqrt{3}-2$

Bài 85: Cho tam giác ABC (AB<AC) nội tiếp (O). Phân giác góc BAC cắt (O) tại D khác A, E đối xứng D qua O. Gọi F là 1 điểm trên cung BD không chứa A,C của (O); FE cắt BC tại G, H thuộc AF sao cho GH song song với AD. Chứng minh HG là phân giác BHC.