Đến nội dung


gosh

Đăng ký: 09-09-2017
Offline Đăng nhập: 28-07-2021 - 15:42
*****

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Nhóm cơ bản và đồng điều: lý thuyết

25-06-2021 - 01:37

1. Groupoid cơ bản

 

Định nghĩa 1.1. Cho $f,g:I\rightarrow X$ là các đường với $f(1)=g(0)$. Định nghĩa đường $f*g:I\rightarrow X$ như sau:

 

            $(f*g)(t)= \left\{\begin{matrix} f(2t) & với \ 0\leq t\leq \frac{1}{2}; \\ g(2t-1) & với \  \frac{1}{2}\leq t \leq 1. \end{matrix}\right.$

      

Bài toán. Nếu không gian $X$ contractible và $Y$ liên thông đường thì hai ánh xạ liên tục bất kỳ $X\rightarrow Y$ là đồng luân và mỗi ánh xạ đó đều là null-homotopic.

Chứng minh.

        Vì $X$ contractible nên $1_x\simeq k$ với $k:X\rightarrow X$ là một ánh xạ hằng.

        Lấy $f,g:X\rightarrow Y$ là hai ánh xạ liên tục, ta có:\\

        $f= 1_X\circ f \simeq k\circ f \simeq k_1 \text{ với } k_1:X\rightarrow Y$ là ánh xạ hằng biến tất cả các phần tử của $X$ thành $y_1$; 

        $g= 1_X\circ g \simeq k\circ g \simeq k_2 \text{ với } k_2:X\rightarrow Y$ là ánh xạ hằng biến tất cả các phần tử của $X$ thành $y_2$.

        Ta cần chứng minh $k_1\simeq k_2$.

        Do $Y$ là liên thông đường nên tồn tại một đường $h:I\rightarrow Y$ với $h(0)=y_1$ và $h_1=y_2$.

        Ta xây dựng đồng luân $F:X\times I\rightarrow Y$ mà $F(x,t)=h(t)$ với mọi $t\in [0,1]$ và $x\in X$.

 

Định nghĩa 1.2. Cho $A\subset X$ và $f_0,f_1:x\rightarrow Y$ là các ánh xạ liên tục với $f_0|A=f_1|A$. Ta viết $$f_0\simeq f_1\ \text{rel}\ A$$ nếu tồn tại một đồng luân $F:f_0 \simeq f_1$ mà  $F(a,t)=f_0(a)=f_1(a)\ \text{với mọi}\ a\in A\ \text{và mọi}\ t\in \textbf{I}$.

Đồng luân $F$ được gọi là đồng luân tương đối (đồng luân rel $A$).

Nhận xét: Quan hệ đồng luân rel $A$ là một quan hệ tương đương.

 

Định nghĩa 1.3. Cho $\dot{\textbf{I}}=\left\{0,1 \right\}$. Lớp tương đương của đường $f:I\rightarrow X\ \textit{rel}\ \dot{\textbf{I}}$ được gọi là lớp đường của $f$ và ký hiệu là $[f]$.

File gửi kèm  pathhomotopy.png   25.51K   9 Số lần tải

 

 

Định lý 1.4. Giả sử $f_0,f_1,g_0,g_1$ là các đường trong $X$ với $f_0\simeq f_1\text{rel} \ \dot{\textbf{I}}\ \text{và} \ g_0\simeq g_1 \ \text{rel}\ \dot{\textbf{I}}.$

Nếu $f_0(1)=f_1(1)=g_0(0)=g_1(0)$ thì $f_0*g_0\simeq f_1*g_1 \ \text{rel}\ \dot{\textbf{I}}. $

Chứng minh.

        Với đồng luân tương đối $F:f_0\simeq f_1 \ \text{rel}\ \dot{\textbf{I}} $ và $G:g_0\simeq g_1 \ \text{rel}\ \dot{\textbf{I}}$, ta xây dựng được đồng luân tương đối $H:f_0*g_0\simeq f_1*g_1 \ \text{rel}\ \dot{\textbf{I}}$ như sau:

        $H(t,s)=\left\{\begin{matrix} F(2t,s) & với \ 0\leq t \leq \frac{1}{2} \\ G(21-1,s) & với \ \frac{1}{2}\leq t \leq 1. \end{matrix}\right .$

        File gửi kèm  tich.png   41.72K   8 Số lần tải
 

Định nghĩa 1.5. Nếu $f:\textbf{I} \rightarrow X$ là một đường từ $x_0$ đến $x_1$, ta gọi $x_0$ là \textbf{điểm đầu} của $f$ ($x_0=\alpha(f)$) và $x_1$ là điểm cuối của $f$ ($x_1=\omega(f)$).

 Một đường được gọi là một đường đóng nếu nó có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.

 

Định nghĩa 1.6. Nếu $p\in X$ thì hàm hằng $i_p:\textbf{I}\rightarrow X$ với $i_p(t)=p$ với mọi $t \in \textbf{I}$ được gọi là đường hằng tại $p$.

 Nếu $f:\textbf{I}\rightarrow X$ là một đường thì ta định nghĩa đường nghịch đảo $f^{-1}:\textbf{I}\rightarrow X$ ($t\mapsto f(1-t))$.

 

Nhận xét: Nếu $f$ là đường đóng thì ta có

        $f*f^{-1}(t)=\left\{\begin{matrix} f(2t) & với \ 0\leq t\leq \frac{1}{2} \\ f(2-2t) & với \ \frac{1}{2}\leq t \leq 1 \end{matrix}\right.$

        $f^{-1}*f(t)=\left\{\begin{matrix} f(1-2t) & với \ 0\leq t\leq \dfrac{1}{2}\\ f(2t-1) & với \ \dfrac{1}{2}\leq t \leq 1. \end{matrix}\right.$

Khi đó, $f*f^{-1}\neq f^{-1}*f$.

 

Định lý 1.7. Nếu $X$ là một không gian thì tập các lớp đường trong $X$ cùng với phép toán $[f][g]=[f*g]$ tạo thành một hệ thống đại số (được gọi là groupoid) thỏa mãn các tính chất sau:

            (i) mỗi lớp đường $[f]$ với điểm đầu $\alpha[f]=p\in X$ và điểm cuối$ \omega[f]=q\in X$ thì $[i_p][f]=[f]=[f][i_q];$

            (ii) tính chất kết hợp khi có thể; 

            (iii) nếu $p=\alpha[f]$ và $q=\omega[f]$ thì $[f][f^{-1}]=[i_p]\ \text{và} \ [f^{-1}][f]=[i_q].$

Chứng minh.

        (i)File gửi kèm  i.png   12.57K   9 Số lần tải

        Ta chỉ cần chứng minh $i_p*f\simeq f  \text{rel}\ \dot{\textbf{I}}$, còn lại tương tự.

        Phương trình đoạn thẳng nối điểm $(0,1)$ với $(\frac{1}{2},0)$ là $2s=1-t$.

        Với mỗi $t\in [0,1]$ cố định, định nghĩa một ánh xạ affine: $\theta_t:[\frac{1-t}{2},1]\rightarrow [0,1]$ nối các điểm mút của hai đoạn đó.

        Ta xây dựng đồng luân $H:i_p*f\simeq f\text{ rel}\ \dot{\textbf{I}}$  như sau:

 

        $H(s,t)=\left\{\begin{matrix} p \ với \ 2s\leq 1-t \\ f(\theta_t(s)) với \ 2s \geq 1-t. \end{matrix}\right .$

 

        (ii)File gửi kèm  ii.png   7.55K   8 Số lần tải

        Phương trình đoạn thẳng nối $(\frac{1}{2},0)$ và $(\frac{1}{4},1)$ là $s=\frac{2-t}{4}$.

        Phương trình đoạn thẳng nối $(\frac{3}{4},0)$ và $(\frac{1}{2},1)$ là $s=\frac{3-t}{4}$.

        Tương tự (i), với mỗi $t\in [0,1]$, ta xây dựng ánh xạ affine: $\theta_{1t}:[0,\frac{2-t}{4}]\rightarrow [0,1]$;

        $\theta_{2t}:[\frac{2-t}{4},\frac{3-t}{4}]\rightarrow [0,1]$;

        $\theta_{1t}:[\frac{3-t}{4},1]\rightarrow [0,1]$.

        Ta xây dựng đồng luân $H:(f*g)*h\simeq f*(h*g)\text{ rel}\ \dot{\textbf{I}}$  như sau:

 

        $H(s,t)=\left\{\begin{matrix} f(\theta_{1t}(s)) \ với\ s\in[0,\frac{2-t}{4}] \\ g(\theta_{2t}(s)) \ với \ s\in [\frac{2-t}{4},\frac{3-t}{4}] \\ h(\theta_{3t}(s)) \ với \ s\in [\frac{3-t}{4},1] \end{matrix}\right.$

 

        (iii) Ta chỉ cần chứng minh $f*f^{-1}\simeq i_p\text{ rel}\ \dot{\textbf{I}}$, còn lại tương tự.

        xây dưng đồng luân $H:f*f^{-1}\simeq i_p\text{ rel}\ \dot{\textbf{I}}$ như sau:

 

        $H(s,t)=\left\{\begin{matrix} f(2s(1-t)) \ với \ s\in [0,\frac{1}{2}] \\ f(2(1-s)(1-t)) \ với\ s \in [\frac{1}{2},1]. \end{matrix}\right .$

 

Định nghĩa 1.8. Cố định một điểm $x_0\in X$ và gọi điểm đó là điểm nền. Nhóm cơ bản của $X$ với điểm nền $x_0$ là

               $$\pi_1(X,x_0)=\left\{[f]: [f]\ là \ lớp \ đường \ trong \ X với \alpha[f]=x_0=\omega[f] \right\}$$

cùng với phép toán $[f][g]=[f*g]$.

 

       

 2. Hàm tử $\pi_1$

Đinh lý 2.1.  $\pi_1:\mathbf{Top_*}\rightarrow\mathbf{Group}$ là một hàm tử. Hơn nữa, nếu $h,k:(X,x_o)\rightarrow(Y,y_0)$ và $h\simeq k\ \text{rel}\left \{x_0\right \}$ thì $\pi_1(h)=\pi_1(k)$.

File gửi kèm  Untitled.png   7.97K   9 Số lần tải

 

Định lí 2.2. Nếu $X$ là không gian liên thông đường và $x_0,x_1\in X$, thì $\pi_1(X,x_0)\cong \pi_1(X,x_1).$

Chứng minh:

         Lấy $\gamma$ là đường trong $X$ đi từ $x_0$ đến $x_1$. Xác định đồng cấu $\phi:\pi_1(X,x_0)\rightarrow\pi_1(X,x_1)$ ($[f]\mapsto [\gamma^{-1}][f][\gamma]$. Sử dụng định lí 1.7 suy ra $\phi$ là một đẳng cấu.

        File gửi kèm  hinh1.png   3.17K   8 Số lần tải


Trong chủ đề: Topic Hình Học Phẳng Ôn Thi Chọn Đội Tuyển Thành Phố

14-07-2018 - 22:00

Bài 17(aops): Tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Gọi $d$ là đường thẳng Euler.$ M,N$ là ảnh đối xứng của $B,C$ qua $d$. $P$ bất kì thuộc $d$.
a) $PM$ giao $AC$ tại $E$, $PN$ giao $AB$ tại $F$ .$S$ đối xứng $H$ qua $EF$. Chứng minh $S$ thuộc $(O)$
b)Chứng minh $PS$ đi qua điểm cố định

Trong chủ đề: Topic Hình Học Phẳng Ôn Thi Chọn Đội Tuyển Thành Phố

04-07-2018 - 20:21

 Nếu đoạn cuối thì xoay góc tí là ra thôi!

xoay em xem với ạ em xoay ko ra :3


Trong chủ đề: Topic Hình Học Phẳng Ôn Thi Chọn Đội Tuyển Thành Phố

03-07-2018 - 22:12

Bài 13 https://khuongworldo...nh-hoc-hay.html


Trong chủ đề: TOPIC thảo luận, trao đổi toán thi học sinh giỏi khối 10,11 .

18-12-2017 - 21:46

Bài toán 34 : Cho $F_{n}=2^{2^n}+1$ là số Fermat thứ $n$.

a, Với mỗi $n$ nguyên dương. Gọi $p$ là ước nguyên tố lẻ bất kì của $F_{n}$. Chứng minh $p \equiv 1$ (mod $2^{n+2}$).

b, Chứng minh tồn tại vô số số nguyên tố $p,q$ phân biệt thỏa $q \mid 2^{p-1}-1$ và $p \mid 2^{q-1}-1$.

b,

Bổ đề: 2 số Fermat phân biệt thì nguyên tố cùng nhau

Xét 2 số Fermat $F_{a}$ và $F_{a+b}$ với a,b nguyên dương 

Gọi $(F_{a},F_{b})=d$ thì $d \mid 2^{2^a}+1 \mid 2^{2^{a+b}}-1$ và $d \mid 2^{2^{a+b}}+1$

Suy ra $d \mid 2$ mà $F_{a}$ lẻ suy ra đpcm.

Trở lại bài toán:

Chọn $p$ là ước nguyên tố của $F_{n}$ và $q$ là ước nguyên tố của $F_{n-1}$

Theo bổ đề nên $p$,$q$ phân biệt

Theo câu a) suy ra $p-1=2^{n+2}a$ và $q-1=2^{n+1}b$ dễ dàng thấy $p,q$ thỏa mãn giả thiết

Do đó theo bổ đề tồn tại vô số số $p,q$ thỏa mãn.