gosh

1. Groupoid cơ bản

Định nghĩa 1.1. Cho $f,g:I\rightarrow X$ là các đường với $f(1)=g(0)$. Định nghĩa đường $f*g:I\rightarrow X$ như sau:

            $(f*g)(t)= \left\{\begin{matrix} f(2t) & với \ 0\leq t\leq \frac{1}{2}; \\ g(2t-1) & với \  \frac{1}{2}\leq t \leq 1. \end{matrix}\right.$

Bài toán. Nếu không gian $X$ contractible và $Y$ liên thông đường thì hai ánh xạ liên tục bất kỳ $X\rightarrow Y$ là đồng luân và mỗi ánh xạ đó đều là null-homotopic.

Chứng minh.

        Vì $X$ contractible nên $1_x\simeq k$ với $k:X\rightarrow X$ là một ánh xạ hằng.

        Lấy $f,g:X\rightarrow Y$ là hai ánh xạ liên tục, ta có:\\

        $f= 1_X\circ f \simeq k\circ f \simeq k_1 \text{ với } k_1:X\rightarrow Y$ là ánh xạ hằng biến tất cả các phần tử của $X$ thành $y_1$; 

        $g= 1_X\circ g \simeq k\circ g \simeq k_2 \text{ với } k_2:X\rightarrow Y$ là ánh xạ hằng biến tất cả các phần tử của $X$ thành $y_2$.

        Ta cần chứng minh $k_1\simeq k_2$.

        Do $Y$ là liên thông đường nên tồn tại một đường $h:I\rightarrow Y$ với $h(0)=y_1$ và $h_1=y_2$.

        Ta xây dựng đồng luân $F:X\times I\rightarrow Y$ mà $F(x,t)=h(t)$ với mọi $t\in [0,1]$ và $x\in X$.

Định nghĩa 1.2. Cho $A\subset X$ và $f_0,f_1:x\rightarrow Y$ là các ánh xạ liên tục với $f_0|A=f_1|A$. Ta viết $$f_0\simeq f_1\ \text{rel}\ A$$ nếu tồn tại một đồng luân $F:f_0 \simeq f_1$ mà  $F(a,t)=f_0(a)=f_1(a)\ \text{với mọi}\ a\in A\ \text{và mọi}\ t\in \textbf{I}$.

Đồng luân $F$ được gọi là đồng luân tương đối (đồng luân rel $A$).

Nhận xét: Quan hệ đồng luân rel $A$ là một quan hệ tương đương.

Định nghĩa 1.3. Cho $\dot{\textbf{I}}=\left\{0,1 \right\}$. Lớp tương đương của đường $f:I\rightarrow X\ \textit{rel}\ \dot{\textbf{I}}$ được gọi là lớp đường của $f$ và ký hiệu là $[f]$.

 pathhomotopy.png   25.51K   60 Số lần tải

Định lý 1.4. Giả sử $f_0,f_1,g_0,g_1$ là các đường trong $X$ với $f_0\simeq f_1\text{rel} \ \dot{\textbf{I}}\ \text{và} \ g_0\simeq g_1 \ \text{rel}\ \dot{\textbf{I}}.$

Nếu $f_0(1)=f_1(1)=g_0(0)=g_1(0)$ thì $f_0*g_0\simeq f_1*g_1 \ \text{rel}\ \dot{\textbf{I}}. $

Chứng minh.

        Với đồng luân tương đối $F:f_0\simeq f_1 \ \text{rel}\ \dot{\textbf{I}} $ và $G:g_0\simeq g_1 \ \text{rel}\ \dot{\textbf{I}}$, ta xây dựng được đồng luân tương đối $H:f_0*g_0\simeq f_1*g_1 \ \text{rel}\ \dot{\textbf{I}}$ như sau:

        $H(t,s)=\left\{\begin{matrix} F(2t,s) & với \ 0\leq t \leq \frac{1}{2} \\ G(21-1,s) & với \ \frac{1}{2}\leq t \leq 1. \end{matrix}\right .$

          tich.png   41.72K   59 Số lần tải
 

Định nghĩa 1.5. Nếu $f:\textbf{I} \rightarrow X$ là một đường từ $x_0$ đến $x_1$, ta gọi $x_0$ là \textbf{điểm đầu} của $f$ ($x_0=\alpha(f)$) và $x_1$ là điểm cuối của $f$ ($x_1=\omega(f)$).

 Một đường được gọi là một đường đóng nếu nó có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.

Định nghĩa 1.6. Nếu $p\in X$ thì hàm hằng $i_p:\textbf{I}\rightarrow X$ với $i_p(t)=p$ với mọi $t \in \textbf{I}$ được gọi là đường hằng tại $p$.

 Nếu $f:\textbf{I}\rightarrow X$ là một đường thì ta định nghĩa đường nghịch đảo $f^{-1}:\textbf{I}\rightarrow X$ ($t\mapsto f(1-t))$.

Nhận xét: Nếu $f$ là đường đóng thì ta có

        $f*f^{-1}(t)=\left\{\begin{matrix} f(2t) & với \ 0\leq t\leq \frac{1}{2} \\ f(2-2t) & với \ \frac{1}{2}\leq t \leq 1 \end{matrix}\right.$

        $f^{-1}*f(t)=\left\{\begin{matrix} f(1-2t) & với \ 0\leq t\leq \dfrac{1}{2}\\ f(2t-1) & với \ \dfrac{1}{2}\leq t \leq 1. \end{matrix}\right.$

Khi đó, $f*f^{-1}\neq f^{-1}*f$.

Định lý 1.7. Nếu $X$ là một không gian thì tập các lớp đường trong $X$ cùng với phép toán $[f][g]=[f*g]$ tạo thành một hệ thống đại số (được gọi là groupoid) thỏa mãn các tính chất sau:

            (i) mỗi lớp đường $[f]$ với điểm đầu $\alpha[f]=p\in X$ và điểm cuối$ \omega[f]=q\in X$ thì $[i_p][f]=[f]=[f][i_q];$

            (ii) tính chất kết hợp khi có thể; 

            (iii) nếu $p=\alpha[f]$ và $q=\omega[f]$ thì $[f][f^{-1}]=[i_p]\ \text{và} \ [f^{-1}][f]=[i_q].$

Chứng minh.

        (i)  i.png   12.57K   59 Số lần tải

        Ta chỉ cần chứng minh $i_p*f\simeq f  \text{rel}\ \dot{\textbf{I}}$, còn lại tương tự.

        Phương trình đoạn thẳng nối điểm $(0,1)$ với $(\frac{1}{2},0)$ là $2s=1-t$.

        Với mỗi $t\in [0,1]$ cố định, định nghĩa một ánh xạ affine: $\theta_t:[\frac{1-t}{2},1]\rightarrow [0,1]$ nối các điểm mút của hai đoạn đó.

        Ta xây dựng đồng luân $H:i_p*f\simeq f\text{ rel}\ \dot{\textbf{I}}$  như sau:

        $H(s,t)=\left\{\begin{matrix} p \ với \ 2s\leq 1-t \\ f(\theta_t(s)) với \ 2s \geq 1-t. \end{matrix}\right .$

        (ii)  ii.png   7.55K   73 Số lần tải

        Phương trình đoạn thẳng nối $(\frac{1}{2},0)$ và $(\frac{1}{4},1)$ là $s=\frac{2-t}{4}$.

        Phương trình đoạn thẳng nối $(\frac{3}{4},0)$ và $(\frac{1}{2},1)$ là $s=\frac{3-t}{4}$.

        Tương tự (i), với mỗi $t\in [0,1]$, ta xây dựng ánh xạ affine: $\theta_{1t}:[0,\frac{2-t}{4}]\rightarrow [0,1]$;

        $\theta_{2t}:[\frac{2-t}{4},\frac{3-t}{4}]\rightarrow [0,1]$;

        $\theta_{1t}:[\frac{3-t}{4},1]\rightarrow [0,1]$.

        Ta xây dựng đồng luân $H:(f*g)*h\simeq f*(h*g)\text{ rel}\ \dot{\textbf{I}}$  như sau:

        $H(s,t)=\left\{\begin{matrix} f(\theta_{1t}(s)) \ với\ s\in[0,\frac{2-t}{4}] \\ g(\theta_{2t}(s)) \ với \ s\in [\frac{2-t}{4},\frac{3-t}{4}] \\ h(\theta_{3t}(s)) \ với \ s\in [\frac{3-t}{4},1] \end{matrix}\right.$

        (iii) Ta chỉ cần chứng minh $f*f^{-1}\simeq i_p\text{ rel}\ \dot{\textbf{I}}$, còn lại tương tự.

        xây dưng đồng luân $H:f*f^{-1}\simeq i_p\text{ rel}\ \dot{\textbf{I}}$ như sau:

        $H(s,t)=\left\{\begin{matrix} f(2s(1-t)) \ với \ s\in [0,\frac{1}{2}] \\ f(2(1-s)(1-t)) \ với\ s \in [\frac{1}{2},1]. \end{matrix}\right .$

Định nghĩa 1.8. Cố định một điểm $x_0\in X$ và gọi điểm đó là điểm nền. Nhóm cơ bản của $X$ với điểm nền $x_0$ là

               $$\pi_1(X,x_0)=\left\{[f]: [f]\ là \ lớp \ đường \ trong \ X với \alpha[f]=x_0=\omega[f] \right\}$$

cùng với phép toán $[f][g]=[f*g]$.

 2. Hàm tử $\pi_1$

Đinh lý 2.1.  $\pi_1:\mathbf{Top_*}\rightarrow\mathbf{Group}$ là một hàm tử. Hơn nữa, nếu $h,k:(X,x_o)\rightarrow(Y,y_0)$ và $h\simeq k\ \text{rel}\left \{x_0\right \}$ thì $\pi_1(h)=\pi_1(k)$.

 Untitled.png   7.97K   62 Số lần tải

Định lí 2.2. Nếu $X$ là không gian liên thông đường và $x_0,x_1\in X$, thì $\pi_1(X,x_0)\cong \pi_1(X,x_1).$

Chứng minh:

         Lấy $\gamma$ là đường trong $X$ đi từ $x_0$ đến $x_1$. Xác định đồng cấu $\phi:\pi_1(X,x_0)\rightarrow\pi_1(X,x_1)$ ($[f]\mapsto [\gamma^{-1}][f][\gamma]$. Sử dụng định lí 1.7 suy ra $\phi$ là một đẳng cấu.

          hinh1.png   3.17K   56 Số lần tải

Gon-ichi, cha của Kunihiko, từng học ngành nông nghiệp và chính trị ở Tokyo Imperial University, trong thời gian sinh con trai, ông làm việc ở Bộ Nông nghiệp. Ông thôi việc ở Bộ Nông nghiệp năm 1939 và được bầu vào Nghị viện Nhật Bản, nơi ông phục vụ xuyên suốt Thế chiến II. Sau khi Nhật Bản bị đánh bại, phe đồng minh cách chức ông. Ngoài những hoạt động đó, ông có viết khoảng 40 cuốn sách chuyên môn và 350 bài báo chuyên môn. Ichi, mẹ của Kunihiko, là con gái của hiệu trưởng Kyuji Kanai. Kunihiko là con cả trong gia đình, có một người em trai tên là Nobuhiko (sinh năm 1919).

Bài 13 https://khuongworldo...nh-hoc-hay.html

Bài toán 34 : Cho $F_{n}=2^{2^n}+1$ là số Fermat thứ $n$.

a, Với mỗi $n$ nguyên dương. Gọi $p$ là ước nguyên tố lẻ bất kì của $F_{n}$. Chứng minh $p \equiv 1$ (mod $2^{n+2}$).

b, Chứng minh tồn tại vô số số nguyên tố $p,q$ phân biệt thỏa $q \mid 2^{p-1}-1$ và $p \mid 2^{q-1}-1$.

b,

Bổ đề: 2 số Fermat phân biệt thì nguyên tố cùng nhau

Xét 2 số Fermat $F_{a}$ và $F_{a+b}$ với a,b nguyên dương 

Gọi $(F_{a},F_{b})=d$ thì $d \mid 2^{2^a}+1 \mid 2^{2^{a+b}}-1$ và $d \mid 2^{2^{a+b}}+1$

Suy ra $d \mid 2$ mà $F_{a}$ lẻ suy ra đpcm.

Trở lại bài toán:

Chọn $p$ là ước nguyên tố của $F_{n}$ và $q$ là ước nguyên tố của $F_{n-1}$

Theo bổ đề nên $p$,$q$ phân biệt

Theo câu a) suy ra $p-1=2^{n+2}a$ và $q-1=2^{n+1}b$ dễ dàng thấy $p,q$ thỏa mãn giả thiết

Do đó theo bổ đề tồn tại vô số số $p,q$ thỏa mãn.

Bài toán 34 : Cho $F_{n}=2^{2^n}+1$ là số Fermat thứ $n$.

a, Với mỗi $n$ nguyên dương. Gọi $p$ là ước nguyên tố lẻ bất kì của $F_{n}$. Chứng minh $p \equiv 1$ (mod $2^{n+2}$).

Bổ đề 1: $p$ là ước nguyên tố lẻ của $a^{2^{n}}+1$ , a là số tự nhiên, $a>1$ thì $p \equiv 1$ (mod $2^{n+1}$)

Bổ đề 2: Nếu $p$ là số nguyên tố thỏa mãn $p \equiv 1$ (mod $8$) thì theo bổ đề 2 tồn tại $x$ để $x^{2} \equiv 2$ (mod $p$)

Trở lại bài toán:

Áp dụng bổ đề 1 suy ra  $p \equiv 1$ (mod $2^{n+1}$) nên $p \equiv 1$ (mod $8$)

Suy ra tồn tại $x$ để $x^{2} \equiv 2$ (mod $p$)

Suy ra $(x^{2})^{2^{n}} \equiv 2^{2^{n}} \equiv -1$ (mod  $p$)

Suy ra $x^{2^{n+1}} \equiv -1$ (mod $p$)

Áp dụng lần nữa bổ đề 1 suy ra  $p \equiv 1$ (mod $2^{n+2}$).

Bài 33 (sưu tầm): Tìm n là số nguyên dương, p là số nguyên tố, n $\leq$ 2p sao cho