Đến nội dung

phongmaths

phongmaths

Đăng ký: 25-09-2017
Offline Đăng nhập: 07-08-2019 - 22:27
-----

Trong chủ đề: Cho x+y=2. Chứng minh x^5 + y^5 ≥ 2

14-07-2019 - 21:30

Ta có 

$2(a^5+b^5)=(a^5+b^5)(a+b)\geq (a^3+b^3)^2$

$(a^5+b^5)\geq \frac{(a^3+b^3)^2}{2}$

Mà $2(a^3+b^3)=(a+b)(a^3+b^3)\geq (a^2+b^2)^2$

$\Rightarrow a^3+b^3\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}$

$\Rightarrow a^5+b^5\geq\frac{( \frac{(a^2+b^2)^2}{2})^2}{2}=\frac{(a^2+b^2)^4}{8}\geq \frac{(\frac{(a+b)^2}{2})^4}{8} =\frac{(\frac{(2)^2}{2})^4}{8}=2$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=1


Trong chủ đề: Bất đẳng thức

14-07-2019 - 15:02

Ta có Do $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ nên 

$\frac{bc}{a^{2}+1}=\frac{bc}{a^{2}+a^2+b^2+c^2}=\frac{bc}{(a^2+b^2)+(a^2+c^2)}\leq \frac{1}{4}(\frac{(b+c)^2}{(a^2+b^2)+(a^2+c^2)})$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwart ta có

 $\frac{bc}{a^{2}+1}\leq \frac{1}{4}(\frac{(b+c)^2}{(a^2+b^2)+(a^2+c^2)})\leq \frac{1}{4}(\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2})$

CMTT suy ra $\frac{ac}{b^{2}+1}\leq \frac{1}{4}(\frac{a^2}{b^2+a^2}+\frac{c^2}{b^2+c^2}),\frac{ab}{c^{2}+1}\leq \frac{1}{4}(\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2})$

$\frac{bc}{a^{2}+1}+\frac{ac}{b^{2}+1}+\frac{ab}{c^{2}+1}\leq \frac{1}{4}(\sum (\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{a^2}{b^2+a^2}))=\frac{3}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$


Trong chủ đề: 4($\sum \frac{1}{a+b})-\sum \frac{1}{a}\leq...

14-07-2019 - 10:44

Ta có $(a+b+c)^4=a^4+b^4+c^4+12abc(a+b+c)+4ab(a^2+b^2)+4bc(b^2+c^2)+4ca(c^2+a^2)+6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

BĐT phải chứng minh là 

$8(a^{4}+b^{4}+c^{4})+19abc(a+b+c)\geq a^4+b^4+c^4+12abc(a+b+c)+4ab(a^2+b^2)+4bc(b^2+c^2)+4ca(c^2+a^2)+6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

$\Leftrightarrow 7(a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c))\geq 4ab(a^2+b^2)+4bc(b^2+c^2)+4ca(c^2+a^2)+6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

Áp dụng BĐT Schur bậc 4 ta có $a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)\geq ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)$

$\Rightarrow VT\geq 7(ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2))=4(ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2))+3(ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2))\geq 4(ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2))+6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=VP$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c  hoặc a=b,c=0 và các hoán vị


Trong chủ đề: $\sum \frac{a+b}{c} \geq 2\sqrt{( \sum a)(...

13-07-2019 - 14:55

Mình viết nhanh nên nhầm một chút. Cảm ơn bạn 


Trong chủ đề: $\sum \frac{a+b}{c} \geq 2\sqrt{( \sum a)(...

12-07-2019 - 22:41

Ta có: Không mất tính tổng quát, giả sử c nằm giữa a và b

Áp dụng BĐT AM-GM ta có 

$2\sqrt{(a+b+c)(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab})}=2\sqrt{\frac{(a+b+c)}{c}.c(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab})}\leq \frac{(a+b+c)}{c}+c(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab})=\frac{a+b}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1+\frac{c^2}{ab}$

BĐT cần chứng minh là $\frac{a+b}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1+\frac{c^2}{ab}\leq \frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\Leftrightarrow 1+\frac{c^2}{ab}\leq \frac{c}{a}+\frac{c}{b}\Rightarrow (\frac{c}{a}-1)(\frac{c}{b}-1)\leq 0 \Leftrightarrow \frac{(c-a)(c-b)}{ab}\leq 0$(BĐT đúng do c nằm giữa a và b )

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c