Lao Hac

 bài 1. cho a,b,c dương thỏa mãn $a^3 +b^3 +c^3$ chia hết cho $14$.Chứng minh rằng $abc$ chia hết cho $14

 

Bài 2. cho 3 số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a+b+c = 2019 CMR abc(a-1)(b+4)(c+6) chia hết cho 6

 

Bài 3 Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n^2-n+1 là một lũy thừa của 3

 

Bài 4 Tìm tất cả các số nguyên tố P sao cho $\frac{7^p-4^p}{31}$ là số chính phương

 

Bài 5 CMR với mọi a, b nguyên thì $a^{5}b+3$ và $b^{5}a+3$ không thể cùng là lập phương của các số nguyên

Bài 2 : Do tổng a+b+c = 2019 lẻ nên cả 3 số a,b,c k cùng lẻ nên có ít nhất một số chẵn. Khi đó abc chia hết cho 2 hay abc(a-1)(b+4)(c+6) chia hết cho 2.

Tiếp đó, ta sẽ cm abc(a-1)(b+4)(c+6) chia hết cho 3.

Có : nếu a chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1 thì ta có đpcm. Vậy, ta xét th a chia 3 dư 2 :

Khi đó b + c chia 3 dư 1. Hoàn toàn tương tự, nếu b chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 2 thì ta có đpcm. Ta xét th b chia 3 dư 1, khi đó c chia hết cho 3 và c+ 6 cx chia hết cho 3.

Vậy abc(a-1)(b+4)(c+6) chia hết cho 3 và cũng chia hết cho 2 => đpcm

Bài 1. 

Có $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ chia hết cho 14 hay chia hết cho 7, lại có một số lập phương chia 3 có thể dư 0, 1 hoặc - 1. Vậy để $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ chia hết cho 7 thì các số trên là $a^{3}$,$b^{3}$ và $c^{3}$ phải có các số dư khi chia 7 lần lượt là 0,0, 0 hoặc 1,-1 ,0. Hay luôn có ít nhất một trong 3 số trên chia hết cho 7. KMTQ, giả sử đó là$a^{3}$. Khi đó a chia hết cho 7 và abc chia hết cho 7. (1)

Giả sử cả 3 số a,b,c đều lẻ, khi đó tổng $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ là một số lẻ k chia hết cho 14. Vậy có ít nhất một trong 3 số a,b,c chẵn. Khi đó abc chia hết cho 2. (2)

Từ (1) và (2), ta có abc chia hết cho 14 ( đpcm )

 

$\Leftrightarrow x+1-\sqrt{x-2999}=10\sqrt{30x}\Leftrightarrow \sqrt{x}\frac{3000-x}{\sqrt{3000}+\sqrt{x}}+\frac{3000-x}{1+\sqrt{x-2999}}=0 \Rightarrow 3000-x=0\Leftrightarrow x=3000$

Khúc này có một cách làm hay và đỡ dài dòng hơn là nhân 2 lên ạ . Khi đó ta có hằng đẳng thức $(\sqrt{x-2999}-1)^2+(10\sqrt{30}-\sqrt{x})^2=0$

( proposed by me ) Mời mọi người giải chơi sau một ngày làm việc căng thẳng         

Giải phương trình 

$\frac{x^2+x+3000}{x+1+\sqrt{x-2999}}=10\sqrt{30x}$

p/s: I luv u (x)       

$a,b,c$ dương ,$a+b+c=1$, CMR: 

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c+(a-b)^2}\geq 9$

Hichic em cũng thấy phần này hơi mông lung :v a có thể giải thích được không ạ ?

Nó không hợp lý ở chỗ : tuy 

(k²+8k+2017) không chia hết cho 9 nhưng ta chưa biết tính chia hết của 2k+9 cho 9 nên không thể khẳng định (k²+8k+2017)+(2k+9) không chia hết cho 9

Em xin có cách giải khác cho bài 1 ạ =) 

Bài 1:

Đặt $A=n^2+8n+2017$

+) Xét $n=0$ ta có :

$A=0^2+8.0+2017=2017$

Do đó $A$ không chia hết cho $9$ ( do $2017$ không chia hết cho $9$ )

+) Giả sử khi $n=k$ thì $A$ không chia hết cho 9

Hay $A=k^2+8k+2017$ không chia hết cho 9 $(*)$

+) Cần chứng minh đpcm đúng khi $n=k+1$

Khi đó : $A=(k+1)^2+8(k+1)+2017$

$A=k^2+2k+1+8k+8+2017$

$A=(k^2+8k+2017)+(2k+1+8)$

$A=(k^2+8k+2017)+(2k+9)$

Theo $(*)$ ta có $k^2+8k+2017$ không chia hết cho 9

Điều đó kéo theo việc $(k^2+8k+2017)+(2k+9)$ cũng không chia hết cho 9

Hay $A$ không chia hết cho 9 với $n=k+1$

Vậy ta có đpcm

P/s: đây là phương pháp qui nạp toán học nha bạn

Ý tưởng khá hay, nhưng không hiểu ý bạn ở đoạn này : theo $(*)$ ta có $k^2+8k+2017$ không chia hết cho 9 ( chỗ này hoàn toàn đúng )

Điều đó kéo theo việc $(k^2+8k+2017)+(2k+9)$ cũng không chia hết cho 9 ( ??????? )

Tại sao lại kéo theo $(k^2+8k+2017)+(2k+9)$ cũng không chia hết cho 9 vậy ?

Bài 1 : Xét đồng dư mod 9

Bài 2 : $(\frac{a}{b-c} +\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b})(\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b})=0$ xong nhân tung toé ra và biến đổi

Bài 3: Quên cách làm rồi  Nhưng hình như là thế này : $x\geq 1; x+y\leq 4$ => $y\leq 3$ . Lại có $P=(x+y)^{2}+y(3y+x)=(x+y)^{2}+y(y+x+2y)\leq 4^2+3(4+2.3)=46$ Vậy P max = 46 <=> x=1, y=3

Bài 4: Chia cặp các số từ A: 1->9; 19->27; 37-> 45; 55->65;73->81; 91-> 100 và B: các số còn lại

Nhận thấy tất cả các số ở A không có 2 số nào có hiệu là 9 . Đồng thời A chỉ có 54 số. Vậy theo định lý Dirichlet có một số thuộc tập B. Khi đó luôn có 2 số có hiệu là 9

TH1 : x = 0 

=> không tồn tại y

TH2 : x = 1

=> y = 1

TH3 : $x\geq 2$

=> $2^x\vdots 4$

=> $2^x +1 \equiv 1 ( mod 4)$

=> $3^y \equiv 1(mod4)$

Lại có $3\equiv -1(mod4)$ nên y chẵn => $y=2k$

=>  $2^x+1=3^{2k}=> 2^x=(3^k-1)(3^k+1)$

Đặt $3^k-1=2^m; 3^k+1=2^n$ với $m+n=x$ và n > m và m, n là số tự nhiên

=> $2^n-2^m = 2$

Do n > m nên $n\geq m+1$ nên $2^n-2^m \geq 2^m$ => $2\geq2^m$ vậy m = 0 hoặc m = 1. Nếu m = 0 thì k tồn tại n. m = 1 thì n = 2 => x = 2 + 1 = 3 => y = 2

Vậy x = 3, y = 2

Proposed by me ( Mọi người góp ý giùm em ạ )

Cho $(a,b)=1$; $S = \frac{c}{a}+\frac{c}{b}$ biết $S,a,b,c$ là các số tự nhiên 

CMR $S\vdots (a+b)$

( Siêu dễ )

Đây là một bài mình tự nghĩ ra, mọi người xem và góp ý ạ =)) ( bài dễ lắm nên đừng ai mắng em ạ =)) )

Cho $a;b>0$; $1>c>0$ và $(a+b)^2+c(a+b+1)=1$

Tính giá trị của $n=a+b+c$ biết $n\epsilon \mathbb{N}$

Đây là một bài mình tự nghĩ ra, mọi người xem và góp ý ạ =)) ( bài dễ lắm nên đừng ai mắng em ạ =)) )

Cho $xy=1$ và $\frac{x+9y}{3x+y}=\frac{x-7y}{x-y}$

Tính giá trị của $A=x^2+y^2$

 p/s : không sử dụng nhân chéo hoặc quy đồng ngay ở bước đầu 

( Mình gõ đề hơi lỗi, sorry các bạn )

Mình xin làm cách khác: $x^4-x^2+2x+2=(x+1)^2(x^2-2x+2)$

Vì $x^4-x^2+2x+2$ và $(x+1)^2$ là số chính phương. Suy ra: $x^2-2x+2$ cũng là số chính phương.

Đặt : $x^2-2x+2=a^2$...

Ừ nhỉ, bài này hoàn toàn phân tích được thành nhân tử, vậy mà mik không nhận ra tốn bao nhiêu công sức

Tìm x $\epsilon$ Z để x⁴-x²+2x+2 là số chính phương.

TH1: x = -1 => $x^4-x^2+2x+2$ = 0 là số chính phương

TH2: x khác -1

Ta có : $5x^2-2x+2> 0$ với $\forall x$

=> $x^4-x^2+2x+2<x^4-x^2+2x+2+(5x^2-2x+2)=x^4+4x^2+4=(x^2+2)^2$

=> $x^4-x^2+2x+2<(x^2+2)^2$ (1)

Ta cũng có $x^2+2x+1=(x+1)^2> 0$ với $\forall x$ ( vì x khác -1 )

=> $(x^2-1)^2<(x^2-1)^2+(x+1)^2=x^4-x^2+2x+2$

=> $(x^2-1)^2<x^4-x^2+2x+2$ (2)

Từ (1),(2) => $(x^2-1)^2<x^4-x^2+2x+2<(x^2+2)^2$ kết hợp $x^4-x^2+2x+2$ là số nguyên nên $x^4-x^2+2x+2$ có thể nhận giá trị là $(x^2)^2$ hoặc $(x^2+1)^2$ ( do $x^4-x^2+2x+2$ là số chính phương )

+) $x^4-x^2+2x+2=(x^2)^2$

=> $ -x^2+2x+2 = 0$

=> không có nghiệm nguyên

+) $x^4-x^2+2x+2=(x^2+1)^2$

=> $ 3x^2-2x-1 = 0$

=> x = 1 ( do x nguyên )

Vậy x nhận giá trị là 1, -1

ĐÂY LÀ CÁCH LÀM TỔNG QUÁT CHO CÁC DẠNG BÀI NÀY, TRONG TRƯỜNG HỢP ĐA THỨC KHÔNG THỂ PHÂN TÍCH NHÂN TỬ 

Câu 1b: 

Ta có: $2019^{2019}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...a_{n}$

Và dễ chứng minh:

$a_{1}^3\equiv a_{1}(mod 6)$ ( do $a_{1}^3-a_{1}=(a_{1}-1).a_{1}.(a_{1}+1)$ chia hết cho 6)

Tương tự ta chứng minh được:

$a_{1}^3+a_{2}^3+a_{3}^3+....a_{n}^3 \equiv a_{1}+a_{2}+a_{3}+...a_{n}( mod 6)$

=> $a_{1}^3+a_{2}^3+a_{3}^3+....a_{n}^3 \equiv 2019^{2019} ( mod 6)$

Ta đi chứng minh: $2019^n \equiv 3( mod 6 )$

Ta có: $2019^n \equiv (2013+3)^n \equiv 3^n ( mod 6 )$

Vì $3^n$ chia hết cho 3. Ta đặt: $3^n=3k$

Mà $3^n \equiv 1 (mod 2)<=> 3k \equiv 1 (mod 2)=> k \equiv 1 (mod 2)$

Đặt $k=2m+1$=> $2019^n \equiv (2013+3)^n \equiv 3^n \equiv 3(2m+1) \equiv 3 (mod 6)$

Vậy $2019^{2019} \equiv 3(mod 6)$ 

Suy ra $a_{1}^3+a_{2}^3+a_{3}^3+....a_{n}^3 \equiv 3( mod 6)$

Vậy $a_{1}^3+a_{2}^3+a_{3}^3+....a_{n}^3$ không chia hết cho 6 ( vì nó chia 6 dư 3 )

Vậy mà mình không làm được đó bạn ra khỏi phòng ms nghĩ ra, tiếc quá

Mình giải câu 5 :

Do quận không cho dùng delta quá kiến thức chung của SGK tại thời điểm hiện tại nên ta làm như sau

$2x^2+4x+2+ 3y^2 =21$

$=> 2(x+1)^2+3y^2=21$

Đặt $(x+1)^2=a; y^2=b$ ( $a,b\epsilon N; 2a,3b\leq 21$ )

Vậy $2a+3b=21$

Dễ thấy $a$ phải chia hết cho 3 mà $2a$ không vượt quá 21 nên $a=0;3;6;9$

Lại có $a$ chính phương nên a = 0 hoặc a = 9

a = 0 thì b = 7 ( loại )

a = 9 thì b = 1 ( thỏa mãn ) => dễ tìm được x,y

Nói chung câu 5 là một câu dễ nhưng nhiều học sinh bỏ vì tâm lý làm bài