Đề thi CLB HSG quận Hoàn Kiếm
- Tea Coffee, ThinhThinh123 và t1k28CHT thích
Gửi bởi Lao Hac trong 27-09-2018 - 21:07
Gửi bởi Lao Hac trong 26-09-2018 - 21:05
Điều kiện xác định: $x \geq \frac{-1}{3}$
Ta có:
$3x-1+\frac{x-1}{4x}=\sqrt{3x+1}$
$<=> 12x^2-3x-1-4x\sqrt{3x+1}=0$
$<=> 16x^2-[(2x)^2+2.(2x).\sqrt{3x+1}+(\sqrt{3x+1})^2]=0$
$<=> (4x)^2=[2x+\sqrt{3x+1}]^2$
Ta có 2 trường hợp
$TH1: \sqrt{3x+1}=2x$
$TH2: \sqrt{3x+1}=-6x$
Đến đây dễ rồi. Bạn tự giải tiếp nhé
mik cx đang định làm, cảm ơn bạn nhé ( tại nãy giờ ngồi giải bậc 4 )
Gửi bởi Lao Hac trong 26-09-2018 - 20:07
Đây là cách của mình
$x^2+\frac{81x^2}{(x+9)^2}=40$
bài này bạn quy đồng lên rồi phân tích thành tích của 2 phương trình bậc 2 có 1 phương trình là $x^{2}-2x-18$
$<=>x^2-\frac{18x^2}{x+9}+\frac{81x^2}{(x+9)^2}+\frac{18x^2}{x+9}=40$
$<=> (x-\frac{9x}{x+9})^2+\frac{18x^2}{x+9}=40$
$<=>(\frac{x^2}{x+9})^2+\frac{18x^2}{x+9}=40$
Đặt $\frac{x^2}{x+9}=a$
Vậy phương trình trở thành $a^2+18a-40=0$
=>$a=2$ hoặc $a=-20$
Từ đây thay $\frac{x^2}{x+9}=a$ rồi tính là xong
Gửi bởi Lao Hac trong 23-09-2018 - 15:56
Cho dãy các số $x_{1},x_{2},...x_{n}$ thỏa $x_{1}=\sqrt{2}-1$ và $x_{n+1}=\frac{x_{n}+1}{x_{n}-1}$
Tính $x_{2018}$
Dễ thấy $x_2=\frac{x_1+1}{x_1-1}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-2}=-\sqrt{2}-1$
Tương tự, $x_3=\sqrt{2}-1=x_1$
Vậy $x_4=x_2=-\sqrt{2}-1$
...
Vậy $x_1=x_3=x_5=...=x_{2k+1}=\sqrt{2}-1$
$x_2=x_4=x_6=...=x_{2k}=-\sqrt{2}-1$
Do 2018 là số chẵn nên $x_{2018}=-\sqrt{2}-1$
Giống như bạn/ anh toanhocsocap222 đã nói, bài này chỉ cần phát hiện quy luật giữa các giá trị của x là ra
Gửi bởi Lao Hac trong 22-09-2018 - 15:30
Tìm $n$ tự nhiên sao cho $2n+1$, $3n+1$ đồng thời là các số chính phương và $2n+9$ là số nguyên tố ( Chuyên Hà Nội 2017 - 2018 )
Gửi bởi Lao Hac trong 03-09-2018 - 20:07
cho các số thực x,y,z đôi 1 khác nhau thõa mãn
$x^3=3x-1$;$y^3=3y-1$;$z^3=3z-1$
CMR $x^2+y^2+z^2=6$
$x,y,z$ là các số thực đôi một khác nhau nên $x,y,z$ là 3 nghiệm của phương trình $a^3-3a+1=0$
Đến đây dùng viet bậc 3, ta có
$x+y+z=0$, $xy+yz+zx=-3$ ( do $x,y,z$ là 3 nghiệm của phương trình $a^3-3a+1=0$ )
Vậy $(x+y+z)^2=0$ => $x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2zy=0$ => $x^2+y^2+z^2-6=0$
=> $x^2+y^2+z^2=6$
Gửi bởi Lao Hac trong 14-08-2018 - 22:09
$$Cho x> 2 và \sqrt{x} +\sqrt{4-x}=a. Tính giá trị của biểu thức C theo a, với C=\frac{\sqrt{2-\sqrt{4x-x^{2}}}}{x-2}$$
$a^2=4-x+x+2\sqrt{x}\sqrt{4-x}=4+2\sqrt{4x-x^2}$
$=>\sqrt{4x-x^2}=\frac{a^2-4}{2}$
Vậy $C^2<=>\frac{2-\sqrt{4x-x^2}}{x^2+4x+4}=\frac{2-\frac{a^2-4}{2}}{x^2+4x+4}$
Có $\sqrt{4x-x^2}=\frac{a^2-4}{2}=>4x-x^2=\frac{a^4-8a^2+16}{4}=>x^2-4x+4=\frac{a^4-8a^2+16}{-4}+4=\frac{a^4-8a^2}{-4}$
Vậy $C^2<=>\frac{2-\frac{a^2-4}{2}}{\frac{a^4-8a^2}{-4}}=\frac{2}{a^2}$
Vậy $C=\frac{\sqrt{2}}{a}$
Gửi bởi Lao Hac trong 12-08-2018 - 14:26
Tìm MIN $|x_1-x_2|$, biết $x_1;x_2$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình $ax^2+bx+c=0$ thỏa mãn điều kiện $2a+3b+6c=0$ và $a\neq 0$
Gửi bởi Lao Hac trong 12-08-2018 - 11:48
$x_1,x_2$ là 2 nghiệm phương trình $2x^2-(3a-1)x-2=0$. Tìm giá trị tham số $a$ để $K=\frac{3}{2}(x_1-x_2)^2+2(\frac{x_1-x_2}{2}+\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2})$ đạt giá trị NHỎ NHẤT
Gửi bởi Lao Hac trong 04-08-2018 - 16:35
Cho phương trình $x^2-(2m-1)x-m-2=0$. Tìm $m$ để phương trình có 2 nghiệm $x_1, x_2$ thỏa mãn $3x_1+x_2=x_1^2$
( Viète )
Gửi bởi Lao Hac trong 04-08-2018 - 16:32
Tìm $m$ để phương trình $2x^2-4mx+2m^2-1=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1; x_2$ sao cho $2x_1^2+4mx_2+2m^2-9<0$
( Viète )
Gửi bởi Lao Hac trong 02-08-2018 - 22:41
$1. \widehat{BOC}= 2.\widehat{BAC}= 90^{\circ}... => Tứ giác BODC nội tiếp.
AB^{2}+2CD^{2}=DA^{2}+DB^{2}+2CD^{2}= 2DB^{2}+2CD^{2}= 2BC^{2}= 2(2R^{2})=4R^{2}.
2. Gọi M là trung điểm của BC. ... Dễ dàng chứng minh được 2OM=AH...=> tứ giác AHIO là hình bình hành.=> OA=IH => IH=R.
3. Dễ dàng chứng minh được AO vuông góc với ED. Mà tam giác ADB là tam giác vuông cân. => DO vuông góc với AB và cắt AO tại O => O là trực tâm của tam giác ADE
Retype :
1. $\widehat{BOC}= 2.\widehat{BAC}= 90^{\circ}$... => Tứ giác BODC nội tiếp.
2. Gọi M là trung điểm của BC. ... Dễ dàng chứng minh được 2OM=AH...=> tứ giác AHIO là hình bình hành.=> $OA=IH$ => $IH=R$.
3. Dễ dàng chứng minh được AO vuông góc với ED. Mà tam giác ADB là tam giác vuông cân. => DO vuông góc với AB và cắt AO tại O => O là trực tâm của tam giác $ADE$
Gửi bởi Lao Hac trong 02-08-2018 - 22:19
Tìm tất cả các cặp số (a,b) thỏa mãn điều kiện
Đây là ý tưởng của em ạ ( à khoan hình như bạn 2k4 giống mik )
Đặt $ab+1=x$ và $2ab+1=y$
Vậy $N=abxy$
Ta dễ thấy $N$ có 16 ước nguyên dương ( do $a,b$ nguyên dương ) : $a,b,x,y,ab,ax,ay,bx,by,xy,abx,aby,axy,bxy,abxy,1$ $(*)$
Vậy điều cần làm đồng nghĩa với việc tìm $a,b,(ab+1),(2ab+1)$ cùng là các số nguyên tố $(**)$
Dễ thấy nếu $a,b$ đều khác 2 thì $ab+1$ chẵn và lớn hơn 2 ( không thỏa mãn $(**)$ )
Vậy trong $a,b$ phải có 1 số = 2. Ta cũng có không thể cả $a,b$ cùng bằng 2 do nếu điều này xảy ra thì N không thể có 16 ước ( từ $(*)$ do $a,b$ trùng nhau ).
Không mất tính tổng quát, giả sử $a=2$
Ta có: Nếu $b=3k$ thì $b$ buộc phải = 3 ( thỏa mãn )
Nếu $b=3k+1$ thì $ab+1$ = $2(3k+1)+1$ = $6k+3$ chia hết cho 3 và lớn hơn 3 ( không thỏa mãn $(**)$ )
Nếu $b=3k+2$ thì tương tự như trên, ta có $(2ab+1)$ = $12k+9$ chia hết cho 3 và lớn hơn 3 ( không thỏa mãn $(**)$ )
Vậy a = 2, b = 3
p/s : đây ms chỉ là ý tưởng của em thôi ạ, nếu có sai sót mong mọi người chỉ ra ạ
Gửi bởi Lao Hac trong 30-07-2018 - 22:24
Cho tam giác ABC cân tại A và $\angle BAC$ = 36 độ. Tính giá trị tỉ số $\frac{AB}{BC}$ (để kết quả ở dạng giá trị chỉ có số và các phép tính cơ bản)
Do em chưa học sâu về hình học lớp 9 nên nếu có sai sót mong anh thứ lỗi ạ
Có $\Delta ABC$ với$\widehat{A}=36^o, \widehat{B}=\widehat{C}=72^o$
Kẻ AH vuông góc với BC => $\widehat{BAH}=\widehat{CAH}=18^o$
Kẻ phân giác BE thì có tam giác ABE cân ở E, tam giác BEC cân ở B
=> BE = AE = BC
Theo tính chất phân giác ta có $\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}$
$=> \frac{AE}{EC+AE}=\frac{AB}{BC+BA}$
$=> \frac{AE}{AC}=\frac{AB}{BC+BA}$
$=> \frac{BC}{AB}=\frac{AB}{BC+BA}$ ( Do $AC=AB$, $AE=BC$ ( cmt ) )
$=> AB^2=BC^2+AB.BC$
$=> (\frac{AB}{CB})^2=1+\frac{AB}{BC}$
Đến đây thì quen thuộc, đặt $\frac{AB}{BC}=t$
$=>t^2-t-1=0$
Giải được $t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ( loại bỏ trường hợp $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ do $\frac{1-\sqrt{5}}{2} < 0 $ )
Vậy $\frac{AB}{BC}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
Gửi bởi Lao Hac trong 30-07-2018 - 18:34
Tam giác $ABC$ vuông ở $A$ có góc $B$ = $50^o$.Trên $AB$ lấy $E$, trên $AC$ lấy $D$ sao cho $\widehat{EDA}=20^o$ và $DE=DC$. CMR: $BD=2AD$
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học