b/ Chứng minh rằng nếu a và a2 + 2 là số nguyên tố thì a3 + 4 cũng là số nguyên tố. (1,5 điểm)
Do $a,a^2+2$ là số nguyên tố nên $a=3$ (xét mod $3$). Do đó $a^3+4=31$ là số NT.
- Sin99 yêu thích
I wish you were $\large sin^2(x)$ and I was $\large cos^2(x)$.
So we are one....
Gửi bởi Khoa Linh trong 27-06-2019 - 08:00
Cho 3 số dương a,b,c thoả mãn : $a+b+c=ab+bc+ca$ . Chứng minh rằng:
$\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b+c}{b^{2}+c^2}+\frac{c+a}{c^2+a^{2}}\leq 3$
Ta phân tích như sau
Vế trái của BĐT có bậc là -1 (do tử bậc 1, mẫu bậc 2), mà vế trái là $3$.
Để ý giả thiết là $a+b+c=ab+bc+ca$ nên ta viết lại BĐT thành
$\sum \frac{(a+b)(ab+bc+ca)}{a^2+b^2} \leq 3(a+b+c)$
Thật vậy, ta có:
$\sum \frac{(a+b)(ab+bc+ca)}{a^2+b^2}=\sum \left ( \frac{(a+b)^2c}{a^2+b^2}+\frac{ab(a+b)}{a^2+b^2} \right )\leq \sum \left ( 2c+\frac{a+b}{2} \right )=3(a+b+c)$
Gửi bởi Khoa Linh trong 25-06-2019 - 23:30
Gọi $L$ là giao điểm của $CH$ và $DK$.
Ta có $\angle CBD=\angle CBA+\angle DBA=\angle LCA+\angle LDA=180^{\circ}-\angle CLD$ hay $B \in (LCD)$.
Gọi $X$ là giao điểm của $HK$ với $CD$, theo đường thẳng Simson thì ta có $BX \perp CD$.
Gọi $M$ là trung điểm $AB$, $J$ là điểm bất kì trên cung $BD$ không chứa $A$ của $(O_2)$.
Ta có:
$\angle KXD=\angle KBD=90^{\circ}-\angle KDB=90^{\circ}-\angle DJB=90^{\circ}-\angle XAB=\angle XBA=\angle MXB$.
Suy ra $\angle MXK=\angle AXB=90^{\circ}$, hay ta có $HK$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $AB$ cố định (đpcm).
P/S: Mình đã rất bực khi gõ bài này, vừa gõ tử tế xong thì diễn đàn sập tuy vậy mình vẫn gõ lại bởi vì cái tên Sugar vẫn luôn đặc biệt với mình. Mong bạn hiểu bài giải này.
Gửi bởi Khoa Linh trong 25-06-2019 - 22:37
Gửi bởi Khoa Linh trong 11-05-2019 - 23:46
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2019
Môn thi: TOÁN
Ngày thi thứ nhất
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $n^3$ là ước của $3^n-1$.
Câu 2. Với $k$ là số nguyên dương, cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=k$ và $u_{n+1}=\dfrac{(n+2)u_n-2k+4}{n}$, với mọi $n \in \mathbb{Z}^+$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho trong dãy số $(u_n)$ có đúng $2019$ số hạng là số chính phương.
Câu 3. Cho tam giác $ABC$, giả sử có điểm $P$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $\angle BPC=\angle CPA=\angle APB$. $PB$, $PC$ theo thứ tự cắt $CA$, $AB$ tại $E$, $F$. $D$ là điểm di chuyển trên cạnh $BC$. Đường thẳng $DF$ cắt đường thẳng $AC$ tại $M$. Đường thẳng $DE$ cắt đường thẳng $AB$ tại $N$.
1. Chứng minh rằng số đo góc $\angle MPN$ không đổi khi $D$ thay đổi.
2. Gọi giao của đường thẳng $EF$ với đường thẳng $MN$ là $Q$. Chứng minh rằng $PQ$ là phân giác của góc $\angle MPN$.
Câu 4. Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a$, $b$, $c$ ta luôn có
$\dfrac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{3}{2} \cdot \frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \geq \frac{9}{2}$
--------HẾT NGÀY 1--------
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2019
Môn thi: TOÁN
Ngày thi thứ hai
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 5. Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ sao cho
$P(x^3+x^2+1)=P(x+2)P(x^2+1)$
Câu 6. Cho ngũ giác lồi $ABCDE$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ sao cho $AD$ là đường kính, đồng thời $EA=ED$. Dựng ra ngoài ngũ giác $ABCDE$, tam giác $BCF$ vuông cân tại $F$, và hai hình vuông $ABMN$, $CDPQ$. Giả sử $MQ$ cắt $NP$ tại $R$. Gọi $S$, $T$ lần lượt là trung điểm $MQ$ và $OS$. Chứng minh rằng $RT \perp EF$.
Câu 7. Một khu vực quốc tế có $512$ sân bay. Mỗi sân bay đều có thể bay trực tiếp tới ít nhất $5$ sân bay khác. Biết rằng ta có thể đi từ bất kì sân bay nào đến bất kì sân bay khác thông qua một hoặc nhiều chuyến bay trực tiếp. Với mỗi cặp sân bay ta xét tuyến đường ngắn nhất nối giữa chúng, tức là tuyến đường mà nó gồm số lượng ít nhất các đường bay trực tiếp nối giữa hai sân bay này. Hỏi số lượng đường bay trực tiếp lớn nhất có thể có trong một tuyến đường ngắn nhất giữa hai sân bay nào đó là bao nhiêu?
--------HẾT NGÀY 2--------
Gửi bởi Khoa Linh trong 11-04-2019 - 20:32
Kẻ tiếp tuyến $Mx$ của $(O)$. Khi đó ta có $\angle CED=\angle CMx=\angle DBC \Rightarrow BCDE$ nội tiếp.
Gửi bởi Khoa Linh trong 21-02-2019 - 16:45
Cho các số không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng
$\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab} \leq \dfrac{3}{2}(a+b+c)$
Gửi bởi Khoa Linh trong 20-02-2019 - 23:16
Cho x,y,z >0 chứng minh rằng: $(1+x)(1+y)(1+z)\geqslant (1+\sqrt[3]{xyz})^3$
Bạn nhân hết ra thôi
$(1+x)(1+y)(1+z)=xyz+(xy+yz+zx)+(x+y+z)+1\geq xyz+3\sqrt{(xyz)^2}+3\sqrt{xyz}+1=(1+\sqrt[3]{xyz})^3$
Gửi bởi Khoa Linh trong 20-02-2019 - 23:03
Cho a,b,c>1 thỏa mãn a+b+c=abc
Tìm GTNN của $P=\frac{a-2}{b^{2}}+\frac{b-2}{c^{2}}+\frac{c-2}{a^{2}}$
Đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$.
Khi đó bài toán trở thành bài toán sau (mình đã làm nên chỉ copy lại)
Gửi bởi Khoa Linh trong 18-02-2019 - 13:17
Tìm hàm số $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thỏa mãn:
$i) f(1)=2$
$ii) f(xy)=f(x).f(y)-f(x+y)+1$
$f(xy)=f(x).f(y)-f(x+y)+1$ (1)
Thay $x=0,y=1$ vào (1) rồi kết hợp $f(1)=2$ suy ra ta có $f(0)=1$. (2)
Thay $y=1$ vào (1) ta sẽ có $f(x+1)=f(x)+1$. (3)
Từ (3) ta sẽ dễ dàng chứng minh theo quy nạo thì ta có $f(n)=n+1, \forall n \in \mathbb{Z}$ (4)
Với $n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$ thì ta có $f(1)=f(n.\dfrac{1}{n})=f(n).f \left (\dfrac{1}{n}\right )-f\left( n+\dfrac{1}{n} \right)+1$ (5)
Để ý ta có $f(n)=n$ và $f\left( n+\dfrac{1}{n} \right) =n+f\left(\dfrac{1}{n}\right)$ do (3) và (4).
Vậy từ (5) ta rút ra được $f\left(\dfrac{1}{n}\right)= \dfrac{1}{n}+1, \forall n \in \mathbb{Z}, n \neq 0.$ (6)
Vậy với số hữu tỷ $q=\dfrac{a}{b},$ $a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0$ thì ta có
$f\left( \dfrac{a}{b} \right)=f(a).f\left( \dfrac{1}{b} \right)-f\left( a+\dfrac{1}{b} \right)+1=\dfrac{a}{b}+1$ (7)
Từ (2) và (7) ta có $f(x)=x+1, \forall x \in \mathbb{Q}.$
Gửi bởi Khoa Linh trong 18-02-2019 - 08:40
Ta có bổ đề sau: Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với ba cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. $DI$ cắt $EF$ tại $X$. Khi đó $AX$ đi qua trung điểm $M$ của $BC$.
Chứng minh.
Qua $X$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB,AC$ theo thứ tự tại $Y,Z$.
Gửi bởi Khoa Linh trong 18-02-2019 - 08:29
Gửi bởi Khoa Linh trong 31-01-2019 - 21:58
link kết quả của các tỉnh
https://drive.google...l2D5EroBAHGaOnA
Gửi bởi Khoa Linh trong 03-11-2018 - 20:46
$\sum \frac{a+bc}{b+c}=\sum \frac{a(a+b+c)+bc)}{b+c}=\sum \frac{(a+b)(a+c)}{b+c}$
Đến đây sử dụng BĐT $\sum \frac{xy}{z}\geq x+y+z$ là xong.
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học