Kylie Nguyen

Lâu lâu góp 1 bài cho vui.

Bài 122: Tìm nghiệm nguyên của pt x³-x²y +2x-3y-5=0

Rút y theo x y=$\frac{x^{3}+2x-5}{x^{2}+3}=x-\frac{x+5}{x^{2}+3}$

do x,y nguyên nên x+5 chia hết cho $x^{2}$+3

suy ra $x^{2}$-25 chia hết cho $x^{2}$+3...

Bài 108:Cho p là số nguyên tố, p>3; $n=\frac{2^{2p}-1}{3}$. Chứng minh rằng $2^{n}-2\vdots n$ (có thể dùng định lý Fermat bé)

n là số tự nhiên vì $4^{2}-1$ chia hết cho 3

xét n-1 = $\frac{4^{p}-4}{3}$

do p nguyên tố lớn hơn 3 nên áp dụng định lí Fecma ta có

$4^{p}-4 \vdots p$ mà .$4^{p}-4 \vdots 2 $  (2,p)=1 nên $4^{p}-4 \vdots 2p$

do (2p,3)=1 nên n-1 chia hết cho 2p

suy ra $2^{n-1}-1 \vdots 2^{2p}-1 =>2^{n}-2 \vdots 2^{2p}-1 \vdots n$

Bài 101 : Tìm các cặp số có 3 chữ số thỏa $\overline{abc}+ \overline{def}$ chia hết cho 498 và $\frac{\overline{abc}}{\overline{def}}$ chia hết cho 5 

Đặt $\frac{\overline{abc}}{\overline{def}}$=k (k nguyên dương) suy ra k chia hết cho 5

k=5 thì abc+def=6def chia hết 498 nên def chia hết 83 suy ra (abc,def)=(166,830)

k>=10 thì abc có 4 chữ số (loại)

Bài 104: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $3x^{2y^{2}+1}+2x^{2(y^{2}+1)}+x^{2y^{2+3}}-4x^{2(y^{2}+2)}+x^{2y^{2}+5}+10=0$.

xét nếu x chia hết cho 3 thì vt chia 3 dư 1 vô nghiệm

nếu x không chia hết cho 3 thì $x^{2}$ chia 3 dư 1 suy ra vt chia 3 dư 1 vô nghiệm

Vậy pt vô nghiệm

Bài 102: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $1987x^{2}+1988y^{2}=3000-2x^{2}y^{2}$.

 

x=0 không tồn tại y nguyên thỏa mãn

$x^{2}$=1 thì cũng không tồn tại y nguyên thỏa mãn

nếu $x^{2}$ >=4 thì vt>=4.1987=7948>3000>=VP

suy ra pt vô nghiệm 

Bài 38: Tìm tát cả các số tự nhiên $n$ sao cho $(n-1)!$ chia hết cho $n$.

n=1 thỏa mãn và n=4 không thỏa mãn. Xét n>1 và n khác 4

Từ gt suy ra n là 1 hợp số => n=pq trong đó p,q là các số nguyên dương thỏa mãn $2\leq p,q\leq \begin{bmatrix} \frac{n}{2} \end{bmatrix}$

Trường hợp 1: Nếu p khác q thì trong tích (n-1)! chứa cả 2 số p, q nên (n-1)! chia hết n

Trường hợp 2: Nếu p=q thì p,q>2 trong tích (n-1)! chứa cả p,2p nên (n-1)! chia hết cho n

Vâyj n =1 hoặc là hợp số khác 4

Bài 39: Tìm a,b,c nguyên tố thỏa mãn (a+1)(b+2)(c+3)=4abc 

Bài 38: Tìm ba số nguyên tố $p,q,r$ sao cho $p^{q}+q^{p}=r$.

Đây  là bài 12 đã được giải ở trên rồi nhé

Bài 33: Tìm số nguyên tố $\overline{abcd}$ sao cho $\overline{ab}, \overline{cd}$ là các số nguyên tố và $b^{2}=$\overline{cd}$+b-c$

$\bar{ab}, \bar{cd}$ nguyên tố nên b,d lẻ và khác 5

Do $b^{2}=\bar{cd} +b-c=9c+d+b\geqslant 9+1+1=11 \Rightarrow b>3 th1 b=7 thì 9c+d=42 => d \vdots 3=> d=3 ; 9 d=3 =>c không tồn tại d=9 thì c không tôn tại th1 b=9 => 9c+d=72 => d\vdots 9 =>d=9,c=7,a=1,5,7$

mà $\bar{abcd}$nguyên tố nên là 1979

 

TOPIC xấu đi vì những reply kiểu này đấy. Thay vào đó, các bạn có thể trả lời một bài toán cụ thể rồi sau đó trình bày ý kiến của mình về một cái gì đó ở dưới mà theo cách: P/S giống mình đây.

 

 

Bạn làm loãng TOPIC này ^^ nếu ai làm được thì đã gõ đáp án lên rồi.

Rút kinh nghiệm nhé

 

Bài này đã có người làm rồi bạn không được làm lại. VÀ PHẢI GÕ LATEX

Các lỗi trên mong hai bạn cùng các bạn khác phải rút kinh nghiệm để TOPIC đẹp, chất lượng hơn.

P/S: TOPIC tiếp tục nhận các bài số học các bạn đóng góp. Cảm ơn các bạn nhiều.

 

Mình sẽ rút kinh nghiệm. Cam on bạn Tea Coffee đã góp ý

Còn 1 th khá thú vị là a-2=1 và a+2= 3^k nhưng đáp án của bạn đúng rồi

1= $3^{0}$ mà bạn

$PT<=>x^{3}y^{3}(xy-x^{2}-y)=-216$ xét ước là được.

Để ý $(xy)^{3}$ là ước của $216$ and là một số lập phương

Vẫn còn 10 th bạn T nà ^-^

Bài 22: Tìm số tự nhiên n cho n^2 - 2006n và 3^n + 4 là các số chính phương

 

Đặt $3^{n}+4=a^{2}$ với a là số nguyên dương

suy ra$ 3^{n}$=(a-2)(a+2)

suy ra a-2=$3^{m}$, a+2=$3^{k}$

suy ra 4=$3^{k} -3^{m}$

k tồn tại k,m thỏa mãn hay không tồn tại n thỏa mãn

Mình k chắc đúng k vì chưa sử dụng hết gt

Phải xét 7 chứ nhỉ 

nhưng trường hợp =3 và =9 thì suy ra 3 cái bằng nhau =1 hoặc =3 rồi thử lại

5 cái còn lại giả sử x>=y>=z rồi tìm trực tiếp thôi 

216 có đến 32 ước Tea Coffee a. Có cách nào ngắn hơn k

Bài 21 : 

Giải phương trình trên tập Z+ : a^3 + b^3 + c^3= (a+b+c)^2

áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có $\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{3} \Rightarrow \frac{(a+b+c)^{2}}{3}\geqslant (\frac{a+b+c}{3})^{3} \Rightarrow 3<=a+b+c\leqslant 9$

sau đó xét từng trường hợp a+b+c 

Bạn ơi cái dòng đầu tiên sai rồi

cô si dưới mẫu thì bị đổi chiều chứ? cái chỗ 6/x+y+z ấy