Đặt $\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z,$ khi đó:
$xy+yz+zx+x+y+z=6$
Ta cần chứng minh $x^2+y^2+z^2\ge 3(i)$
Ta có $6=xy+yz+zx+x+y+z\le\frac{\left ( x+y+z \right )^2}{3}+x+y+z \Leftrightarrow x+y+z\ge3$
$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=(x+y+z)^2-2\left [ 6-(x+y+z) \right ]$
$=(x+y+z)^2+2(x+y+z)-12\ge3$
Do đó $x^2+y^2+z^2\ge3$ hay $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3$
Bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$