HelpMeImDying

Có: $x^{4}+y^{4}\geq xy(x^{2}+y^{2})\Leftrightarrow (x-y)^{2}(x^{2}+xy+y^{2})\geq 0$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{x^{4}+y^{4}+z}\leq \sum \frac{1}{xy(x^{2}+y^{2})+z}=\sum \frac{z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\frac{x+y+z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\leq \frac{3}{x+y+z}\leq 1$

Nếu $a,b,c,d>0$ thì làm thế này 

Đặt $(\frac{a}{1-a};\frac{b}{1-b};\frac{c}{1-c};\frac{d}{1-d})=(x;y;z;t)\Rightarrow (a;b;c;d)=(\frac{x}{x+1};\frac{y}{y+1};\frac{z}{z+1};\frac{t}{t+1})$

Giả thiết trở thành $1=\sum (\frac{x}{x+1})^{2}$ và $P=xyzt$

Nếu $xyzt\leq 1\Rightarrow \max P=1$

Nếu $xyzt\geq 1$

Áp dụng bổ đề: $\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{1}{(y+1)^{2}}\geq \frac{1}{xy+1}; \frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}\geq \frac{2}{xy+1}$ với $xy\geq 1$

$1=\sum \frac{1}{(1+\frac{1}{x})^{2}}\geq \frac{1}{1+\frac{1}{xy}}+\frac{1}{1+\frac{1}{zt}}\geq \frac{2}{1+\frac{1}{\sqrt{xyzt}}}\Leftrightarrow xyzt\leq 1$$\Rightarrow xyzt=1$

Vậy $\max P=1\Leftrightarrow$ $a=b=c=d=\frac{1}{2}$

Cách khác, Đặt $(\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a})=(x;y;z)\Rightarrow xyz=1$

$\Rightarrow P=x+y+z+\frac{9}{x+y+z+xy+yz+zx+3}\geq x+y+z+\frac{27}{3(x+y+z)+(x+y+z)^{2}+9}$

Đặt $x+y+z=t$, ta chứng minh $P\geq 4\Leftrightarrow \frac{t^{3}+3t^{2}+9t+27}{t^{2}+3t+9}\geq 4\Leftrightarrow t^{3}-t^{2}-3t-9\geq 0\Leftrightarrow (t-3)(t^{2}+2t+3)\geq 0$ (luôn đúng do $t\geq 3$)

Câu IV:

1) Có: $\widehat{FDK}=\widehat{FCA}=\widehat{FBE}$ 

và $\frac{DK}{EB}=\frac{EA}{EB}=\frac{AD}{BC}=\frac{FD}{FB}\Rightarrow \Delta FKD\sim \Delta FEB$

2,3) Có $\widehat{FKE}=\widehat{FKD}+\widehat{EKD}=\widehat{BEF}+\widehat{AEK}=\widehat{BEF}+\widehat{BEN}=\widehat{FEN}$

Gọi $G$ là trung điểm $EF$$\Rightarrow MG//FK$

$\Rightarrow \widehat{GME}=\widehat{FKE}=\widehat{FEN}$

Mặt khác, $\frac{EM}{EN}=\frac{EA}{BE}=\frac{KD}{BE}=\frac{KF}{FE}= \frac{MG}{GE}\Rightarrow \frac{MG}{GE}=\frac{GE}{EN}\Rightarrow \Delta GEM\sim \Delta GNE\Rightarrow \widehat{EGM}=\widehat{EGN}$ và $EG^{2}=GM.GN$

$\Rightarrow$ $M,N,G$ thẳng hàng hay $MN$ đi qua trung điểm $EF$ và đường thẳng $EF$ tiếp xúc với $(EMN)$

Bài V: Đặt $\sqrt{1+x}=a;\sqrt{1-x}=b\Rightarrow a\geq 1\geq b\geq 0$ và $a^{2}+b^{2}=2$

Ta có $ab\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{2}=1$

$P=a+b+\sqrt{2(a^{2}-b^{2})}\geq 2\sqrt{ab}+\sqrt{2(a^{2}-b^{2})}\geq 2ab+\sqrt{2(a^{2}-b^{2})}$

Ta chứng minh $2ab+\sqrt{2(a^{2}-b^{2})}\geq 2=a^{2}+b^{2}\Leftrightarrow \sqrt{2(a^{2}-b^{2})}\geq (a-b)^{2}\Leftrightarrow \sqrt{a-b}(\sqrt{2(a+b)}-(a-b)\sqrt{a-b}))$ (đúng)

$\min P=2\Leftrightarrow x=0$