Minhcamgia

 22122018.JPG   28.95K   43 Số lần tải

Gọi $E,F$ là trung điểm $AB,AC$. Gọi $CN,BM$ cắt $(K,KB)$ tại $R,P$, dt qua $C$ vg $AC$ cắt tt $CM$ tại $L$, $BM,CN$ cắt $(L,LC)$ tại $S,W$. Ta có $BE^2 = EM.ER = EB.EA = EM.EC$ suy ra $ER = EC$ nên $ARBC$ là hinh bình hành. TT $ABCS$ là hbh. $BR$ cắt $CS$ tại $Q$, $RPB = BNC = BAC = BQC$ nên $RPQS$ đồng viên, tt $RSWQP$ đồng viên có $ABC$ là medial triangle nên $H$ là tâm (PQR). Suy ra $HK$ _|_ $PR$ || $CM$ nên $KH$ _|_ $CM$ (dpcm). 

Giải phương trình : $2\sqrt{\left ( x-2 \right )\left ( x-5 \right )}=x+\sqrt{\left ( x-2 \right )\left ( x-10 \right )}$

pt <=> $x=2\sqrt{(x-2)(x-5)}-\sqrt{(x-2)(x-10)} \leftrightarrow x^2=(x-2)(5x-10-4\sqrt{(x-5)(x-10)})$

$\Leftrightarrow 4x^2-40x+60=4(x-2)\sqrt{(x-5)(x-10)} \Leftrightarrow x^2-10x+15=(x-2)\sqrt{(x-5)(x-10)}$

$\Leftrightarrow (x^2-10x+15)^2=(x^2-4x+4)(x^2-15x+50)\Leftrightarrow x^3-16x^2+40x-25=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(x^2-15x+25)=0 \Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=\frac{5\sqrt{5}+15}{2}$ hoặc $x=\frac{-5\sqrt{5}+15}{2}$.  

Ta có $\left\{\begin{matrix}x(x+1)(y-1)=x^3+y^2+x-3y+2 \text{ } (1) & & \\\sqrt{y}+\sqrt{x+1}-\sqrt{x^2+2}=0 \text{ } (2) & & \end{matrix}\right.$

$(1) \Leftrightarrow (y-x-1)(x^2+2-y)=0 \Rightarrow y=x+1$ hoặc $y=x^2+2$.

 - $y=x^2+2 \rightarrow \sqrt{x+1}=0\Leftrightarrow x=-1;y=3$

 - $y=x+1 \rightarrow 2\sqrt{x+1}-\sqrt{x^2+2}=0\leftrightarrow x_1 = 2+\sqrt{6}; x_2=2-\sqrt{6} \rightarrow y_1=3+\sqrt{6}; y_2=3-\sqrt{6}$. 

Vậy htp có nghiệm $(x,y)=(1,3),(2+\sqrt{6},3+\sqrt{6}),(2-\sqrt{6},3-\sqrt{6})$

Sửa thành $4x^2+2x+\sqrt{5x+8}-\sqrt{7x+5} -12$ thì có nghiệm đẹp