doctor lee

1. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1.

CMR: $\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ca}{c+a}+\frac{c+ab}{a+b} \geq 2$

=$\frac{a.1+bc}{b+c}=\frac{a(a+b+c)+bc}{b+c}=\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}$

ttuwj $\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}+\frac{(b+a)(b+c)}{a+c}+\frac{(c+a)(c+b)}{a+b}$

đặt a+b=x, b+c=y, c+a =z thì ta có bđt trở thành $\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\geq 2$

mà $\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\geq 2y$

ttuwj $\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\geq x+y+z=2(a+b+c)=2$

dấu = xảy ra khi a=b=c=1/3

$\sqrt{x-\frac{1}{x}}+5\sqrt{1-\frac{1}{x}}+2=3x+\frac{2}{x}$

pt = $1.\sqrt{x-\frac{1}{x}} +5.\sqrt{\frac{1}{x}.(x-1)} +2 \leq \frac{x-\frac{1}{x}+1}{2}+\frac{5(\frac{1}{x}+x-1)}{2}+2=\frac{2}{x}+3x=vp$

dâu = sảy ra khi $x-\frac{1}{x}=1\Rightarrow x^{2}-x-1=0 \Rightarrow ..........$

và đây là lời giải

$x= 5\sqrt{25(x^{2}+3x+2)+3.5\sqrt{x^{2}+3x+2}+2}$(1)

đặt y=$5\sqrt{x^{2}+3x+2}$

thì (1) $x=5\sqrt{y^{2}+3y+2}$

từ đay ta giải heept dx loại 2 là ra ạ

gpt $[6x-x^{2}-8]^{2}(2x^{2}-12x+20)=x^{2}-2x+3$

p/s bài pt ms chế dựa theo 1 bài bđt thức , mong m.n cùng thảo luận

giải pt vô tỉ sau

$x=5\sqrt{25x^{2}+75x+52+15.\sqrt{(x+1)(x+2)}}$

p/s :đây là bài ptvt thứ hai ms chế ,mong m,n cùng thảo luận

dạ và đây là lời giải của e ạ

$\Leftrightarrow 2\sqrt{28x+53}\sqrt{x+5}=\sqrt{8x+11}(20x+71)$

$\Leftrightarrow 2[4(x+5)+3(8x+11)]\sqrt{x+5}=\sqrt{8x+11}[12(x+5)+8x+11]=0$

đặt $\sqrt{x+5}=a;\sqrt{8x+11}=b$

$2(4a^{2}+3b^{2})a-b(12a^{2}+b^{2})=0$

$\Leftrightarrow 8a^{3}-12a^{2}b+6ab^{2}-b^{3}=0\Leftrightarrow (2a-b)^{3}=0\Leftrightarrow 2a=b$

gptvtir $(28x+53)\sqrt{4x+20}=\sqrt{8x+11}(20x+71)$

p/s : đây là bài ptvt đầu tiên ms chế sau khi học hỏi nhiều cách làm ptvt , mong m.n thảo luận càng nhiều cách càng tốt ạ

em sin trân trọng cảm ơn đã hân hạn tài trợ cùng trương trình này

Giải các phương trình sau:

b) $x^3 + (2 + 3\sqrt{5 - 3x})x - 7\sqrt{5 - 3x} = 0$

đặt $\sqrt{5-3x}=a$

$x^{3}+2x+3ax-7a=0$(1)

và $a^{2}+3x=5 \Rightarrow a^{3}+3ax-5a=0$(2)

lấy (1)-(2) ta có $x^{3}-a^{3}+2x-2a=0$ suy ra .........

Câu hỏi:

Cho a,b,c thỏa mãn: $4a^2+b^2+c^2\leq 4$.

CM: $ab+bc+ac\leq 1+\sqrt{3}$

Càng nhiều cách càng tốt, có thêm bài dạng này thì càng tốt ạ! 

ta có $(1-m)b^{2}+(1-m)c^{2}\geq 2(1-m)bc$ (0<=m<=1)

    $mb^{2}+2a^{2}\geq 2\sqrt{2m}ab$

$mc^{2}+2a^{2}\geq 2\sqrt{2m}ac$

dau = sảy ra khi 1-m=$\sqrt{2m}$

nên m=$2-\sqrt{3}$(vì m<0)

song bạn thay vào chỗ có m là ra nhé

mà anh ơi cho em hỏi tại sao lại có đẳng thức (2) ạ

vì để có nhân tử là a+b+c nên phải cho 3x^2=138y^2=3z^2 nhé bạn

cho a,b,c là các số thực dương tm ab+bc+ac=3

tìm min $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc$

Cho x,y là các số thực không âm thỏa x+y=2. CMR $x^6y^6(x^4+y^4) \leq 2$

ta có vt=$\frac{1}{2}x^{4}y^{4}.2x^{2}y^{2}.(x^{4}+y^{4})\leq \frac{1}{2}x^{4}y^{4}.(\frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{2})^{2}=\frac{1}{2}x^{4}y^{4}.\frac{(x^{2}+y^{2})^{4}}{4}=\frac{1}{8}.[xy.(x^{2}+y^{2})]^{4}$

=$\frac{[2xy.(x^{2}+y^{2})]^{4}}{8.16}\leq \frac{(x+y)^{8}}{8.16}=2$

dau = sảy ra khi x=y=1

ta có $[x+2y+3(1-x-y)][6x+3y+2(1-x-y)]=(-2x-y+3)(4x+y+2)=\frac{1}{2}(-4x-2y+6)(4x+y+2)\leq \frac{1}{8}(8-y)^{2}\leq 8$

dau = xảy ra khi y= 0  x=1/2 y=1/2

Cho x y z>0 và $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}=3$Tìm Min P= $\sum \frac{x}{\sqrt{y}}$

P^2 =$\sum \frac{x^{2}}{y}+2\sum \frac{xy}{\sqrt{yz}}$

$\geq (x+y+z)+2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})\geq 3(\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz})=9$

nên P>=3

dau = sảy ra khi x=y=z=1

Cho x+y+z=3xyz Tim min P= $\sum \frac{yz}{x^3(z+2y)}$

theo đầu bài ta có $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=3$

đặt 1/x =a 1/y= b 1/z=c nên ab+bc+ac=3

P=$\sum \frac{a^{3}}{b+2c}=\sum \frac{a^{4}}{ab+2ac}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3(ab+bc+ac)}\geq \frac{(ab+bc+ac)^{2}}{3(ab+bc+ac)}=\frac{ab+bc+ac}{3}=1$

dau = sảy ra khi a=b=c =1 hay x=y=z=1