doraemon123

Một số bài tiếp theo:

Bài số 27: Giải pt: $9x^2-5x=(2-x)\sqrt{3x^2-8x+3}$

Bài số 28: Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix} x^3+2y^2-4y+3\\ x^2+x^2y^2-2y=0 \end{matrix}\right.$

Bài số 29: Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix} x^2+xy+2=3x+y\\ x^2+y^2=2 \end{matrix}\right.$

Bài số 30: Giải pt: $13\sqrt{x^2-x^4}+9\sqrt{x^2+x^4} =16$

 

Bài 30: ĐK: $0\leq X\leq 1$

$13\sqrt{x^2-x^4}+9\sqrt{x^2+x^4}=16\Leftrightarrow 13(\sqrt{x^2-x^4}-\frac{2}{5})+9(\sqrt{x^2+x^4}-\frac{6}{5})=0$

$\frac{13(5\sqrt{x^2-x^4}-2)}{5}+\frac{9(5\sqrt{x^2+x^4}-6)}{5}=0 \Leftrightarrow \frac{13(5\sqrt{x^2-x^4}-2)(5\sqrt{x^2-x^4}+2)}{5(5\sqrt{x^2-x^4}+2)}+\frac{9(5\sqrt{x^2+x^4}-6)(\sqrt{x^2+x^4}+6)}{5(\sqrt{x^2+x^4}+6)}=0$

$\Leftrightarrow \frac{13(5x^2-4)(1-5x^2)}{5(\sqrt{x^2-x^4})+2}+\frac{9(5x^2-4)(5x^2+9)}{5\sqrt{x^2+x^4}+6}=0\Leftrightarrow (5x^2-4)(\frac{13(1-5x^2)}{5(\sqrt{x^2-x^4})+2}+\frac{9(5x^2+9)}{5\sqrt{x^2+x^4}+6})=0$

$\Rightarrow ...$

Giải phương trình
$\sqrt{x^2+x-1} + \sqrt{x-x^2+1} = x^2-x+2$

Ta có: $\sqrt{x^2+x-1}+\sqrt{x-x^2+1}=\sqrt{x^2+x-1}.1+\sqrt{x-x^2+1}.1\leq \frac{x^2+x-1+1}{2}+\frac{x-x^2+1+1}{2}=x+1$

Dấu ''='' xảy ra khi x=1

Mà $x^2-x+1\geq x+1$. Dấu ''='' xảy ra khi x=1

Vậy nghiệm của pt là x=1

Cho a,b,c là các số thực không âm có tổng bằng 1. Chứng minh

$\frac{1+a^2}{1+b^2}+\frac{1+b^2}{1+c^2}+\frac{1+c^2}{1+a^2}\leq \frac{7}{2}$

Không mất tính tổng quát, giả sử a=max{a,b,c}

Ta có: $\frac{1+a^2}{1+b^2}=\frac{(a^2+1)(b^2+1-b^2)}{b^2+1}=a^2+1-\frac{b^2(1+a^2)}{b^2+1}\leq a^2+1-\frac{b^2(1+a^2)}{2}$

Cmtt: $\frac{1+b^2}{1+c^2}\leq b^2+1-\frac{c^2(b^2+1)}{2};\frac{1+c^2}{1+a^2}\leq c^2+1-\frac{a^2(c^2+1)}{2}$

Cộng vế theo vế ta được: $\frac{1+a^2}{1+b^2}+\frac{1+b^2}{1+c^2}+\frac{1+c^2}{1+a^2}\leq 3+a^2+b^2+c^2-\frac{a^2(b^2+1)+b^2(c^2+1)+c^2(a^2+1)}{2}=\frac{a^2+b^2+c^2-(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)}{2}+3\leq \frac{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)}{2}+3=\frac{7}{2}$

Dấu ''='' xảy ra khi a=1; b=c=0

Bài 57: Cho $a,b,c>0$ và $ab+bc+ac=abc$. Chứng minh rằng $P=\frac{a^{4}+b^{4}}{ab(a^{3}+b^{3})}+\frac{b^{4}+c^{4}}{bc(c^{3}+b^{3})}+\frac{c^{4}+a^{4}}{ac(c^{3}+a^{3})}\geq 1$

Ta có:$ab+bc+ac= abc\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$

Ta có: $2(a^4+b^4)\geq (a^3+b^3)(a+b)\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}\geq \frac{a+b}{2}\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}\geq \frac{a+b}{2ab}$

CMTT: $\frac{b^4+c^4}{bc(b^3+c^3)}\geq \frac{b+c}{2bc}; \frac{a^4+c^4}{ac(a^3+c^3)}\geq \frac{a+c}{2ac}$

Cộng vế theo vế ta được: $\sum \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}\geq \frac{1}{2}(\sum \frac{a+b}{ab})\doteq \frac{1}{2}(2.\sum \frac{1}{a})=1$

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c=3

Bài 38:
IMG_20180418_224653.jpg
P/s: Xin lỗi m.n mình đang dùng đt nên không gõ Latex được

Mình xin đưa ra lời giải bài trên:

Áp dụng BĐT Holder ta có:

$(1+3)(1+3)(1+3)(a^4+3)\geq (a+3)^4\Rightarrow \sqrt[4]{a^4+3}\geq \frac{a+3}{\sqrt[4]{64}}$

Cmtt: $\sqrt[4]{b^4+3}\geq \frac{b+3}{\sqrt[4]{64}}; \sqrt[4]{c^4+3}\geq \frac{c+3}{\sqrt[4]{64}}$

Cộng vế theo vế ta được: $\sqrt[4]{a^4+3}+\sqrt[4]{b^4+3}+\sqrt[4]{c^4+3}\geq \frac{(a+b+c)+3+3+3}{\sqrt[4]{64}}$

Áp dụng BĐT AM-GM, có: $(a+b+c)+3+3+3\geq 4\sqrt[4]{27(a+b+c)}\Rightarrow \sum \sqrt[4]{a^4+3}\geq \frac{4\sqrt[4]{27(a+b+c)}}{\sqrt[4]{64}}=\sqrt[4]{108(a+b+c)}$