tr2512

Cho 3 số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh bất đẳng thức:

$$\dfrac{1}{a+3}+\dfrac{1}{b+3}+\dfrac{1}{c+3} \geqslant \dfrac{21}{abc+27}$$

1. Cho 3 số thực a,b,c không âm và 2 trong 3 số không đồng thời bằng 0. chứng minh:

$\frac{1}{4a^{2}+b^2+c^2}+ \frac{1}{4b^2+c^2+a^2}+\frac{1}{4c^2+a^2+b^2}\leq \frac{1}{2(a^2+b^2+c^2)}+\frac{1}{ab+bc+ca}$

 

2. cho các số thực a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=1. chứng minh:

$\frac{a}{(3b+5c)^3}+\frac{b}{(3c+5a)^3}+\frac{c}{(3a+5b)^3}\geq \frac{9}{513}$

$2)$ Nhân cả 2 vế với $a^2+b^2+c^2$ bất đẳng thức trở thành:

$$\sum \dfrac{4a^2+b^2+c^2-3a^2}{4a^2+b^2+c^2} \le \dfrac{1}{2}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}$$

$$\Leftrightarrow 3\sum \dfrac{a^2}{4a^2+b^2+c^2}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \ge \dfrac{5}{2}$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$$\sum \dfrac{a^2}{4a^2+b^2+c^2} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{6(a^2+b^2+c^2)}$$

Đặt $a^2+b^2+c^2=x$; $ab+bc+ca=y$ bất đẳng thức trở thành:

$$\dfrac{x+2y}{2x}+\dfrac{x}{y} \ge \dfrac{5}{2}$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{(x-y)^2}{xy} \ge 0$$

Bất đẳng thức cuối luôn đúng.

Hoàn tất chứng minh.

$\lceil$ Chứng!minh $\rfloor$ ($\sqrt{2}\angle\pi/12-\angle\pi/3=-\angle\pi/6$)

$$\sqrt{2}\,\cos(\,4\pi w+ \pi/12\,)- \cos(\,4\pi w+ \pi/3\,)= \cos(\,4\pi w- \pi/6\,)$$

\[\begin{array}{l}
\sqrt 2 \cos \left( {4\pi \omega  + \frac{\pi }{{12}}} \right) - \cos \left( {4\pi \omega  + \frac{\pi }{3}} \right)\\
= \sqrt 2 \cos \left( {4\pi \omega  + \frac{\pi }{{12}}} \right) + \cos \left( {4\pi \omega  - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\\
= \sqrt 2 \left[ {\cos \left( {4\pi \omega } \right)\cos \left( {\frac{\pi }{{12}}} \right) - \sin \left( {4\pi \omega } \right)\sin \left( {\frac{\pi }{{12}}} \right)} \right] + \left[ {\cos \left( {4\pi \omega } \right)\cos \left( {\frac{{ - 2\pi }}{3}} \right) - \sin \left( {4\pi \omega } \right)\sin \left( {\frac{{ - 2\pi }}{3}} \right)} \right]\\
= \cos \left( {4\pi \omega } \right)\left[ {\sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{{12}}} \right) + \cos \left( {\frac{{ - 2\pi }}{3}} \right)} \right] - \sin \left( {4\pi \omega } \right)\left[ {\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{{12}}} \right) + \sin \left( {\frac{{ - 2\pi }}{3}} \right)} \right]
\end{array}\]

Để ý:

 

$$\cos {\left( {4\pi \omega } \right)^2} + \sin {\left( {4\pi \omega } \right)^2} = 1$$
$${\left[ {\sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{{12}}} \right) + \cos \left( {\frac{{ - 2\pi }}{3}} \right)} \right]^2} + {\left[ {\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{{12}}} \right) + \sin \left( {\frac{{ - 2\pi }}{3}} \right)} \right]^2} = 1$$

Do đó, đặt:

$$\sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{{12}}} \right) + \cos \left( {\frac{{ - 2\pi }}{3}} \right) = \cos \left( \alpha  \right)$$
$$\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{{12}}} \right) + \sin \left( {\frac{{ - 2\pi }}{3}} \right) = \sin \left( \alpha  \right)$$

$$\Rightarrow \tan \left( \alpha  \right) = \frac{{\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{{12}}} \right) + \sin \left( {\frac{{ - 2\pi }}{3}} \right)}}{{\sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{{12}}} \right) + \cos \left( {\frac{{ - 2\pi }}{3}} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \alpha  = \frac{{ - \pi }}{6}$$Do đó:

\[\sqrt 2 \cos \left( {4\pi \omega  + \frac{\pi }{{12}}} \right) - \cos \left( {4\pi \omega  + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {4\pi \omega } \right)\cos \left( \alpha  \right) - \sin \left( {4\pi \omega } \right)\sin \left( \alpha  \right) = \cos \left( {4\pi \omega  + \alpha } \right) = \cos \left( {4\pi \omega  - \frac{\pi }{6}} \right)\]

Cho 3 số thực không âm $a, b, c$. Chứng minh bất đẳng thức:

$$\sqrt{(a+2b)(a+2c)}+\sqrt{(b+2a)(b+2c)}+\sqrt{(c+2a)(c+2b)} \leq a+b+c+\sqrt{3(ab+bc+ca)}$$

Trong topic này mình sẽ gửi đến 1 số bất đẳng thức đối xứng mình thấy là hay, và mọi người cũng có thể đóng góp các bài bất đẳng thức đối xứng khác cũng như lời giải

Bài 1: Cho 3 số thực không âm $a, b, c$ sao cho không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh: 

$$\dfrac{a}{7a+b+c}+\dfrac{b}{7b+a+c}+\dfrac{c}{7c+a+b} \leq \dfrac{49}{243}+\dfrac{32(ab+bc+ca)}{81(a+b+c)^2} $$

$$\text{Lê Khánh Sỹ}$$

Tổng quát hơn là:

$*$Cho 3 số thực không âm $a, b, c$ và 1 số thực $k \ge 1$. Chứng minh:

$$\dfrac{a}{ka+b+c}+\dfrac{b}{kb+c+a}+\dfrac{c}{kc+a+b} \leq \dfrac{3k^2-4k+28}{\left( k+2\right) ^3}+\dfrac{48(k-1)}{\left( k+2\right) ^3}\dfrac{ab+bc+ca}{\left( a+b+c\right) ^2}$$

Bài 2: Cho các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh bất đẳng thức:
  $$ \dfrac{5-3ab}{1+c}+\dfrac{5-3bc}{1+a}+\dfrac{5-3ac}{1+b} \geqslant ab+bc+ca $$
  $$\text{-Vasile Cirtoaje-}$$

Bài 3: Cho 3 số thực dương $a, b, c$. Chứng minh bất đẳng thức:

$$\dfrac{a^3}{2a^2+bc}+\dfrac{b^3}{2b^2+ac}+\dfrac{c^3}{2c^2+ab} \leqslant \dfrac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$$
$$\text{- Vasile Cirtoaje -}$$

Cho 1 đa giác đều 20 đỉnh. 2 người A và B mỗi người chọn ngẫu nhiên 2 đỉnh. Tính xác suất để đướng chéo nối bởi 2 đỉnh người A chọn không cắt đường chéo nối 2 đỉnh người B chọn.

Mạnh nhất trong p, q, r đối xứng
$(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2 \ge 0$
Hay là $p^2q^2-4q^3+18pqr-4p^3r-27r^2 \ge 0$

Cho hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc nhau tại M. Một điểm A thay đổi trên đường tròn (O2), từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O1) với B, C là hai tiếp điểm. BM, CM lần lượt cắt (O2) tại D và E. DE cắt tiếp tuyến tại A của (O2) tại F. Chứng minh rằng F thuộc một đường thẳng cố định khi A di chuyển trên (O2) không thẳng hàng với O1 và M.

 

 

$\sum \frac{a^{2}+b}{a+b^{2}}\geq 3$

a>0,b>0,c>0,a+b+c=3-(nguồn: Phạm Quốc Sang)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: 

$\frac{{{a^2} + b}}{{{b^2} + a}} + \frac{{{b^2} + c}}{{{c^2} + b}} + \frac{{{c^2} + a}}{{{a^2} + c}} \ge \frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + a + b + c} \right)}^2}}}{{\left( {{a^2} + b} \right)\left( {{b^2} + a} \right) + \left( {{b^2} + c} \right)\left( {{c^2} + b} \right) + \left( {{a^2} + c} \right)\left( {{c^2} + a} \right)}}$

Sau đó đặt $ab+bc+ca=q (q \le 3)$ ta sẽ rút bất đẳng thức về bất đẳng thức 1 biến q.

Bài 4: Cho 3 số thực không âm $a, b, c$, $a+b+c=3$. Chứng minh bất đẳng thức:
$$\sqrt{2a^3+abc}+\sqrt{2b^3+abc}+\sqrt{2c^3+abc} \geqslant 3\sqrt{3}$$
$$\text{- Nguyễn Văn Quý -}$$

Bài 10: Cho 3 số thực không âm $a, b, c$ sao cho không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh bất đẳng thức:
$$\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{b^2+ac}+\dfrac{1}{c^2+ab} \geqslant \dfrac{3(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)}$$
$$\text{- Phạm Hữu Đức -}$$

LCF là viết tắt của Left Concave Funcition.

Nếu $f$ là một hàm lõm trên $\mathbb{I}$ thì với mọi $x_1, x_2,..., x_n \in \mathbb{I}$ ta luôn có

$f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n) \le n.f(\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n})$

Hình như đây chỉ là bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức LCF còn phức tạp hơn thế

Bài toán: Cho 3 số thực không âm $a, b, c$, $a+b+c=3$ và 1 hằng số $x$ thỏa mãn $\dfrac{5}{4} \leq x \leq 2$. Chứng minh bất đẳng thức:
$$\dfrac{1}{2a+4x-5}+\dfrac{1}{2b+4x-5}+\dfrac{1}{2c+4x-5} \geq \dfrac{3x^2}{2abc+4x^3-3x^2-2}$$

Cho 3 số thực không âm $a, b, c$ sao cho không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh bất đẳng thức:

$\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} + 16\sqrt {\frac{{ab + bc + ac}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}} \ge 12$

Cho 3 số thực dương $a, b, c$. Chứng minh bất đẳng thức:

$$\frac{{{a^2}}}{b} + \frac{{{b^2}}}{c} + \frac{{{c^2}}}{a} + \frac{{9{{\left( {a + b + c} \right)}^3}}}{{10\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} \ge \frac{{37}}{{10}}\left( {a + b + c} \right)$$