use your brains

Cho tam giác $ABC$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại X. Đường tròn bàng tiếp góc $A$ tiếp xúc với $BC$ tại $M$. $X'$ là điểm đối xứng với $X$ qua $I$. Chứng minh $A,M,X'$ thẳng hàng

Cho tứ giác $ABCD$ và các cặp điểm $M, N, P, Q, R, S, U, V$ theo thứ tự thuộc các cạnh $AB, BC, CD,DA$ của tứ giác sao cho: $AM=MN=NB; BP=PQ=QC; CR=RS=SD; DU=UV=VA$. $VP$ theo thứ tự cắt $MS, NR$ tại $X, Y$. $QU$ theo thứ tự cắt $NR, MS$ tại $Z, T$. Chứng minh rằng diện tích tứ giác $XYZT$ bằng $\frac{1}{9}$ diện tích tứ giác $ABCD$.

Cho hai tam giác $A_1BC, A_2BC$. Gọi $I_1, I_2$ theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp của chúng. Chứng minh rằng: $I_1I_2\leq A_1A_2$

Cho lục giác $ABCDEF$. Các điểm $M, N, P, Q, R, S$ theo thứ tự thay đổi trên các cạnh $AB, BC, CD, DE, EF, FA$ sao cho: 

$\frac{AM}{AB}=\frac{BN}{BC}=\frac{CP}{CD}=\frac{DQ}{DE}=\frac{ER}{EF}=\frac{FS}{FA}$. Chứng minh rằng trọng tâm của các tam giác $MPR, NQS$ luôn đối xứng với nhau qua một điểm cố định.

Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $X,Y,Z,T$ theo thứ tự là trọng tâm các tam giác $BCD, CDA, ADB, ABC.$ Chứng minh rằng $AX,BY,CZ,DT$ đồng quy tại một điểm và điểm đó chia mỗi đoạn theo cùng một tỉ số.