nmlinh16

Mình lấy $A$ là ma trân vuông cỡ $n$. Với $i_1,\ldots,i_r$ và $j_1,\ldots,j_r$ là hai bộ $r$ chỉ số (không nhất thiết đôi một phân biệt), ta ký hiệu

$$A^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,j_r}$$

là định thức của ma trận cỡ $r \times r$ tạo bởi lấy các phần thử trên các hàng thứ $i_1,\ldots,i_r$ của $A$ và các cột thứ $j_1,\ldots,j_r$ của $A$.

Giả sử $A$ có hạng $r$, thế thì mọi định thức con cỡ $r+1$ của $A$ đều bằng $0$, và tồn tại một định thức con cỡ $r$ của $A$ khác $0$.

• Khi đổi chỗ hai hàng hoặc hai cột, rõ ràng các định thức con $A^{i_1,\ldots,i_{r+1}}_{j_1,\ldots,j_{r+1}}$ chỉ đảo giá trị lẫn nhau, nên vẫn bằng $0$.
• Khi nhân hàng thứ $i$ với vô hướng $\lambda \neq 0$, định thức con $A^{i_1,\ldots,i_{r+1}}_{j_1,\ldots,j_{r+1}}$ trở thành $\lambda A^{i_1,\ldots,i_{r+1}}_{j_1,\ldots,j_{r+1}}$ nếu $i \in \{i_1,\ldots,i_{r+1}\}$ và không đổi nếu ngược lại, trong mọi trường hợp thì vẫn bằng $0$. Tương tự cho việc nhân một cột $j$ với một vô hướng $\lambda \neq 0$.
• Khi áp dụng $H_i \leftarrow H_i + \lambda H_{i'}$ (cộng $\lambda$ lần hàng thứ $i'$ vào hàng thứ $i$, với $i \neq i'$ và $\lambda \in \mathbb{R}$), định thức con $A^{i_1,\ldots,i_{r+1}}_{j_1,\ldots,j_{r+1}}$ không đổi nếu $i \notin \{i_1,\ldots,i_{r+1}\}$. Trong trường hợp $i \in \{i_1,\ldots,i_{r+1}\}$, ta có thể giả sử $i = i_1$ chẳng hạn, thế thì định thức $A^{i_1,\ldots,i_{r+1}}_{j_1,\ldots,j_{r+1}}$ trở thành $A^{i_1,\ldots,i_{r+1}}_{j_1,\ldots,j_{r+1}} + \lambda A^{i',\ldots,i_{r+1}}_{j_1,\ldots,j_{r+1}}$ qua phép biến đổi này, và vì thế vẫn bằng $0$. Tương tự cho các phép biến đổi cột $C_j \leftarrow C_j + \lambda C_{j'}$.

Vậy ta đã chứng minh nếu $A$ có hạng $r$ thì sau các phép biến đổi sơ cấp, các định thức con cấp $r+1$ cũng $A$ đều bằng $0$.

Ta còn phải chỉ ra rằng $A$ có một định thức con cấp $r$ khác $0$. Giả sử ban đầu $A$ có một định thức con cấp $r$ khác $0$ là $A^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,j_r}$.

• Khi đổi chỗ hai hàng $i$ và $i'$, có thể xảy ra các trường hợp $i, i' \in \{i_1,\ldots,i_r\}$ (khi đó $A^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,j_r}$ đổi dấu, vì thế vẫn khác $0$), hoặc $i \in \{i_1,\ldots,i_r\}$ và $i' \notin \{i_1,\ldots,i_r\}$, (khi đó $A^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,j_r}$ sẽ khác $0$ khi thay $i$ bởi $i'$), hoặc $i \notin \{i_1,\ldots,i_r\}$ và $i' \in \{i_1,\ldots,i_r\}$ (tương tự), hoặc $i, i' \notin \{i_1,\ldots,i_r\}$ (khi đó $A^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,j_r}$ không đổi, vì thế vẫn khác $0$). Tương tự khi đổi chỗ hai cột $j$ và $j'$.
• Khi nhân hàng thứ $i$ với vô hướng $\lambda \neq 0$, định thức con $A^{i_1,\ldots,i_{r}}_{j_1,\ldots,j_{r}}$ trở thành $\lambda A^{i_1,\ldots,i_{r}}_{j_1,\ldots,j_{r}}$ nếu $i \in \{i_1,\ldots,i_{r}\}$ và không đổi nếu ngược lại, trong mọi trường hợp thì vẫn khác $0$. Tương tự cho việc nhân một cột $j$ với một vô hướng $\lambda \neq 0$.
• Khi áp dụng $H_i \leftarrow H_i + \lambda H_{i'}$, thì rắc rối hơn một chút.

1. Nếu $i \notin \{i_1,\ldots,i_r\}$ thì $A^{i_1,\ldots,i_{r}}_{j_1,\ldots,j_{r}}$ không đổi, nên vẫn khác $0$.
2. Nếu $i, i' \in \{i_1,\ldots,i_r\}$ thì $A^{i_1,\ldots,i_{r}}_{j_1,\ldots,j_{r}}$ được cộng thêm một định thức mới với hai hàng bằng nhau (thứ $i$ và thứ $i'$), nên không đổi, nên vẫn khác $0$.
3. Nếu $i \in \{i_1,\ldots,i_r\}$ và $i' \notin \{i_1,\ldots,i_r\}$. Ta giả sử chẳng hạn $i = i_1$, thế thì $A^{i_1,\ldots,i_{r}}_{j_1,\ldots,j_{r}}$ trở thành $A^{i_1,\ldots,i_{r}}_{j_1,\ldots,j_{r}} + \lambda A^{i',\ldots,i_{r}}_{j_1,\ldots,j_{r}}$. Nếu $A^{i',\ldots,i_{r}}_{j_1,\ldots,j_{r}} = 0$ thì $A^{i_1,\ldots,i_{r}}_{j_1,\ldots,j_{r}}$ không đổi, nên vẫn khác $0$. Nếu $A^{i',\ldots,i_{r}}_{j_1,\ldots,j_{r}} \neq 0$, nhân xét rằng đây là một định thức con cấp $r$ khác $0$ của ma trận mới thu được sau khi áp dụng $H_i \leftarrow H_i + \lambda H_{i'}$ (vì phép biến đổi này chỉ thay đổi hàng $i$, trong khi $i \notin \{i',i_2,\ldots,i_r\}$.

Vậy ma trận mới thu được vẫn có một định thức con cấp $r$ khác $0$ trong mọi trường hợp. Tương tự cho phép biến đổi cột $C_j \leftarrow C_j + \lambda C_{j'}$.

Bài hay, bump lên cho các bạn học sinh làm.

Để áp dụng suy luận như trên, bạn phải tìm một khoảng ổn định của $f$, nghĩa là một khoảng/đoạn $I$ sao cho với mọi $t \in I$ thì $f(t) \in I$.

Sau đó khi bạn có $x_0 \in I$ thì bằng quy nạp sẽ có $x_n \in I$ với mọi $n$.

Tiếp theo, nếu $f$ đồng biến trên $I$ thì dãy sẽ tăng hoặc giảm, tùy theo $x_1 \ge x_0$ hay $x_1 \le x_0$.

Nếu $x_1 \ge x_0$ thì $f(x_1) \ge f(x_0)$ vì $f$ đồng biến, hay $x_2 \ge x_1$. Tiếp tục, ta có $x_3 \ge x_2$... bằng quy nạp thì $x_{n+1} \ge x_n$ với mọi $n$, hay dãy $(x_n)$ tăng.

Tương tự, nếu $x_1 \le x_0$ thì dãy $(x_n)$ giảm.

Cần nói thêm là bài làm của bạn pcoVietnam2 ở trên là chưa chặt chẽ ở đoạn này:

"$f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$."

 

Kết luận này là sai, $f$ không xác định tại điểm điểm $\frac{4}{3}$. Ta chỉ có $f'(t) \ge 0$ với $t \in (-\infty, \frac{4}{3})$ và $t \in (\frac{4}{3},+\infty)$, nghĩa là $f$ chỉ đồng biến trên các khoảng $(-\infty, \frac{4}{3})$ và $(\frac{4}{3},+\infty)$ mà thôi.

Có.

Chứng minh: Xét số thực $x > N$ tùy ý.

1. Bằng quy nạp, ta chứng minh được rằng $f(nx) = nf(x)$ với mọi $n \in \mathbb{N}^\ast$.
2. Với $q$ là số hữu tỉ, $q > 1$, ta viết $q = \frac{m}{n}$ với $m, n \in \mathbb{N}^\ast$.
   Thế thì $mf(x) = f(mx) = f(nqx) = nf(qx)$ (vì $qx > N$), suy ra $f(qx) = \frac{m}{n}f(x) = qf(x)$.
3. Với $r$ là số thực, $r > 1$, chọn hai số hữu tỉ $q,q'$ sao cho $1 < q < r < q'$.
   Lấy $n \in \mathbb{N}^\ast$ đủ lớn sao cho $n(r - q) > 1$ và $n(q' - r) > 1$.
   Thế thì $nrx - nqx > x > N$ và $nq'x - nrx > x > N$.
   Suy ra $nf(rx) = f(nrx) = f(nrx - nqx) + f(nqx) > f(nqx) = nf(qx)$, nên $f(rx) > f(qx) = qf(x)$.
   Tương tự, $nf(rx) = f(nrx) < f(nrx) + f(nq'x - nrx) = f(nq'x) = nf(q'x)$, nên $f(rx) < q'f(x)$.
   Vậy $qf(x) < f(rx) < q'f(x)$.
   Vì $q$ và $q'$ có thể lấy gần $r$ một cách tùy ý nên từ bất đẳng thức trên ta có $f(rx) = rf(x)$.

Vậy $f(rx) = rf(x)$ với mọi $r \ge 1$ và $x > N$.
Nói riêng, chẳng hạn lấy $T = N+1$ và đặt $a = \frac{f(T)}{T}$. Thế thì với mọi $x > T$, ta có
$$f(x) = f\left(\frac{x}{T}\cdot T\right) = \frac{x}{T}f(T) = ax.$$

4. Liên hợp Quillen

Mệnh đề - Định nghĩa 4.1. Cho $F: \mathbf{M} \leftrightarrows \mathbf{N} :G$ là một cặp hàm tử liên hợp giữa hai phạm trù mô hình. Khi đó 4 khẳng định sau đây tương đương

1. $F$ bảo toàn đối phân thớ và đối phân thớ acyclic.
2. $G$ bảo toàn phân thớ và phân thớ acyclic.
3. $F$ bảo toàn đối phân thớ và $G$ bảo toàn phân thớ.
4. $F$ bảo toàn đối phân thớ acyclic và $G$ bảo toàn phân thớ acyclic.

Khi các điều kiện trên được thỏa mãn, ta nói $F$ và $G$ là một cặp liên hợp Quillen.

Chứng minh. Nhắc lại (Mệnh đề 2.2) rằng một cấu xạ là một đối phân thớ (tương ứng, đối phân thớ acyclic) khi và chỉ khi nó có tính chất nâng trái đối với mọi phân thớ acyclic (tương ứng, phân thớ). Một cách đối ngẫu, một cấu xạ là một phân thớ (tương ứng, phân thớ acyclic) khi và chỉ khi nó có tính chất nâng phải đối với mọi đối phân thớ acyclic (tương ứng, đối phân thớ). 

Ta chứng minh rằng nếu $F$ bảo toàn đối phân thớ thì $G$ bảo toàn phân thớ acyclic. Thật vậy, cho $p: X \tilde{\twoheadrightarrow} Y$ là một phân thớ acyclic trong $\mathbb{N}$. Ta chứng minh rằng $Gp: GX \to GY$ là một phân thớ acyclic trong $\mathbf{N}$. Xét $i: A \hookrightarrow B$ là một đối phân thớ tùy ý (trong $\mathbf{N}$). Vì $Fi$ là một đối phân thớ nên theo (MC4), tồn tại mũi tên đứt làm giao hoán biểu đồ với các mũi tên liền

 18.png   7.79K   2 Số lần tải

Sau khi lấy liên hợp, ta thu được mũi tên đứt làm giao hoán biểu đồ với các mũi tên liền

 19.png   8.2K   2 Số lần tải

Vậy $i \perp Gp$. Suy ra $Gp$ là một đối phân thớ acyclic.

Tương tự, nếu $F$ bảo toàn đối phân thớ acyclic thì $G$ bảo toàn phân thớ. Một cách đối ngẫu, nếu $G$ bảo toàn phân thớ (tương ứng, phân thớ acyclic) thì $F$ bảo toàn đối phân thớ acyclic (tương ứng, đối phân thớ). Từ các kết quả này, ta dễ thấy rằng 4 điều kiện đã cho tương đương. $\square$

Nhận xét rằng nếu $F: \mathbf{M} \leftrightarrows \mathbf{N} :G$ là một cặp liên hợp Quillen thì $F$ bảo toàn vật đối phân thớ (tương ứng, $G$ bảo toàn vật phân thớ). Thật vậy $F \varnothing = \varnothing$ (vì $F$ bảo toàn đối giới hạn) và $G \ast = \ast$ (vì $G$ bảo toàn giới hạn). Hơn nữa, theo Bổ đề Brown (xem chứng minh của Mệnh đề 3.6), $F$ bảo toàn tương đương yếu giữa hai vật đối phân thớ và $G$ bảo toàn tương đương yếu giữa hai vật phân thớ.

Ví dụ 4.2. Cho $f: R \to S$ là một đồng cấu vành. Khi đó $-\otimes_R S: \mathbf{Ch}_{\ge 0} (R) \leftrightarrows \mathbf{Ch}_{\ge 0}(S): f^\ast$ là một cặp liên hợp Quillen trên mô hình xạ ảnh.

Với $\mathbf{M}$ là một phạm trù mô hình, ta ký hiệu bởi $\lambda: \mathbf{M} \to \mathbf{Ho}(\mathbf{M})$ hàm tử địa phương hóa.

Định nghĩa. Cho $\mathbf{H}$ là một phạm trù tùy ý và $F: \mathbf{M} \to \mathbf{H}$ là một hàm tử.

• Một hàm tử dẫn xuất trái của $F$ gồm một hàm tử $\mathbb{L}F: \mathbf{Ho}(\mathbf{M}) \to H$ và một biến đổi tự nhiên $\alpha: \mathbb{L} F \circ \lambda \Rightarrow F$ sao cho: với mọi hàm tử $G: \mathbf{Ho}(\mathbf{M}) \to H$ và mọi biến đổi tự nhiên $\beta: G \lambda \Rightarrow F$, tồn tại duy nhất biến đổi tự nhiên $\theta: G \Rightarrow \mathbb{L} F$ (lạm dụng ký hiệu, ta cũng coi nó như một biến đổi tự nhiên $G \lambda \Rightarrow \mathbb{L}F \circ \lambda$) sao cho ta có $\beta = \alpha \circ \theta: G\lambda \Rightarrow F$.
• Một hàm tử dẫn xuất phải của $F$ gồm một hàm tử $\mathbb{R}F: \mathbf{Ho}(\mathbf{M}) \to H$ và một biến đổi tự nhiên $\varepsilon: F \Rightarrow \mathbb{R} F \circ \lambda$ sao cho: với mọi hàm tử $G: \mathbf{Ho}(\mathbf{M}) \to H$ và mọi biến đổi tự nhiên $\phi: F \Rightarrow G \lambda$, tồn tại duy nhất biến đổi tự nhiên $\phi: \mathbb{R} F  \Rightarrow  G$ sao cho ta có $\phi = \theta \circ \varepsilon: F \Rightarrow G\lambda$.

Hàm tử liên hợp (trái hoặc phải) của một hàm tử, nếu tồn tại, là duy nhất sai khác đẳng cấu tự nhiên.

Nhắc lại rằng ta có hàm tử giải đối phân thớ $Q: \mathbf{M} \to \mathbf{M}$ cùng biến đổi tự nhiên $p: Q \Rightarrow \mathbf{1}_{\mathbf{M}}$. Hơn nữa, $Q$ bảo toàn tương đương yếu (dùng (MC2)).

Mệnh đề 4.3. Nếu $F$ biến đối phân thớ acyclic giữa hai vật đối phân thớ (tương ứng, phân thớ acyclic giữa hai vật phân thớ) thành đẳng cấu thì $F$ có dẫn xuất trái (tương ứng, dẫn xuất phải). Nói riêng, nếu $F: \mathbf{M} \leftrightarrows \mathbf{N} :G$ là một cặp liên hợp Quillen thì $F$ có dẫn xuất trái và $G$ có dẫn xuất phải.

Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh ý thứ nhất. Xét cấu trúc mô hình trên $\mathbf{H}$ trong đó tương đương yếu là đẳng cấu, và mọi cấu xạ đều là phân thớ cũng như đối phân thớ. Theo Bổ đề Brown, $F$ biến tương đương yếu giữa hai vật đối phân thớ thành đẳng cấu. Do đó $FQ$ phân tích qua $\mathbf{Ho}(\mathbf{M})$, nghĩa là $FQ = \mathbb{L} F \circ \lambda$ với hàm tử $\mathbb{L} F: \mathbf{Ho}(\mathbf{M}) \to \mathbf{H}$ nào đó. Trên các vật, ta có $\mathbb{L} F = FQ X$. Ngoài ra, $p: Q \Rightarrow \mathbf{1}_{\mathbf{M}}$ cảm sinh biến đổi tự nhiên $\alpha: \mathbb{L}F \circ \lambda = FQ \Rightarrow F$.

Ta chứng minh rằng cặp $(\mathbb{L}F, \alpha)$ vừa xây dựng thỏa mãn tính chất phổ dụng của hàm tử liên hợp trái. Thật vậy, cho $G: \mathbf{Ho}(\mathbf{M}) \to \mathbf{H}$ là một hàm tử và $\beta: G\lambda \Rightarrow F$ là một biến đổi tự nhiên. Với mỗi vật $X$ trong $\mathbf{M}$, tương đương yếu $p_X: QX \tilde{\twoheadrightarrow} X$ trở thành đẳng cấu $\lambda p_X$ trong $\mathbf{Ho}(\mathbf{M})$, nên $G\lambda p_X: GQX \cong GX$. Đặt $\theta_X = \beta_{QX} \circ G \lambda p_X^{-1}: GX \to F QX$. Thế thì $\theta$ là một biến đổi tự nhiên $G \Rightarrow \mathbb{L}F$, hơn nữa vì $\alpha_X \beta_{QX} = \beta_X \circ Gp_X$ nên $\beta_X = \alpha_X \theta_X$, hay $\beta = \alpha \circ \theta$.

Ta chỉ ra rằng biến đổi tự nhiên $\theta$ như vậy là duy nhất. Thật vậy, nếu $\theta'$ là một biến đổi tự nhiên khác như vậy thì với mọi vật $X$, ta có $\beta_{QX} = \alpha_{QX} \theta'_{QX}$. Xét hình lập phương giao hoán

 20.png   24.8K   2 Số lần tải

trong đó mọi vật trừ $X$ đều là vật đối phân thớ, và mọi mũi tên đều là tương đương yếu. Áp dụng $F$, ta thu được các đẳng cấu, trừ ba mũi tên $Fp_X$. Tính giao hoán của mặt trên cho ta $FQQp_X = FQp_X$, mặt trái cho ta $FQp_X = Fp_{QQX}$. Từ đó $FQQp_X = Fp_{QQX}$, và tính giao hoán của mặt sau cho ta $Fp_{QX} = FQp_X = \alpha_X$. Cuối cùng, tính tự nhiên của $\theta'$ cho ta $$\theta'_X \circ G \lambda p_X = FQp_X \circ \theta'_{QX} = \alpha_X \theta'_{QX} = \beta_{QX} = \theta_X \circ G\lambda p_X,$$ suy ra $\theta'_X = \theta_X$ (vì $G\lambda p_X$ là một đẳng cấu). $\square$

Định nghĩa. Cho $F: \mathbf{M} \to \mathbf{N}$ là một hàm tử giữa hai phạm trù mô hình.

• Một hàm tử dẫn xuất trái toàn phần của $F$ là một hàm tử dẫn xuất trái của $\lambda F: \mathbf{M} \to \mathbf{Ho}(\mathbf{N})$.
• Một hàm tử dẫn xuất phải toàn phần của $F$ là một hàm tử dẫn xuất phải của $\lambda F: \mathbf{M} \to \mathbf{Ho}(\mathbf{N})$.

Lạm dụng ký hiệu, ta vẫn viết $\mathbb{L}F: \mathbf{Ho}(\mathbf{M}) \to \mathbf{Ho}(\mathbf{N})$ (tương ứng, $\mathbb{R}F: \mathbf{Ho}(\mathbf{M}) \to \mathbf{Ho}(\mathbf{N})$) để chỉ hàm tử dẫn xuất trái (tương ứng, phải) toàn phần. Theo định nghĩa, ta có các biến đổi tự nhiên $\mathbb{L}F \circ \lambda \Rightarrow \lambda F$ và $\lambda F \Rightarrow \mathbb{R}F$. Từ đó, nếu $\mathbf{M} \xrightarrow{F} \mathbf{N} \xrightarrow{G} \mathbf{P}$ là các hàm tử sao cho $F$, $G$ và $G \circ F$ đều có dẫn xuất trái (tương ứng, phải) thì ta có biến đổi tự nhiên $\mathbb{L} G \circ \mathbb{L}F \Rightarrow \mathbb{L}(GF)$.

Định lý 4.4. Cho $F: \mathbf{M} \leftrightarrows \mathbf{N} :G$ là một cặp liên hợp Quillen giữa hai phạm trù mô hình, khi đó $\mathbb{L} F: \mathbf{Ho}(\mathbf{M}) \leftrightarrows \mathbf{Ho}(\mathbf{N}) :\mathbb{R}G$ là một cặp liên hợp.

Chứng minh. Từ chứng minh của Mệnh đề 4.3, ta có $\mathbb{L}FA = FQA$ và $\mathbb{R}GX = GRX$, trong đó $Q: \mathbf{M} \to \mathbf{M}$ và $R: \mathbf{N} \to \mathbf{N}$ lần lượt là hàm tử giải đối phân thớ và giải phân thớ. Ta có song ánh tự nhiên $$\text{Hom}_{\mathbf{N}}(FQA,RX) \cong \text{Hom}_{\mathbf{M}}(QA,GRX).$$

Chú ý rằng $FQA$ là một vật đối phân thớ và $QRX$ là một vật phân thớ. Ta chỉ ra rằng song ánh trên cảm sinh song ánh sau khi lấy đồng luân. Thật vậy, giả sử $f,g: FQA \to RX$ là hai cấu xạ đồng luân. Xét $RY \tilde{\rightarrow} P \twoheadrightarrow RY \times RY$ là một vật đường và $H: FQA \to P$ là một đồng luân phải giữa $f$ và $g$. Vì $G$ bảo toàn phân thớ và giới hạn, ta thu được phân tích $GRY \to GP \twoheadrightarrow GRY \times GRY$ của cấu xạ đường chéo. Mà $RY$ là một vật phân thớ (nên $P$ cũng vậy) và $G$ bảo toàn tương đương yếu giữa các vật phân thớ (Bổ đề Brown) nên phân tích $GRY \tilde{\rightarrow} GP \twoheadrightarrow GRY \times GRY$ là một vật đường của $GRY$. Lấy liên hợp của $H: FQA \to P$, ta thu được $H': QA \to GP$, đây là một đồng luân phải giữa liên hợp của $f$ và $g$. Một cách đối ngẫu, nếu ta có hai cấu xạ đồng luân $QA \to GRX$ thì liên hợp của chúng cũng là hai cấu xạ đồng luân $FQA \to RX$. Vậy ta có song ánh $$[FQA,RX] = \text{Hom}_{\mathbf{N}}(FQA,RX)/\simeq \cong \text{Hom}_{\mathbf{M}}(QA,GRX)\simeq = [QA,GRX].$$

Cuối cùng, theo Định lý cơ bản của phạm trù đồng luân (Định lý 3.17), ta có song ánh tự nhiên $$\text{Hom}_{\mathbf{Ho}(\mathbf{N})}(\mathbb{L}F(A),X) = \text{Hom}_{\mathbf{Ho}(\mathbf{N})}(FQA,X) \cong [FQA,RX] \cong [QA, GRX] \cong \text{Hom}_{\mathbf{Ho}(\mathbf{M})}(A,GRX) = \text{Hom}_{\mathbf{Ho}(\mathbf{M})}(A,\mathbb{R}G(X)).$$ $\square$

Mệnh đề 4.5. Nếu $\mathbf{M} \xrightarrow{F} \mathbf{N} \xrightarrow{G} \mathbf{P}$ là các liên hợp Quillen trái giữa các phạm trù mô hình thì biến đổi tự nhiên $\eta: \mathbb{L} G \circ \mathbb{L}F \Rightarrow \mathbb{L}(GF)$.là một đẳng cấu tự nhiên.

Chứng minh. Ta có $\mathbb{L} G (\mathbb{L}F(A)) = \mathbb{L} G(FQA) = GQFQA$, $\mathbb{L}(GF)(A) = GFQA$ (trong đó $Q$ là các hàm tử giải đối phân thớ) và $\alpha_A = \lambda Gp_{FQA}$ (trong đó $p_{FQA}: QFQA \tilde{\twoheadrightarrow} FQA$ là cấu xạ cho bởi phân tích đối phân thớ của $FQA$, và $\lambda: \mathbf{P} \to \mathbf{Ho}(\mathbf{P})$ là cấu xạ địa phương hóa). Mà $FQA$ và $QFQA$ là các vật đối phân thớ nên $Gp_{FQA}$ là một tương đương yếu, hay $\lambda Gp_{FQA}$ là một đẳng cấu trong $\mathbf{Ho}(\mathbf{P})$. $\square$

Định lý - Định nghĩa 4.6. Cho $F: \mathbf{M} \leftrightarrows \mathbf{N} :G$ là một cặp liên hợp Quillen giữa hai phạm trù mô hình. Lần lượt ký hiệu bởi $\eta: \mathbf{1}_{\mathbf{M}} \Rightarrow GF$ và $\varepsilon: FG \to \mathbf{1}_{\mathbf{N}}$ các biến đổi đơn vị và đối đơn vị. Các khẳng định sau tương đương.

1. Cặp liên hợp cảm sinh $\mathbb{L} F: \mathbf{Ho}(\mathbf{M}) \leftrightarrows \mathbf{Ho}(\mathbf{N}) :\mathbb{R}G$ là các tương đương phạm trù (tựa nghịch đảo lẫn nhau).
2. Với mọi vật đối phân thớ $A$ trong $\mathbf{M}$ và mọi vật phân thớ $X$ trong $\mathbf{N}$, một cấu xạ $FA \to X$ là một tương đương yếu khi và chỉ khi liên hợp $A \to GX$ của nó cũng vậy.
3. Với mọi vật đối phân thớ $A$ trong $\mathbf{M}$ và mọi vật phân thớ $X$ trong $\mathbf{N}$, các cấu xạ hợp thành $$A \xrightarrow{\eta_A} GF A \to GRFA, \qquad FQGX \to FGX \xrightarrow{\varepsilon_X} X$$ là các tương đương yếu (trong đó $Q: \mathbf{M} \to \mathbf{M}$ và $R: \mathbf{N} \to \mathbf{N}$ lần lượt là hàm tử giải đối phân thớ và giải phân thớ).

Khi các điều kiện trên được thỏa mãn, ta nói cặp $F: \mathbf{M} \leftrightarrows \mathbf{N} :G$ là một tương đương Quillen.

Chứng minh. Ta chứng minh $3. \Rightarrow 2. \Rightarrow 1.$

$3 \Rightarrow 2.$ Cho $A$ là một đối phân thớ trong $\mathbf{M}$, $X$ là một vật phân thớ trong $\mathbf{X}$ và $f: FA \to X$ là một cấu xạ. Giả sử $f$ là một tương đương yếu. Liên hợp của $f$ là $g = Gf \circ \eta_{A}: A \to GX$. Ta có biểu đồ giao hoán 

 21.png   10.15K   2 Số lần tải

Ở đây $GX \to GRX$ và $GRFA \to GRX$ là các tương đương yếu vì $X \tilde{\hookrightarrow} RX$ và $RFA \tilde{\hookrightarrow} RX$ là các tương đương yếu giữa hai vật phân thớ (chú ý rằng $R$ bảo toàn tương đương yếu theo (MC2)). Ngoài ra, $A \to GRFA$ là một tương yếu theo giả thiết. Vì thế $g = Gf \circ \eta_A$ là một tương đương yếu theo (MC2). Một cách đối ngẫu, nếu $g$ là một tương yếu thì $f$ cũng vậy.

$2 \Rightarrow 1$, Ký hiệu $\tilde{\eta}: \mathbf{1}_{\mathbf{Ho}(\mathbf{M}} \Rightarrow \mathbb{R} G \circ \mathbb{L}F$, là biến đổi đơn vị của cặp liên hợp cảm sinh $\mathbb{L} F: \mathbf{Ho}(\mathbf{M}) \leftrightarrows \mathbf{Ho}(\mathbf{N}) :\mathbb{R}G$. Với mỗi vật $A$ trong $\mathbb{M}$, cấu xạ $\tilde{\eta}_A \in \text{Hom}_{\mathbf{Ho}(\mathbf{M})}(A, \mathbb{R}G(\mathbb{L}F(A))) = [QA,GRFQA]$ là liên hợp của (lớp đồng luân của) cấu xạ $FQA \tilde{\hookrightarrow} RFQA$. Đây là một đối phân thớ acyclic giữa hai vật đối phân thớ ($FQA$ là một vật đối phân thớ nên $RFQA$ cũng vậy), do đó $\tilde{\eta}_A$ là lớp đồng luân của một tương đương yếu (theo giả thiết), nghĩa là một đẳng cấu. Tương tự, biến đổi đối đơn vị $\tilde{\varepsilon}: \mathbb{L} F \circ \mathbb{R}G \Rightarrow \mathbf{1}_{\mathbf{Ho}(\mathbf{N})}$ là một đẳng cấu tự nhiên.

$1 \Rightarrow 3.$ Giả sử $A$ là một vật đối phân thớ trong $\mathbf{M}$. Ta có biểu đồ giao hoán

 22.png   6.5K   3 Số lần tải

Theo giả thiết, cấu xạ đơn vị $QA \to GRFQA$ là trở thành đẳng cấu trong phạm trù dẫn xuất, tức là một tương đương yếu. Vì $QA \to A$ là một tương đương yếu giữa hai vật đối phân thớ nên $FQA \to FA$ là một tương đương yếu, suy ra $RFQA \to RFA$ cũng vậy (theo (MC2)). Mà $RFQA$ và $RFA$ là các vật phân thớ nên $GRFQA \to GRFA$ là một tương đương yếu. Theo (MC2) thì $A \to GRFA$ là một tương đương yếu. Một cách đối ngẫu, nếu $X$ là một vật phân thớ trong $\mathbf{N}$ thì $FQGX \to X$ là một tương đương yếu. $\square$

Ví dụ 4.7. Cho $R$ là một vành. Hàm tử đồng nhất trên $\mathbf{Ch}(R)$ là một tương đương Quillen giữa mô hình xạ ảnh ở bên trái và mô hình nội xạ ở bên phải.

Ví dụ 4.8. Ở bài https://diendantoanh...g-luân-đơn-hình, ta đã xây dựng cặp liên hợp $$|-|: \mathbf{sSet} \leftrightarrows \mathbf{Top}: \text{Sing}_\bullet$$ giữa hàm tử hình học hóa trên các tập đơn hình và hàm tử phức kỳ dị. Đây là một tương đương Quillen, trong đó

• cấu trúc mô hình trên $\mathbf{sSet}$: các tương đương yếu là các ánh xạ đơn hình với hình học hóa là tương đương đồng luân yếu, các đối phân thớ là các phép bao hàm, các phân thớ là các phân thớ Kan (các ánh xạ đơn hình thỏa mãn tính chất nâng phải đối với các phép bao hàm $\Lambda^n_k \hookrightarrow \Delta^n$ của các sừng trong đơn hình chuẩn);
• cấu trúc mô hình trên $\mathbf{Top}$ là cấu trúc Quillen: các tương đương yếu là các tương đương đồng luân yếu, các đối phân thớ là rút gọn của các phép bao hàm của CW-phức suy rộng, các phân thớ là các phân thớ Serre.(Ví dụ 2.4).