Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


nmlinh16

Đăng ký: 18-03-2018
Offline Đăng nhập: 25-11-2022 - 23:42
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Đối đồng điều: Lý thuyết về các cản trở

07-10-2021 - 16:10

Ta xét chẳng hạn bài toán phân loại nhóm hữu hạn. Theo định lý Jordan-Hölder, mọi nhóm hữu hạn $G$ đều thừa nhận một dãy phân giải $1 \subseteq G_0 \subseteq \cdots \subseteq G_n = G$, trong đó $G_{i-1}$ là một nhóm con chuẩn tắc của $G_i$ và $G_i/G_{i-1}$ là một nhóm đơn với mọi $i = 1,\ldots,n$. Như vậy, để trả lời câu hỏi "ta biết gì về các nhóm hữu hạn, ta cần trả lời hai câu hỏi"

 

1. Ta biết gì về các nhóm đơn hữu hạn? (bài toán phân loại các nhóm đơn hữu hạn, nó đã được giải trọn vẹn).

2. Cho trước một nhóm $E$, một nhóm con chuẩn tắc $A$ của $E$ và $G = E/A$. Ta biết gì về $E$ từ thông tin về $G$ và $A$? (bài toán phân loại các mở rộng nhóm - group extension).

 

Cho $A, G$ và $E$ như trên, thế thì ta có một dãy khớp $$1 \to A \to E \xrightarrow{\pi} G \to 1.$$ Ta gọi đó là một mở rộng của $G$ bởi $A$. Bài toán phân loại các mở rộng này vẫn còn mở. Tuy nhiên nếu $A$ là một nhóm abel thì câu chuyện đơn giản hơn. Một phần lí do là như sau: vì $A$ chuẩn tắc trong $E$, ta có một tác động liên hợp của $E$ trên $A$. Nếu $A$ là abel thì tác động liên hợp của $A$ lên chính nó là tầm thường, do đó tác động liên hợp của $E$ cảm sinh một tác động của $G$ trên $A$, cụ thể là $${}^g a := eae^{-1},$$ với $e \in E$ nào đó sao cho $\pi(e) = g$.

 

Ở bài này, ta chỉ ra rằng nhóm đối đồng điều $\text{H}^2(G,A)$ phân loại các mở rộng của $G$ bởi $A$ cảm sinh tác động cho trước.

 

3. $\text{H}^2$ và bài toán mở rộng nhóm

 

Cho $A$ là một nhóm abel (viết theo lối nhân) và $G$ là một nhóm. Một mở rộng của $G$ bởi $A$ là một dãy khớp $1 \to A \to E \xrightarrow{\pi} G \to 1$ (để đơn giản hóa ký hiệu, ta luôn coi $A$ là một nhóm con của $E$). Hai mở rộng như vậy được gọi là tương đương nếu tồn tại một đồng cấu nhóm $E \to E'$ cảm sinh ánh xạ đồng nhất trên $A$ và trên $G$ (một đồng cấu như vậy tự động là một đẳng cấu, ta chứng minh điều này một cách dễ dàng bằng diagram chasing). Hai mở rộng tương đương cảm sinh cùng một tác động của $G$ trên $A$.

 

Bây giờ giả sử $A$ đã được trang bị sẵn một tác động của $G$ bởi các tự đẳng cấu nhóm (hay $A$ là một $G$-môđun). Ta nói một mở rộng $1 \to A \to E \xrightarrow{\pi} G \to 1$ tương thích với tác động đã cho nếu tác động này trung với tác động của $G$ trên $A$ bởi phép liên hợp trong $E$, nghĩa là $${}^{\pi(e)} a = eae^{-1}$$ với mọi $e \in E$. 

 

Cho $1 \to A \to E \xrightarrow{\pi} G \to 1$ là một mở rộng tương thích với tác động của $G$ trên $A$. Với mỗi $g \in G$, chọn $s_g \in E$ sao cho $\pi(s_g) = g$ (nói cách khác, $s: G \to E$ là một lớp cắt (section) của $\pi$. Nói riêng, ta có $s_g a s_g^{-1} = {}^g a$ với mọi $a \in A$.

 

Với $g,h \in G$, vì $\pi(s_gs_h) = \pi(s_g)\pi(s_h) = gh = \pi(s_{gh})$ nên $s_g s_h = \phi_{g,h} s_{gh}$ với $\phi_{g,h} \in A$ nào đó. Với $g,h,k \in G$, ta có $$\phi_{g,h} \phi_{gh,k} s_{ghk} = \phi_{g,h} s_{gh}s_k = s_g s_h s_k = s_g \phi_{h,k} s_{hk} = {}^g \phi_{h,k} s_g s_{hk} = {}^g \phi_{h,k} \phi_{g,hk} s_{ghk},$$ từ đó  ta có $$\phi_{g,h} \phi_{gh,k} = {}^g \phi_{h,k} \phi_{g,hk}.$$ Một ánh xạ $\phi: G \to A$ thỏa mãn điều kiện trên được gọi là một 2-đối chu trình (hay hệ nhân tử - factor system) với hệ số trong $A$. Tập hợp $\text{Z}^2(G,A)$ là một nhóm abel với phép toán được định nghĩa một cách hiển nhiên $$(\phi + \phi')_{g,h} := \phi_{g,h} \phi'_{g,h}$$ với mọi $\phi, \phi' \in \text{Z}^2(G,A)$ và $g,h \in G$.

 

Ta chọn một lớp cắt khác $s': G \to E$ của $\pi$. Với $g \in G$, ta có $\pi(s'_g) = g = \pi(s_g)$, nên $s'_g = \alpha_g  s_g$ với $\alpha_g \in A$. Xét đối chu trình $\phi'$ cho bởi lớp cắt $s'$, nghĩa là $s'_g s'_h = \phi'_{g,h} s'_{gh}$ với mọi $g, h \in G$. Thế thì $$\phi'_{g,h} \alpha_{gh} s_{gh} = \alpha_g s_g \alpha_h s_h = \alpha_g {}^g\alpha_h s_g s_h = \alpha_g {}^g \alpha_h \phi_{g,h} s_{gh},$$ suy ra $$\phi'_{g,h} = \phi_{g,h} {}^g \alpha_h \alpha_{gh}^{-1} \alpha_g.$$ Vậy $\phi'$ và $\phi$ sai khác nhau một đối chu trình có dạng $(g,h) \mapsto \alpha_h \alpha_{gh}^{-1} \alpha_g$ với $\alpha: G \to A$ là một ánh xạ nào đó. Một đối chu trình như thế được gọi là một 2-đối biên. Các 2-đối biên lập thành một nhóm con của $\text{Z}^2(G,A)$ mà ta ký hiệu bởi $\text{B}^2(G,A)$. Ta định nghĩa nhóm đối đồng điều thứ $2$ của $G$ với hệ số trong $A$ bởi $\text{H}^2(G,A) = \text{Z}^2(G,A) / \text{B}^2(G,A)$. Lớp đối đồng điều của một đối chu trình $\phi$ sẽ được ký hiệu bởi $[\phi]$. Theo xây dựng trên, ta có một lớp $\text{Cl}(E) = [\phi] \in \text{H}^2(G,A)$, lớp này chỉ phụ thuộc vào mở rộng $E$, không phụ thuộc vào cách chọn lớp cắt $s$.

 

Ta nói mở rộng $E$ chẻ (split) nếu ta có thể chọn lớp cắt $s$ là một đồng cấu nhóm (thay vì chỉ đơn thuần là một ánh xạ). Trong trường hợp này, $\text{Cl}(E)$ được đại diện bởi đối chu trình tầm thường $$1: G \times G \to A, \qquad (g,h) \mapsto 1.$$

 

Ngược lại, cho một đối chu trình $\phi: G \times G \to A$. Ta xây dựng mở rộng $A \times_\phi G$ của $G$ bởi $A$ như sau. Về mặt tập hợp, $A \times_\phi G = A \times G$. Phép toán trên $A  \times_\phi G$ là tích chéo (crossed product) cho bởi chu trình $\phi$, nghĩa là $$(a,g)(b,h):=(a{}^g b \phi_{g,h},gh)$$ với mọi $a,b \in A$ và $g,h \in G$.

 

  1. Tính kết hợp của phép toán trên được suy ra từ điều kiện đối chu trình. Thật vậy, xét $a,b,c \in A$ và $g,h,k \in G$. Ta có $$\begin{align*}
    ((a,g)(b,h))(c,k) & = (a{}^g b \phi_{g,h},gh)(c,k) \\
    & = (a{}^g b \phi_{g,h} {}^{gh} c \phi_{gh,k}, (gh)k) \\
    & = (a{}^g b {}^g({}^h c) {}^g \phi_{h,k} \phi_{g,hk}, g(hk))\\
    & = (a,g)(b{}^g c, \phi_{h,k} ,hk)\\
    & = (a,g)((b,h)(c,k)).
    \end{align*}$$
  2. Phần tử trung lập của $A \times_\phi G$ là $(\phi_{1,1}^{-1}, 1)$. Thật vậy, vì $\phi$ là một đối chu trình nên với mọi $g \in G$, ta có $\phi_{g,1} \phi_{g,1} = {}^g \phi_{1,1} \phi_{g,1}$, suy ra $$\phi_{g,1} = {}^g \phi_{1,1}.$$ Tương tự, ta có $\phi_{1,1} \phi_{1,g} = \phi_{1,g} \phi_{1,g}$, suy ra $$\phi_{1,g} = \phi_{1,1}.$$ Do đó với $a \in G$, ta có $$(a,g)(\phi_{1,1}^{-1},1) = (a {}^g \phi_{1,1}^{-1} \phi_{g,1}, g) = (a,g)$$ và $$(\phi_{1,1}^{-1},1)(a,g) = (\phi_{1,1}^{-1} a \phi_{1,g}, g) = (a,g).$$
  3. Phần tử nghịch đảo của mỗi $(a,g) \in A \times_\phi G$ là $({}^{g^{-1}} a^{-1} \phi_{g^{-1},g}^{-1} \phi_{1,1}^{-1},g^{-1})$, vì $$({}^{g^{-1}} a^{-1} \phi_{g^{-1},g}^{-1} \phi_{1,1}^{-1}, g^{-1})(a,g) = ({}^{g^{-1}} a^{-1} \phi_{g^{-1},g}^{-1} \phi_{1,1}^{-1} ({}^{g^{-1}} a) \phi_{g^{-1},g}, g^{-1}g) = (\phi_{1,1}^{-1},1)$$ và $$(a,g)({}^{g^{-1}} a^{-1} \phi_{g^{-1},g}^{-1} \phi_{1,1}^{-1}, g^{-1}) = (aa^{-1} ({}^g  \phi_{g^{-1},g}^{-1}) ({}^g \phi_{1,1}^{-1}) \phi_{g,g^{-1}}, gg^{-1}) = (({}^g  \phi_{g^{-1},g}^{-1}) \phi_{g,1}^{-1} \phi_{g,g^{-1}}, 1) = (\phi_{1,1}^{-1}, 1).$$ Ở đây đẳng thức cuối cùng đến từ điều kiện đối chu trình $$\phi_{g,g^{-1}} \phi_{1,1} = \phi_{g,g^{-1}} \phi_{1,g} = {}^g \phi_{g^{-1},g} \phi_{g,1}.$$

Hiển nhiên phép chiếu lên tọa độ thứ hai $p: A \times_\phi G \to G$ là một toàn cấu nhóm.

Ta xây dựng đơn cấu $i: A \to A \times_\phi G$ cho bởi công thức $i(a) = (a\phi_{1,1}^{-1},1)$. Rõ ràng $A$ là một đơn ánh. Nó là một đồng cấu nhóm vì $$i(a)i(b) = (a\phi_{1,1}^{-1},1)(b\phi_{1,1}^{-1},1) = (a\phi_{1,1}^{-1}b\phi_{1,1}^{-1}\phi_{1,1},1) = (ab\phi_{1,1}^{-1},1) = i(ab)$$ với mọi $a,b \in A$. Cuối cùng, dễ thấy $i(A) = A \times \{1\} = \text{Ker}(\pi)$, và vì thế ta có dãy khớp $$1 \to A \xrightarrow{i} A \times_\phi G \xrightarrow{p} G \to 1.$$

 

Ta chọn lớp cắt $s: G \to A \times_\phi G$ cho bởi công thức $s_g = (1,g)$. Với $a \in A$, ta có $$s_g i(a) = (1,g) (a\phi_{1,1}^{-1}, 1) = ({}^g a {}^g \phi_{1,1}^{-1} \phi_{g,1}, g) = ({}^g a, g) = ({}^g a \phi_{1,1}^{-1} \phi_{1,g}, g) = ({}^g a \phi_{1,1}^{-1}, 1)(1,g)  = i({}^g a)s_g,$$ suy ra $i({}^g a) = s_g i(a) s_g^{-1}$. Nói cách khác, mở rộng $1 \to A \xrightarrow{i} A \times_\phi G \xrightarrow{\pi} G \to 1$ tương thích với tác động đã cho của $G$ trên $A$.

 

Ta tính $\text{Cl}(A \times_\phi G) \in \text{H}^2(G,A)$. Với $g, h \in G$, ta có $\phi_{1,gh} = \phi_{1,1}$, do đó $$s_g s_h = (1,g)(1,h) = (\phi_{g,h},gh) = (\phi_{g,h} \phi_{1,1}^{-1} \phi_{1,gh}, gh) = (\phi_{g,h} \phi_{1,1}^{-1}, 1)(1, gh) = i(\phi_{g,h})s_{gh},$$ do đó theo xây dựng trên, lớp $\text{Cl}(A \times_\phi G)$ được đại diện bởi đối chu trình $\phi$.

 

Xét đối chu trình tầm thường $0: (g,h) \mapsto 1$. Khi đó tích chéo $A \times_0 G$ được cho bởi phép toán $$(a,g)(b,h) = (a{}^g b,gh)$$ với $a,b \in A$ và $g,h \in G$. Nó được gọi là tích nửa trực tiếp (semi-direct product) của $A$ và $G$ và được ký hiệu bởi $A \rtimes G$.

 

Định lý. Cho $A$ là một $G$-môđun Cho $1 \to A \to E \xrightarrow{\pi} G \to 1$ là một mở rộng của $G$ bởi $A$ tương thích với tác động đã cho. Cho $\phi: G \times G \to A$ là một hệ nhân tử. Khi đó $E$ tương đương với tích chéo $A \times_\phi G$ khi và chỉ khi $\text{Cl}(E) = [\phi]$ trong $\text{H}^2(G,A)$.

Chứng minh

Điều kiện cần. Giả sử $E$ và $A \times_\phi G$ tương đương, khi đó tồn tại đồng cấu nhóm $f: A \times_\phi G \to E$ thỏa mãn $\pi(f(a,g)) = g$ và $f(a\phi_{1,g}^{-1}, 1) = f(a\phi_{1,1}^{-1},1) = a$ với mọi $a \in A$ và $g \in G$. Chọn lớp cắt $s: G \to E$ cho bởi công thức $s_g = f(1,g)$. Ta có $$s_g s_h = f((1,g)(1,h)) = f(\phi_{g,h},gh) = f((\phi_{gh} \phi_{1,1}^{-1}, 1)(1, gh)) = \phi_{g,h} s_{gh},$$ suy ra $E$ được đại diện bởi đối chu trình $\phi$.

Điều kiện đủ. Giả sử $\text{Cl}(E) = [\phi]$. Chọn một lớp cắt $s: G \to E$ và viết $$s_g s_h = \psi_{g,h} s_{gh}, \qquad \psi_{g,h} \in A$$ với mỗi $g,h \in G$. Thế thì $[\phi] = \text{Cl}(E) = [\psi]$ trong $\text{H}^2(G,A)$, suy ra tồn tại ánh xạ $\alpha: G \to A$ thỏa mãn $$\phi_{g,h} = \psi_{g,h} {}^g \alpha_h \alpha_{gh}^{-1} \alpha_g$$ với mọi $g, h \in A$. Ta xây dựng đồng cấu nhóm $f: A \times_\phi G \to E$ bởi công thức $f(a,g):= a \alpha_g s_g$.

  1. $f$ thực sự là một đồng cấu nhóm. Thật vậy, cho $a, b \in A$ và $g, h \in G$. Ta có $$\begin{align*}
    f((a,g)(b,h)) & = f(a{}^g b \phi_{g,h}, gh) \\
    & = a{}^g b\phi_{g,h} \alpha_{gh}s_{gh} \\
    & = a \alpha_g {}^g b {}^g \alpha_h  \psi_{g,h} s_{gh}\\
    & = a \alpha_g {}^g (b \alpha_h) s_g s_h \\
    & = a\alpha_g s_g b\alpha_h s_h\\
    &= f(a,g)f(b,h).
    \end{align*}$$
  2. $f$ cảm sinh ánh xạ đồng nhất trên $G$ và trên $A$. Thật vậy, với mọi $(a,g) \in G$, ta có $$\pi(f(a,g)) = \pi(a\alpha_g s_g) = \pi(s_g) = g$$ và $$f(a\phi_{1,1}^{-1},1) = a\phi_{1,1}^{-1} \alpha_1 s_1 = a,$$ vì $s_1s_1 = \psi_{1,1} s_1$ (suy ra $\psi_{1,1} = s_1 \in A$) và $\phi_{1,1} = \psi_{1,1} \alpha_1 \alpha_1^{-1} \alpha_1 = s_1\alpha_1$.

Vậy hai mở rộng $E$ và $A \times_\phi G$ là tương đương. Chứng minh kết thúc. $\square$

 

Từ định lý trên, ta thấy hai mở rộng $E$ và $E'$ của $G$ bởi $A$ cảm sinh tác động cho trước là tương đương khi và chỉ khi $\text{Cl}(E) = \text{Cl}(E')$ trong $\text{H}^1(G,A)$. Nói riêng, nếu $\phi$ và $\psi$ là các 2-đối chu trình với hệ số trong $A$ thì tích chéo $A \times_\phi G$ tương đương với $A \times_\psi G$ khi và chỉ khi $[\phi] = [\psi]$. Một mở rộng $E$ là chẻ khi và chỉ khi $\text{Cl}(E) = 0$, nghĩa là $E$ chính là tích nửa trực tiếp $A \rtimes G$. Tóm lại, nhóm $\text{H}^2(G,A)$ phân loại các mở rộng của $G$ bởi $A$ cảm sinh tác động cho trước. Lớp đối đồng điều $\text{Cl}(E) \in \text{H}^2(G,A)$ của một mở rộng $1 \to A \to E \to G \to 1$ chính là cản trở cho sự tồn tại của một đồng cấu nhóm $s: G \to E$ thỏa mãn $\pi \circ s = 1_G$, nghĩa là cản trở cho sự chẻ ra của dãy khớp trên.

 

Trong trường hợp $A$ không gian hoán, vấn đề trở nên phức tạp hơn nhiều: Chẳng hạn, có thể không có mở rộng nào của $G$ bởi $A$ là chẻ, và có thể có hai mở rộng chẻ của $G$ bởi $A$ không tương đương với nhau. Lí do là vì khi ta có một dãy khớp $1 \to A \to E \to G \to 1$ thì ta không có một tác động tự nhiên của $G$ trên $A$, mà ta chỉ có một tác động ngoài, tức là một đồng cấu $g: G \to \text{Out}(A)$ (ở đây $\text{Out}(A)$ là nhóm các tự đẳng cấu ngoài của $A$, nó là nhóm thương của $\text{Aut}(A)$ bởi nhóm con chuẩn tắc $\text{Inn}(A)$ các tự đẳng cấu trong, tức là các phép liên hợp trong $A$).

 

Để kết thúc bài này, ta khẳng định (bỏ qua chứng minh chi tiết) rằng các nhóm $\text{H}^2(G,-)$ cho phép mở rộng dãy khớp đã nói ở bài đầu tiên. Cụ thể, nếu $0 \to A \to B \to C \to 0$ là một dãy khớp các $G$-môđun thì ta có dãy khớp $$0 \to A^G \to B^G \to C^G \xrightarrow{\delta} \text{H}^1(G,A) \to \text{H}^1(G,B) \to \text{H}^1(G,C)  \xrightarrow{\delta} \text{H}^2(G,A) \to \text{H}^2(G,B) \to \text{H}^2(G,C).$$ Ở đây đồng cấu nối $\delta: \text{H}^1(G,C) \to \text{H}^2(G,A)$ được mô tả như sau. Cho $\gamma: G \to C$ là một 1-đối chu trình. Với mỗi $g \in G$, nâng $\gamma_g \in C$ thành một phần tử $\beta_g \in B$. Từ điều kiện đối chu trình của $\gamma$, ta thấy rằng với $g, h \in G$, hiệu ${}^g \beta_h - \beta_{gh} + \beta_g$ đến từ một phần tử (duy nhất) $\phi_{g,h} \in A$. Khi đó $\phi: G \times G \to A$ là một 2-đối chu trình và $\delta[\gamma] := [\phi]$.


Trong chủ đề: Đối đồng điều: Lý thuyết về các cản trở

07-10-2021 - 04:04

Ở bài này, ta sẽ chỉ ra rằng tập hợp đối đồng điều thứ nhất $\text{H}^1(G,A)$ phân loại các đối tượng hình học được gọi là torsor (hay principal homogeneous space).

 

2. $\text{H}^1$ và torsor

 

Ta cho $G$ là một nhóm và $A$ là một $G$-nhóm. Một torsor dưới $A$ là một tập hợp $X \neq \varnothing$ được trang bị một tác động trái $$G \times X \to X, \qquad (g,x) \mapsto {}^g x$$ của $G$ và một tác động phải $$X \times A \to X, \qquad (x,a) \mapsto x \cdot a$$ của $A$, nghĩa là với mọi $g,h \in G$, $a,b \in A$ và $x \in X$, ta có

  1. ${}^{gh} x = {}^g({}^h x)$.
  2. ${}^1 x = x$.
  3. $x \cdot ab = (x \cdot a) \cdot b$.
  4. $x \cdot 1 = x$.

Ngoài ra, ta yêu cầu $X$ thỏa mãn hai tính chất sau đây

  1. (tác động của $G$ và của $A$ tương thích) ${}^g (x \cdot a) = {}^g x \cdot {}^g a$ với mọi $g \in G$, $a \in A$ và $x \in X$.
  2. (tác động của $A$ là truyền dẫn đơn - simply transitive) với mọi $x, y \in X$, tồn tại duy nhất $a \in A$ sao cho $x \cdot a = y$.

Một ánh xạ $f: X \to Y$ giữa hai torsor dưới $A$ được gọi là $(G,A)$-đẳng biến nếu nó tương thích với tác động trái của $G$ cũng như tác động phải của $A$.

 

Bổ đề. Mỗi ánh xạ $(G,A)$-đẳng biến giữa hai torsor dưới $A$ đều là một song ánh. Nói cách khác, phạm trù các torsor dưới $A$ là một phỏng nhóm (groupoid).

Chứng minh

Cho $f: X \to Y$ là một ánh xạ giữa hai torsor dưới $A$. Giả sử $x, x' \in X$ sao cho $f(x) = f(x')$. Ta viết $x' = x \cdot a$, $a \in A$. Thế thì $f(x) = f(x) \cdot a$, suy ra $a = 1$ vì tính truyền dẫn đơn, suy ra $x' = x$. Vậy $f$ là một đơn ánh. Mặt khác, xét $y \in Y$ tùy ý. Lấy $x \in X$ bất kỳ và lấy $a \in A$ sao cho $y = f(x) \cdot a$, thế thì $y = f(x \cdot a)$, vậy $f$ là một toàn ánh. $\square$

 

Chú ý rằng nếu $X$ là một torsor dưới $A$ thì với mọi $x \in X$, ánh xạ $A \to X$, $a \mapsto x \cdot a$ là một song ánh $A$-đẳng biến, tuy nhiên nói chung nó không $G$-đẳng biến (ở đây ta xét $A$ là một torsor dưới chính nó nhờ tác động tịnh tiến phải). Ta nói hai torsor dưới $A$ là tương đương nếu tồn tại một ánh xạ $(G,A)$-đẳng biến giữa chúng (nó tự động là một song ánh). Ta nói một torsor dưới $A$ là tầm thường nếu nó tương đương với $A$.

 

Bổ đề. Một torsor $X$ dưới $A$ là tầm thường khi và chỉ khi $X^G \neq \varnothing$.

Chứng minh

Nếu $X$ là một torsor tầm thường dưới $A$ thì tồn tại một ánh xạ $G$-đẳng biến $f: A \to X$. Nói riêng, vì $1 \in A^G$ nên ta có $f(1) \in X^G$. Vậy $X^G \neq \varnothing$. Ngược lại, giả sử $x \in X^G$. Thế thì ánh xạ $A \to X$ cho bởi $a \mapsto x \cdot a$ là $G$-đẳng biến, do đó $X$ tương đương với $A$. $\square$

 

Cho $X$ là một torsor dưới $A$. Ta xây dựng lớp đối đồng điều $\text{Cl}(X) \in \text{H}^1(G,A)$ như sau. Chọn một điểm $x \in X$ bất kỳ. Với mỗi $g \in G$, lấy $\alpha_g \in A$ là phần tử duy nhất sao cho ${}^g x = x \cdot \alpha_g$. Thế thì với $g, h \in G$, ta có $$x \cdot \alpha_{gh} = {}^{gh} x = {}^g({}^h x) = {}^g (x \cdot \alpha_h) = {}^g x \cdot {}^g \alpha_h = x \cdot \alpha_g {}^g \alpha_h,$$ suy ra $\alpha_{gh} = \alpha_g{}^g \alpha_h$, nghĩa là $\alpha: G \to A$ là một đối chu trình. Nếu ta chọn một điểm khác, $x' \in X$, ta viết $x' = x \cdot a$ với $a \in A$; thế thì đối chu trình  $\alpha'$ tương ứng được cho bởi công thức ${}^g x' = x' \cdot \alpha'_g$, từ đó $$x \cdot a\alpha'_g = x' \cdot \alpha'_g = {}^g x' = {}^g (x \cdot a) = {}^g x \cdot {}^g a = x \cdot \alpha_g {}^g a,$$ suy ra $a \alpha'_g = \alpha_g {}^g a$, nghĩa là $\alpha'_g = a^{-1} \alpha_g {}^g a$ với mọi $g \in A$. Nói cách khác, hai chu trình $\alpha'$ và $\alpha$ là đối đồng điều, vì thế lớp đối đồng điều $[\alpha] \in \text{H}^1(G,A)$ không phụ thuộc vào cách chọn điểm $x \in X$. Ta ký hiệu lớp này bởi $\text{Cl}(X)$.

 

Ngược lại, cho $\alpha: G \to A$ là một đối chu trình. Ta xây dựng torsor $X_{\alpha}$ dưới $A$ bằng cách "vặn" (twist) tác động của $G$ trên $A$ như sau. Ta xét $X_{\alpha} = A$ với tư cách là một tập hợp được trang bị tác động tịnh tiến phải của $A$. Tác động trái của $G$ được cho bởi công thức $$g \cdot_{\alpha} x:= \alpha_g {}^g x$$ với $g \in G$ và $x \in X_\alpha = A$. Sử dụng điều kiện đối chu trình của $\alpha$, ta kiểm tra được rằng đây thực sự là một tác động trái của $G$, và rõ ràng nó tương thích với tác động tịnh tiến phải của $A$. Ta tính $\text{Cl}(X_{\alpha})$. Chọn $1 \in X_\alpha$. Thế thì $g \cdot_{\alpha} 1 = \alpha_g = 1 \alpha_g$ và vì thế ta thấy rằng $\text{Cl}(X_{\alpha})$ được đại điện bởi đối chu trình $\alpha$, nghĩa là $\text{Cl}(X_{\alpha}) = [\alpha]$.

 

Định lý. Cho $X$ là một torsor dưới $A$. Cho $\alpha: G \to A$ là một đối chu trình. Khi đó $X$ tương đương với $X_{\alpha}$ khi và chỉ khi $\text{Cl}(X) = [\alpha]$.

Chứng minh

Nếu $X$ tương đương với $X_{\alpha}$ thì tồn tại một ánh xạ $(G,A)$-đẳng biến $f: X_{\alpha} \to X$. Lấy $x = f(1) \in X$. Thế thì $${}^g x = {}^g f(1) = f(g \cdot_\alpha 1) = f(\alpha_g) = f(1) \cdot \alpha_g = x \cdot \alpha_g$$ với mọi $g \in G$. Từ cách xây dựng của $\text{Cl}(X)$, ta thấy $\text{Cl}(X) = [\alpha]$.

Ngược lại, giả sử $\text{Cl}(X) = [\alpha]$. Chọn $x \in X$ tùy ý và viết $${}^g x = x \cdot \alpha'_g, \qquad \alpha'_g \in A$$ với mỗi $g \in G$. Thế thì $\alpha': G \to A$ là một đối chu trình và $[\alpha] = \text{Cl}(X) = [\alpha']$. Vì thế tồn tại $a \in A$ sao cho $\alpha'_g = a^{-1} \alpha_g {}^g a$ với mọi $g \in G$. Ta xét ánh xạ $f: X_{\alpha} \to X$ cho bởi $f(b) = x \cdot a^{-1}b$. Dễ thấy nó $A$-đẳng biến. Nó cũng $G$-đẳng biến, vì với mọi $g \in G$ và $b \in X_\alpha = A$, ta có $$f(g \cdot_\alpha b) = f(\alpha_g {}^g b) = x \cdot a^{-1} \alpha_g {}^g b = x \cdot \alpha'_g {}^g (a^{-1}) {}^g b = {}^g x \cdot {}^g (a^{-1}) {}^g b = {}^g(x \cdot a^{-1}b) = {}^g f(b).$$ Vậy $X$ tương đương với $X_{\alpha}$. $\square$.

 

Nói riêng, ta có $[\alpha] = [\alpha']$ trong $\text{H^1}(G,A)$ khi và chỉ khi $X_{\alpha}$ và $X_{\alpha'}$ là tương đương. Hai torsor $X$ và $Y$ dưới $A$ là tương đương khi và chỉ khi $\text{Cl}(X) = \text{Cl}(Y)$.

 

Định lý trên nói rằng, tập hợp $\text{H}^1(G,A)$ phân loại các torsor dưới $A$, sai khác một song ánh $(G,A)$-đẳng biến.


Trong chủ đề: Chứng minh rằng nếu một số nguyên dương m chia hết cho bình phương của mộ...

20-08-2021 - 03:50



Phần tử x ≠ 0 của một vành R được gọi là lũy linh nếu xn = 0 với một số nguyên dương n nào đó. Chứng minh rằng nếu một số nguyên dương m chia hết cho bình phương của một số nguyên lớn hơn 1 thì vành Z/m chứa một phần tử lũy linh

 

Theo giả thiết, ta có thể viết $m = a^2 b$, với $a, b$ là các số nguyên dương, $a > 1$. Xét lớp đồng dư $[ab]$ trong vành $\mathbb{Z}/m$. Ta có $[ab] \neq [0]$ vì $0 < ab < m$. Mặt khác, $[ab]^2 = [a^2b^2] = [mb] = [m][b] = [0]$.


Trong chủ đề: Giới thiệu về bó

26-05-2021 - 18:48

8. Bó flasque

 

Cho $X$ là một không gian tô-pô. Một bó $\mathscr{F}$ trên $X$ được gọi là flasque (hoặc flabby) (nhũn?) nếu các đồng cấu hạn chế của nó là các toàn cấu. Dễ thấy điều này tương đương với việc mọi lớp cắt của $\mathscr{F}$ đều là hạn chế của một lớp cắt toàn cục.

 

Mệnh đề. Cho $0 \to \mathscr{F} \xrightarrow{\phi} \mathscr{G} \xrightarrow{\psi} \mathscr{H} \to 0$ là một dãy khớp các bó trên $X$, trong đó $\mathscr{F}$ là flasque. Thế thì dãy trên cũng khớp trong phạm trù các tiền bó

Chứng minh

Đây là một định lý trong ZFC. Cho $U$ là một tập mở, ta cần chứng minh rằng dãy $0 \to \mathscr{F}(U) \xrightarrow{\phi(U)} \mathscr{G}(U) \xrightarrow{\psi(U)} \mathscr{H}(U) \to 0$ khớp. Tính khớp trái đã được đảm bảo bởi hàm tử $\Gamma(U,-)$ nên ta chỉ cần chứng minh rằng $\psi(U)$ là một toàn cấu.

Cố định $t \in \mathscr{H}(U)$. Xét tập hợp $S$ các bộ $(s,V)$ với $V \subseteq U$ là một tập mở và $s \in \mathscr{G}(V)$ sao cho $\psi(s)| = t|_V$. Ta có thể giả sử rằng $U$ khác rỗng. Thế thì tập hợp $S$ khác rỗng vì $\psi$ cảm sinh toàn cấu trên từng thớ. Xét quan hệ thứ tự $\le$ trên $S$ sao cho $(s,V) \le (s',V')$ khi và chỉ khi $V \subseteq V'$ và $s'|_V = s$. Nếu một họ $\{(s_i,V_i)\}_{i \in I}$ các phần tử của $S$ được sắp thứ tự toàn phần thì ta có thể dán các lớp cắt $s_i$ thành một lớp cắt $s$ của $\mathscr{G}$ trên $V:=\bigcup_{i \in I} V_i \subseteq U$. Ta có $\psi(s)|_{V_i} = \psi(s|_{V_i}) = \psi(s_i) = t|_{V_i}$ với mọi $i \in I$, suy ra $\psi(s) = t|V$, vậy $(s,V) \in S$. Rõ ràng $(s_i,V_i) \le (s,V)$ với mọi $i \in I$.

Theo bổ đề Zorn, $S$ có một phần tử tối đại $(s,V)$. Ta khẳng định rằng $V = U$. Thật vậy, xét $x \in U$. Vì $\psi_x$ là một toàn cấu nên tồn tại $\alpha \in \mathscr{G}_x$ sao cho $\psi_x(\alpha) = t_x$. Ta có thể viết $\alpha = r_x$, với $W \in U$ là một lân cận mở của $x$ và $r \in \mathscr{G}(W)$. Thế thì $\psi(r)_x = \psi_x(r_x) = \psi_x(\alpha) = t_x$. Thu nhỏ $W$ nếu cần thiết, ta có thể giả sử rằng $\psi(r)|_W = t|_W$. Bây giờ, $\psi(s|_{V \cap W}) = t|_{W \cap W} = \psi(r|_{V \cap W})$, nên $s|_{V \cap W} = r|_{V \cap W} + \phi(v)$ với $v \in \mathscr{V \cap W}$ nào đó. Vì $\mathscr{F}$ là flasque nên tồn tại lớp cắt $w \in \mathscr{W}$ sao cho $w|_{V \cap W} = v$. Thay $r$ bởi $r - \phi(w)$ (ta vẫn có $\psi(r) = t|_W$ thì $\psi \circ \phi = 0$), ta suy ra $s|_{V \cap W} = r|_{V \cap W}$. Do đó $s$ và $r$ có thể dán thành một lớp cắt $s' \in \mathscr{G}(V \cup W)$. Nói riêng, $(s,V) \le (s', V \cup W)$, do đó $V \cup W = V$ vì $(s,V)$ là một phần tử tối đại, nghĩa là $x \in W \subseteq V$. $\square$

 

Hệ quả. Cho  $0 \to \mathscr{F} \xrightarrow{\phi} \mathscr{G} \xrightarrow{\psi} \mathscr{H} \to 0$ là một dãy khớp các bó trên $X$, trong đó $\mathscr{F}$ và $\mathscr{G}$ là flasque. Khi đó $\mathscr{H}$ là flasque.

Chứng minh

Dùng bổ đề 5 trong đại số đồng điều. $\square$

 

Xây dựng Godement. Cho $\mathscr{F}$ là một bó bất kỳ trên $X$. Tiền bó $C^0 \mathscr{F}$ trên $X$ cho bởi $U \mapsto \prod_{x \in U} \mathscr{F}_x$ (các đồng cấu hạn chế là các phép chiếu) hiển nhiên là một bó flasque. Với mỗi tập mở $U$, $\mathscr{F}(U) \to C^0\mathscr{F}(U)$ là một đơn cấu, vì thế ta có một đơn cấu bó $\mathscr{F} \hookrightarrow C^0\mathscr{F}$. Vậy, mọi bó đều nhúng được vào một bó flasque

 

Mệnh đề. Mỗi bó nội xạ đều flasque.

Chứng minh

Cho $\mathscr{F}$ là một bó nội xạ trên $X$. Nhúng $\mathscr{F}$ vào một bó flasque $\phi: \mathscr{F} \hookrightarrow \mathscr{G}$. Vì $\mathscr{F}$ nội xạ nên $\phi$ có một rút gọn $\psi: \mathscr{G} \to \mathscr{F}$. Nói riêng, với mọi tập mở $U$ thì $\psi(U) \circ \phi(U) = \text{id}_{\mathscr{F}(U)}$, nên $\psi(U)$ là một toàn cấu. Với $V \subseteq U$ là các tập mở của $X$, ta có biểu đồ giao hoán 

9.png

Vì $\psi(U)$, $\psi(V)$ và hạn chế $\mathscr{G}(U) \to \mathscr{G}(V)$ là các toàn cấu nên $\mathscr{F}(U) \to \mathscr{F}(V)$ cũng là một toàn cấu. $\square$

 

Mệnh đề. Mỗi bó flasque đều acyclic trên từng tập mở. Nói riêng, đối đồng điều bó có thể tính được bằng giải flasque.

Chứng minh

Cho $\mathscr{F}$ là một bó flasque trên $X$. Nhúng $\mathscr{F}$ vào một bó nội xạ $\mathscr{G}$ và gọi $\mathscr{H}$ là bó thương $\mathscr{G}/\mathscr{F}$. Khi đó ta có dãy khớp $$0 \to \mathscr{F} \to \mathscr{G} \to \mathscr{H} \to 0.$$ Bó $\mathscr{G}$ là nội xạ nên flasque, suy ra $\mathscr{H}$ cũng là một bó flasque. 

Cố định một tập mở $U$. Ta sẽ chứng minh rằng $\text{H}^q(U,\mathscr{F}) = 0$ với mọi bó flasque $\mathscr{F}$ và mọi $q \ge 1$ bằng nhảy chiều (dimension shifting). Thật vậy, vì $\mathscr{G}$ là nội xạ nên $U$-acyclic, nói riêng, ta có $\text{H}^{q+1}(U,\mathscr{F}) = \text{H}^q(U,\mathscr{H})$ với mọi $q \ge 1$ (xem bài trước). Điều này cho phép ta thực hiện bước quy nạp. Ở bước $q = 1$, ta có $\text{H}^1(X,\mathscr{F}) = \text{Coker}(\mathscr{G}(U) \to \mathscr{H}(U)) = 0$ (vì $\mathscr{F}$ là flasque nên $\mathscr{G}(U) \to \mathscr{H}(U)$ là một toàn cấu). Điều này kết thúc chứng minh. $\square$

 

Cho $\mathscr{F}$ là một bó tùy ý trên $X$. Ta dùng xây dựng Godement để thu được dãy khớp $$0 \to \mathscr{F} \to C^0 \mathscr{F} \to C^1 \mathscr{F} \to \cdots,$$ trong đó mỗi bó $C^q \mathscr{F}$ đều flasque. Ở đây, $C^1 \mathscr{F} = C^0 \text{Coker}(\mathscr{F} \to C^0 \mathscr{F})$ và $C^{q+1} \mathscr{F} = C^0 \text{Coker}(C^{q-1}\mathscr{F} \to C^q \mathscr{F})$ với mọi $q \ge 1$. Nó được gọi là giải chính tắc Godement của $\mathscr{F}$. Với mỗi tập mở $U$, ta có $$\text{H}^q(U,\mathscr{F}) = \frac{\text{Ker}(C^q\mathscr{F}(U) \to C^{q+1}\mathscr{F}(U) )}{\text{Im}(C^{q-1}\mathscr{F}(U) \to C^{q}\mathscr{F}(U) )}, \qquad q \ge 1.$$ Về mặt lịch sử, đây là định nghĩa các nhóm đối đồng điều $\text{H}^q(U,\mathscr{F})$ mà Godement đã đưa ra.

 

Ví dụ. Cho $X$ là một đa tạp trơn. Với $q \ge 0$, ký hiệu $\Omega^q$ là bó các $q$-dạng vi phân trơn trên $X$ ($\Omega^0 = \mathcal{C}^\infty$. Các bó này flasque (sử dụng phân hoạch đơn vị!). Ta có một dãy khớp $$0 \to \underline{\mathbb{R}} \to \mathcal{C}^\infty \xrightarrow{d} \Omega^1 \xrightarrow{d} \Omega^2 \xrightarrow{d} \cdots,$$ trong đó $d: \Omega^q \to \Omega^{q+1}$ là phép đạo hàm ngoài (theo bổ đề Poincaré, và tính chất rằng mỗi điểm của $X$ đều một cơ sở lân cận gồm các tập mở hình sao). Áp dụng hàm tử lớp cắt toàn cục, ta thu được đối đồng điều de Rham $\text{H}^q_{\text{dR}}(X)$. Vì thế đối đồng điều de Rham đẳng cấu với đối đồng điều với hệ số trong bó hằng $\underline{\mathbb{R}}$, $$\text{H}^q_{\text{dR}}(X) = \text{H}^q(X, \underline{\mathbb{R}}), \qquad q \ge 0.$$

Tương tự, xét tiền bó $\text{C}_{\text{sing}}^q(-,\mathbb{R})$ các $q$-đối dây chuyền kỳ dị với hệ số thực, $q \ge 0$. Ta có một dãy khớp $$0 \to \underline{\mathbb{R}}^{\text{pre}} \to \text{C}_{\text{sing}}^0(-,\mathbb{R}) \xrightarrow{\delta} \text{C}_{\text{sing}}^1(-,\mathbb{R}) \xrightarrow{\delta} \cdots$$ các tiền bó trên $X$, trong đó $\delta$ là các đồng cấu đối biên (kiểm tra trên thớ, và lấy giới hạn trên cơ sở lân cận gồm các tập mở hình sao). Sau khi bó hóa, ta thu được một giải flasque khác của bó hằng $\underline{\mathbb{R}}$. Từ đó ta có chứng minh được (không dễ!) rằng đối đồng điều Betti cũng đẳng cấu với đồng điều với hệ số trong bó hằng, $$\text{H}^q(X,\underline{\mathbb{R}}) = \text{H}^q_{\text{sing}}(X,\mathbb{R}), \qquad q \ge 0.$$ Ta thu được định lý de Rham cổ điển (so sánh giữa đối đồng điều de Rham và đối đồng điều Betti)! 


Trong chủ đề: Giới thiệu về bó

26-05-2021 - 17:23

7. Đối đồng điều

 

Cho $X$ là một không gian tô-pô.

 

Mệnh đề. Phạm trù $\mathbf{Sh}(X)$ các bó trên $X$ có đủ nội xạ.

Chứng minh

Cho $\mathscr{F}$ là một bó trên $X$. Với mỗi $x \in X$, nhúng $\mathscr{F}_x$ vào một nhóm abel chia được (i.e. nội xạ) $D_x$. Ta định nghĩa tiền bó $\mathscr{I}$ trên $X$ bởi $U \mapsto \prod_{x \in U} D_x$, trong đó các đồng cấu hạn chế là các phép chiếu. Dễ thấy $\mathscr{I}$ là một bó.

Vì $\mathscr{F}$ là một bó nên hợp thành $\mathscr{F}(U) \to \prod_{x \in U} \mathscr{F}_x \hookrightarrow \prod_{x \in U} D_x = \mathscr{I}(U)$ là một đơn cấu với mỗi tập mở $U$ của $X$. Khi $U$ thay đổi, ta thu được một đơn cấu $\mathscr{F} \hookrightarrow \mathscr{I}$. 

Ta chỉ còn phải chứng minh rằng $\mathscr{I}$ là một bó nội xạ. Cho $\phi: \mathscr{G} \to \mathscr{H}$ là một đơn cấu giữa hai bó trên $X$, và $\psi: \mathscr{G} \to \mathscr{I}$ là một cấu xạ tùy ý. Ta cần xây dựng cấu xạ $\theta: \mathscr{H} \to \mathscr{I}$ sao cho $\theta \circ \phi = \psi$. Cố định $x \in X$. Các phép chiếu $\mathscr{I}(U) \to D_x$ (với $U$ là lân cận mở của $x$) cảm sinh một đồng cấu $j_x: \mathscr{I}_x \to D_x$. Cụ thể, nếu $U$ là một lân cận mở của $x$ và $\alpha = (d_x)_{x \in U} \in \mathscr{I}(U)$ thì $j_x(\alpha_x) = d_x$ (nói cách khác, $\alpha = (j_x(\alpha_x))_{x \in U}$). Vì $\theta_x: \mathscr{G}_x \to \mathscr{H}_x$ là một đơn cấu và $D_x$ là một nhóm abel chia được nên tồn tại cấu xạ $\theta^x: \mathscr{H}_x \to D_x$ sao cho $\theta^x \circ \phi_x = j_x \circ \psi_x$. Với mỗi tập mở $U$ của $X$, ký hiệu bởi $\theta(U)$ đồng cấu hợp thành $\mathscr{H}(U) \to \prod_{x \in U} \mathscr{H}_x \xrightarrow{\prod_{x \in U} \theta^x} \prod_{x \in U} D_x = \mathscr{I}(U)$. Khi $U$ thay đổi, ta thu được một cấu xạ $\theta: \mathscr{H} \to \mathscr{I}$. Với mỗi $s \in \mathscr{G}(U)$, ta có $$\theta(\phi(s)) = (\theta^x(\phi(s)_x))_{x \in U} = (\theta^x(\psi_x(s_x)))_{x \in U} = (j_x(\psi_x(s_x)))_{x \in U} = (j_x(\psi(s)_x)_{x \in U} = \phi(s).$$ Vậy $\theta \circ \psi = \phi$. $\square$

 

Hệ quả. Phạm trù $\mathbf{Psh}(X)$ các tiền bó trên $X$ có đủ nội xạ. Hàm tử quên $\iota: \mathbf{Sh}(X) \to \mathbf{Psh}(X)$ bảo toàn nội xạ.

Chứng minh

Cho $\mathscr{I}$ là một bó nội xạ trên $X$. Ta có đẳng cấu tự nhiên $\text{Hom}_{\mathbf{Psh}(X)}(-,\mathscr{I}) = \text{Hom}_{\mathbf{Sh}(X)}((-)^{\#},\mathscr{I})$. Vì bó hóa $(-)^{\#}$ và $\text{Hom}_{\mathbf{Sh}(X)}(-,\mathscr{I})$ là các hàm tử khớp nên $\text{Hom}_{\mathbf{Psh}(X)}(-,\mathscr{I})$ cũng vậy, nghĩa là $I$ cũng nội xạ với tư cách là một tiền bó. Ngoài ra, nếu $\mathscr{P}$ là một tiền bó bất kỳ trên $X$ thì ta có thể nhúng bó $\mathscr{P}^{\#}$ vào một bó nội xạ $\mathscr{I}$. Tính đơn cấu theo nghĩa tiền bó kiểm tra được trên thớ, và bó hóa bảo toàn thớ, nên tiền bó $\mathscr{P}$ nhúng vào tiền bó nội xạ $\mathscr{I}$ qua cấu xạ hợp thành $\mathscr{P} \xrightarrow{i} \mathscr{P}^{\#} \to \mathscr{I}$. $\square$

 

Hàm tử quên $\iota: \mathbf{Sh}(X) \to \mathbf{Psh}(X)$ là liên hợp bên phải của hàm tử bó hóa $(-)^{\#}: \mathbf{Psh}(X) \to \mathbf{Sh}(X)$ nên là một hàm tử khớp trái. Cụ thể, nếu $0 \to \mathscr{F} \xrightarrow{\phi} \mathscr{G} \xrightarrow{\psi} \mathscr{H}$ là một dãy khớp các bó trên $X$ thì dãy nó cũng là một dãy khớp các tiền bó. Vì $\phi$ là một đơn cấu nên tiền bó ảnh $U \mapsto \text{Im}\phi(U)$ là một bó, do đó $\text{Im} (\phi(U)) = \text{Im} \phi (U) = \text{Ker} \psi(U) = \text{Ker} (\psi(U))$, nghĩa là ta có dãy khớp $0 \to \mathscr{F}(U) \xrightarrow{\phi(U)} \mathscr{G}(U) \xrightarrow{\psi(U)} \mathscr{H}(U)$. Tóm lại, hàm tử lớp cắt $$\Gamma(U,-): \mathbf{Sh}(X) \to \mathbf{Ab}, \qquad \mathscr{F} \mapsto \mathscr{F}(U)$$ khớp trái. Vì $\mathbf{Sh}(X)$ có đủ nội xạ, ta có thể định nghĩa các hàm tử dẫn xuất phải $$\text{H}^q(U,-):=\text{R}^q \Gamma(U,-), \qquad q \ge 0.$$

 

Định nghĩa. Cho $\mathscr{F}$ là một bó trên $X$ và $U$ là một tập mở của $X$. Với $q \ge 0$, nhóm $\text{H}^q(U,\mathscr{F})$ được gọi là nhóm đối đồng điều thứ $q$ của $U$ với hệ số trong $\mathscr{F}$.

 

Vì là những hàm tử dẫn xuất, các hàm tử đối đồng điều $\text{H}^q(U,\mathscr{F})$ thỏa mãn các tính chất tổng quát từ đại số đồng điều.

  1. Để tính $\text{H}^q(U,\mathscr{F})$, chọn một giải nội xạ $$0 \to \mathscr{F} \to \mathscr{I}^0 \xrightarrow{d^0} \mathscr{I}^1 \xrightarrow{d^1} \cdots.$$ Áp dụng hàm tử khớp trái $\Gamma(U,-)$, ta thu được phức $$0 \to \mathscr{I}^0(U) \xrightarrow{d^0(U)} \mathscr{I}^1(U) \xrightarrow{d^0(U)} \cdots,$$ và khi đó $$\text{H}^0(U,\mathscr{F}) = \text{Ker}(d^0(U)) = \mathscr{F}(U), \qquad \text{H}^q(U,\mathscr{F}) = \frac{\text{Ker}(d^q(U))}{\text{Im}(d^{q-1}(U))}, \qquad q \ge 1.$$
  2. Một dãy khớp ngắn $0 \to \mathscr{F} \to \mathscr{G} \to \mathscr{H} \to 0$ các bó trên $X$ cảm sinh một dãy khớp dài $$0 \to \mathscr{F}(U) \to \mathscr{G}(U) \to \mathscr{H}(U) \to \text{H}^1(U,\mathscr{F}) \to \text{H}^1(U,\mathscr{G}) \to \text{H}^1(U,\mathscr{H}) \to \cdots$$
  3. Một bó $\mathscr{A}$ được gọi là $U$-acyclic nếu $\text{H}^q(U,\mathscr{A}) = 0$ với mọi $q \ge 1$. (nghĩa là $\mathscr{A}$ là $\Gamma(U,-)$-acyclic). Các bó nội xạ đều $U$-acyclic.
  4. Các hàm tử $\text{H}^q(U,\mathscr{F})$ được định nghĩa thông qua giải nội xạ, nhưng để tính chúng thì ta chỉ cần sử dụng giải $U$-acyclic (định lý đẳng cấu de Rham-Weil). Thật vậy, trước hết nhận xét rằng nếu $0 \to \mathscr{F} \to \mathscr{G} \to \mathscr{H} \to 0$ là một dãy khớp ngắn các bó trên $X$, trong đó $\mathscr{G}$ là $U$-acyclic thì ta có dãy khớp dài $$\cdots \to \text{H}^q(U,\mathscr{G}) \to \text{H}^{q}(U,\mathscr{H}) \to \text{H}^{q+1}(U,\mathscr{F}) \to \text{H}^{q+1}(U,\mathscr{G}) \to \cdots$$ Vì $\text{H}^q(U,\mathscr{G}) = 0$ với mọi $q \ge 1$ nên ta có $\text{H}^1(U,\mathscr{F}) = \text{Coker}(\mathscr{G}(U) \to \mathscr{H}(U))$ và $\text{H}^{q+1}(U,\mathscr{F}) = \text{H}^q(U,\mathscr{H})$ với mọi $q \ge 1$. Bây giờ, giả sử $$0 \to \mathscr{F} \to \mathscr{A^0} \to \mathscr{A^1} \to \cdots$$ là một dãy khớp dài, trong đó mỗi $\mathscr{A}^q$ đều $U$-acyclic. Ta chẻ nó thành các dãy khớp ngắn $$0 \to \mathscr{F} \to \mathscr{A^0} \to \mathscr{I}^0 \to 0$$ $$0 \to \mathscr{I}^0 \to \mathscr{A}^1 \to \mathscr{I}^1 \to 0$$ $$\vdots$$ với $\mathscr{I}^q = \text{Im}(\mathscr{A}^q \to \mathscr{A}^{q+1}) = \text{Ker}(\mathscr{A}^{q+1} \to \mathscr{A}^{q+2})$. Từ nhận xét trên, ta có $$\text{H}^q(U,\mathscr{F}) = \text{H}^{q-1}(U,\mathscr{I}^0) = \cdots = \text{H}^{1}(U,\mathscr{I}^{q-2}) = \text{Coker}(\mathscr{A}^{q-1}(U) \to \mathscr{I}^{q-1}(U)).$$ Vì $\Gamma(U,-)$ khớp trái nên $\mathscr{I}^{q-1}(U) = \text{Ker}(\mathscr{A}^q(U) \to \mathscr{A}^{q+1}(U))$. Tương tự, $\mathscr{I}^{q-1}(U) \to \mathscr{A}^q(U)$ là một đơn cấu, nên $\text{Im}(\mathscr{A}^{q-1}(U) \to \mathscr{I}^{q-1}(U)) = \text{Im}(\mathscr{A}^{q-1}(U) \to \mathscr{A}^{q}(U))$. Do đó, $$\text{H}^q(U,\mathscr{F}) = \text{Coker}(\mathscr{A}^{q-1}(U) \to \mathscr{I}^{q-1}(U)) = \frac{\mathscr{I}^{q-1}(U)}{\text{Im}(\mathscr{A}^{q-1}(U) \to \mathscr{I}^{q-1}(U))} = \frac{\text{Ker}(\mathscr{A}^q(U) \to \mathscr{A}^{q+1}(U))}{\text{Im}(\mathscr{A}^{q-1}(U) \to \mathscr{A}^{q}(U))}$$ với mọi $q \ge 1$.

Nhắc lại rằng hàm tử quên $\iota: \mathbf{Sh}(X) \to \mathbf{Psh}(X)$ khớp trái. Với $q \ge 0$, ta có thể xét hàm tử dẫn xuất bên phải thứ $q$ của $\iota$, $$\mathcal{H}^q:=\text{R}^q \iota.$$

Ta sẽ chỉ rằng rằng nếu $\mathscr{F}$ là một bó trên $X$ thì $\mathcal{H}^q(\mathscr{F})$ chính là tiền bó $\text{H}^q(-,\mathscr{F}): U \mapsto \text{H}^q(U,\mathscr{F})$. 

 

Mệnh đề. Cho $\mathscr{F}$ là một bó trên $X$ và $U$ là một tập mở của $X$. Với $q \ge 0$, ta có một đẳng cấu tự nhiên $$\mathcal{H}^q(\mathscr{F})(U) = \text{H}^q(U,\mathscr{F}).$$

Chứng minh

Ta sử dụng lý thuyết về $\partial$-hàm tử, tham khảo Tôhoku paper của Grothendieck.

Nếu $0 \to \mathscr{F} \to \mathscr{G} \to \mathscr{H} \to 0$ là một dãy khớp ngắn các bó trên $X$ thì với mọi tập mở $U$, ta có khớp dài các nhóm abel, $$0 \to \mathscr{F}(U) \to \mathscr{G}(U) \to \mathscr{H}(U) \to \text{H}^1(U,\mathscr{F}) \to \text{H}^1(U,\mathscr{G}) \to \text{H}^1(U,\mathscr{H}) \to \cdots$$ Dãy khớp dài này tự nhiên theo $U$, vì thế cho ta một dãy khớp dài các tiền bó trên $X$, $$0 \to \mathscr{F} \to \mathscr{G} \to \mathscr{H} \to \text{H}^1(-,\mathscr{F}) \to \text{H}^1(-,\mathscr{G}) \to \text{H}^1(-,\mathscr{H}) \to \cdots$$ Nói riêng, ta có các đồng cấu nối $\text{H}^q(-,\mathscr{G}) \to \text{H}^{q+1}(-,\mathscr{F})$. Các hàm tử $\mathscr{F} \mapsto \text{H}^q(-,\mathscr{F})$ cùng với các đồng cấu nối này tạo thành một $\partial$-hàm tử từ $\mathbf{Sh}(X)$ vào $\mathbf{Psh}(X)$, trong đó $\text{H}^0 = \iota$. Mặt khác, nếu $\mathscr{I}$ là một bó nội xạ trên $X$ thì $\text{H}^q(-,\mathscr{I}) = 0$ với mọi $q \ge 1$, vì thế $\partial$-hàm tử nói trên là khớp và phổ dụng, và do đó trùng với các hàm tử dẫn xuất $\text{R}^q \iota = \mathcal{H}^q$. $\square$

 

 

Cho $f: Y \to X$ là một ánh xạ liên tục giữa các không gian tô-pô. Ảnh xuôi $f_\ast: \mathbf{Sh}(Y) \to \mathbf{Sh}(X)$ là một hàm tử khớp trái (vì nó là liên hợp bên phải của hàm tử ảnh ngược $f^{-1}: \mathbf{Sh}(X) \to \mathbf{Sh}(Y)$.

 

Định nghĩa. Với $q \ge 0$, ta gọi dẫn xuất bên phải thứ $q$ của $f_\ast$, $$\text{R}^q f_\ast: \mathbf{Sh}(Y) \to \mathbf{Sh}(X)$$ là hàm tử ảnh xuôi bậc cao thứ $q$ (higher direct image).

 

Mệnh đề. Cho $\mathscr{G}$ là một bó trên $Y$. Khi đó $\text{R}^q f_\ast \mathscr{G}$ là bó liên kết với tiền bó $U \mapsto \text{H}^q(f^{-1}(U),\mathscr{G})$ trên $X$. 

Chứng minh

Trước hết, ta định nghĩa hàm tử ảnh xuôi trên tiền bó $f_p: \mathbf{Psh}(Y) \to \mathbf{Psh}(X)$ một cách hoàn toàn tương tự như $f_\ast$, $$f_p \mathscr{P} (U) = \mathscr{P}(f^{-1}(U)).$$ Đây là một hàm tử khớp (tính khớp theo nghĩa tiền bó có thể kiểm tra trên từng tập mở. Nhắc lại rằng bó hóa $(-)^{\#}: \mathbf{Psh}(X) \to \mathbf{Sh}(X)$ là một hàm tử khớp, do đó hàm tử $(-)^{\#} \circ f_p: \mathbf{Psh}(Y) \to \mathbf{Sh}(X)$ khớp. Hàm tử quên $\iota: \mathbf{Sh}(Y) \to \mathbf{Psh}(Y)$ gửi mỗi bó nội xạ vào một tiền bó nội xạ trên $Y$, nói riêng là $((-)^{\#} \circ f_p)$-acyclic.

Mặt khác, rõ ràng $f_p \circ \iota = \iota \circ f_\ast$, nghĩa là nếu $\mathscr{G}$ là một bó trên $Y$ thì $f_\ast \mathscr{G} = f_p \mathscr{G} = (f_p \iota \mathscr{G})^{\#}$. Nói cách khác, hàm tử ảnh xuôi $f_\ast$ phân tích thành $$\mathbf{Sh}(Y) \xrightarrow{\iota} \mathbf{Psh}(Y) \xrightarrow{(-)^{\#} \circ f_p} \mathbf{Sh}(X).$$ Vì thế ta có dãy phổ Grothendieck $$E_2^{pq} = \text{R}^p((-)\# \circ f_p)(\mathcal{H}^q(\mathscr{G})) \Rightarrow \text{R}^q f_\ast \mathscr{G}.$$ Dãy phổ này suy biến, cụ thể là $E_2^{pq} = 0$ với mọi $p > 0$, vì $(-)^{\#} \circ f_p$ là một hàm tử khớp. Từ đó suy ra rằng đồng cấu edge $$\text{R}^q f_\ast \mathscr{G} \to (f_p \mathcal{H}^q(\mathscr{G}))^{\#}$$ là một đẳng cấu với mọi $q \ge 0$. Nói cách khác, $\text{R}^q f_\ast \mathscr{G}$ là tiền bó liên kết với bó $$U \mapsto f_p  \mathcal{H}^q(\mathscr{G})(U) = \text{H}^q(f^{-1}(U),\mathscr{G})$$ trên $X$. $\square$

 

Một tính chất khác của ảnh xuôi đó là bảo toàn nội xạ. Thật vậy, cho $\mathscr{I}$ là một bó nội xạ trên $Y$. Ta có đẳng cấu tự nhiên $\text{Hom}_{\mathbf{Sh}(X)}(-,f_\ast \mathscr{I}) = \text{Hom}_{\mathbf{Sh}(Y)}(f^{-1}(-),\mathscr{I})$. Vì ảnh ngược $f^{-1}$ và $\text{Hom}_{\mathbf{Sh}(Y)}(-,\mathscr{I})$ là các hàm tử khớp nên $\text{Hom}_{\mathbf{Sh}(X)}(-,f_\ast\mathscr{I})$ cũng vậy, nghĩa là $f_\ast \mathscr{I}$ là một bó nội xạ trên $X$.

 

Chẳng hạn, nếu $Z \xrightarrow{g} Y \xrightarrow{f} X$ là các ánh xạ liên tục giữa các không gian tô-pô thì $g_\ast$ gửi mỗi bó nội xạ trên $Z$ vào một bó $f_\ast$-acyclic trên $Y$. Từ đó ta có dãy phổ Grothendieck $$E_2^{pq} = (\text{R}^p f_\ast(\text{R}^q g_\ast\mathscr{H})) \Rightarrow \text{R}^{p+q}(f \circ g)_\ast \mathscr{H}$$ với mỗi bó $\mathscr{H}$ trên $Z$.

 

Cho $f: Y \to X$ là một ánh xạ liên tục giữa hai không gian tô-pô. Với mỗi tập mở $U$ của $X$, ta có $\Gamma(f^{-1}(U),-) = \Gamma(U,-) \circ f_\ast$. Mặt khác, $f_\ast$ gửi mỗi bó nội xạ trên $Y$ vào một bó nội xạ (nói riêng là $U$-acyclic) trên $X$. Do đó ta có dãy phổ $$E^{pq}_2 = \text{H}^p(U, \text{R}^q f_\ast \mathscr{G}) \Rightarrow \text{H}^{p+q}(f^{-1}(U), \mathscr{G})$$ với mỗi bó $\mathscr{G}$ trên $Y$, được gọi là dãy phổ Leray.