Đặt $a_n:=\sup\left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right)$ và $a:=\sup\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k\right)$. Dãy $(a_n)_{n \ge 1}$ tăng và bị chặn trên bởi $a$ nên hội tụ. Đặt $\lim_{n \to \infty} a_n =: b$ thì $b \le a$. Ta giả sử $b < a$. Theo định nghĩa cận trên đúng, tồn tại $c \in \bigcup_{k=1}^{\infty} A_k$ sao cho $b < c \le a$. Lấy số nguyên dương $k$ sao cho $c \in A_k$. Thế thì $c \le a_k$ theo định nghĩa của $a_k$, suy ra $c \le b$, mâu thuẫn. Vậy $b = a$ (chính là điều cần chứng minh).
- minhquang47 yêu thích