nmlinh16

Gửi các thành viên của diễn đàn bài viết giới thiệu giả thuyết Milnor của mình, với xuất phát điểm là bài toán sơ cấp về tổng các bình phương.

 

 

Cho $a, b, c, d$ là các số tự nhiên sao cho $ad - bc > 0$ và $\gcd(a,b) = \gcd(c,d) = 1$. Chứng minh rằng tồn tại hai dãy hữu hạn các số tự nhiên $a_0,\ldots,a_n$ và $b_0,\ldots,b_n$ sao cho $a_0 = a, b_0 = b, a_n = c, b_n = d$ và $a_i b_{i+1} - a_{i+1}b_i = 1$ với mọi $i = 0,1,\ldots,n-1$.

 

Đây là một bài toán nhỏ mà mình gặp khi nghiên cứu toric geometry.

Cho $k$ là một trường và ký hiệu $\bar{k}$ là một bao đóng tách được của nó, và $\Gamma:=\text{Gal}(\bar{k}/k)$.

Cho $X$ là một đa tạp trơn và bất khả quy hình học trên $k$. Ký hiệu $\bar{X} = X \times_k \bar{k}$.

Cho $G$ là một nhóm đại số trơn và giao hoán trên $k$.  Ký hiệu $\bar{G} = G \times_k \bar{k}$.

Tác động của $\Gamma$ trên $X(\bar{k})$ và $G(\bar{k})$ sẽ lần lượt được ký hiệu bởi $(s,x) \mapsto {}^s x$ và $(s,g) \mapsto {}^s g$.

 

Các nhóm đối đồng điều dưới đây đều là đối đồng điều Galois hoặc étale.

 

Ta nhắc lại rằng $\Gamma$ tác động lên $H^0(\bar{X},\bar{G})$ và $H^1(\bar{X},\bar{G})$ như sau.

1. Một phần tử của $H^0(\bar{X},\bar{G}) = \bar{G}(\bar{X})$ là một $\bar{k}$-cấu xạ $\sigma: \bar{X} \to \bar{G}$. Với $s \in \Gamma$, ta định nghĩa ${}^s \sigma: \bar{X} \to \bar{G}$ là cấu xạ cho bởi công thức $x \mapsto {}^s (\sigma({}^{s^{-1}} x))$. 
2. Một phần tử của $H^1(\bar{X},\bar{G})$ được biểu diễn bởi một torsor $f: \bar{Y} \to \bar{X}$ dưới $\bar{G}$, nghĩa là $f$ là fppf, $\bar{Y}$ được trang bị một tác động phải $(y,g) \mapsto y \cdot g$ của $\bar{G}$ sao cho $f(y \cdot g) = f(y)$, và với mỗi $x \in X(\bar{k})$ thì $G(\bar{k})$ tác động truyền dẫn và tự do trên $f^{-1}(x)$ (xem thêm: https://diendantoanh...về-các-cản-trở/). Với mỗi $s \in \Gamma$, ta định nghĩa torsor liên hợp ${}^s f: {}^s \bar{Y} \to \bar{X}$ như sau: ${}^s\bar{Y} := \bar{Y}$, cấu xạ ${}^s f$ được cho bởi $({}^s f)(y):= {}^s (f(y))$, và tác động của $\bar{G}$ trên ${}^s \bar{Y}$ được cho bởi $(y,g) \mapsto y \cdot {}^{s^{-1}} g$.

Ta ký hiệu $E$ là tập hợp các cặp $(\alpha,s)$, trong đó $s \in \Gamma$ và $\alpha: {}^s \bar{Y} \to \bar{Y}$ là một đẳng cấu (giữa hai $\bar{X}$-torsor dưới $\bar{G}$. Dễ thấy $E$ có một cấu trúc nhóm hiển nhiên. Ngoài ra, nhắc lại rằng nhóm các $\bar{X}$-tự đẳng cấu của torsor $\bar{Y}$ dưới $\bar{G}$  chính là nhóm $\bar{G}(\bar{X})$ (xem Lemma 4.1 trong https://www-fourier....torsors_rev.pdf). Vậy ta có dãy khớp $$1 \to \bar{G}(\bar{X}) \to E \xrightarrow{q} \Gamma,$$ trong đó $q$ là một toàn ánh khi và chỉ khi $[\bar{Y}] \in H^0(k,H^1(\bar{X},\bar{G}))$.

 

Câu hỏi: Ta có dãy khớp 5 hạng tử $$0 \to H^1(k,\bar{G}(\bar{X})) \to H^1(X,G) \to H^0(k,H^1(\bar{X},\bar{G})) \xrightarrow{\partial} H^2(k,\bar{G}(\bar{X})) \to H^2(X,G)$$ rút ra từ dãy phổ Hochschild-Serre $$H^p(k,H^q(\bar{X},\bar{G})) \Rightarrow H^{p+q}(X,G).$$ Các ánh xạ trong dãy khớp trên đều hiển nhiên trừ $\partial$, nó được gọi là ánh xạ tràn (transgression). Chứng minh rằng nếu $\bar{Y} \to \bar{X}$ là một torsor dưới $\bar{G}$ sao cho $[\bar{Y}] \in H^0(k,H^1(\bar{X},\bar{G}))$ thì $\partial([\bar{Y}]) \in H^2(k,\bar{G}(\bar{X}))$ là lớp đối đồng điều được biểu diễn bởi dãy khớp $$1 \to \bar{G}(\bar{X}) \to E \xrightarrow{q} \Gamma \to 1.$$

Cho $G = \left\langle g \right\rangle \cong \mathbb{Z}$ là nhóm cyclic vô hạn. Ký hiệu $\text{Ext}^n_{\mathbb{C}G}(-,-)$ chỉ hàm tử $\text{Ext}^n$ trong phạm trù các biểu diễn phức hữu hạn chiều của $G$. Liệu ta có $\text{Ext}^n_{\mathbb{C}G}(\mathbb{C},V) = 0$ với mọi biểu diễn $V$ và mọi $n \ge 2$?

Chú ý: đây có thể coi như họ hàng xa của tính chất: nhóm hầu cyclic $\hat{\mathbb{Z}}$ có số chiều đối đồng điều (cohomological dimension) bằng 1.

Cuối tháng 5 vừa rồi, ở hội nghị AGAG ở Charlottesville (https://sites.google...gag-at-uva/home), một bạn đồng nghiệp đã hỏi mình rằng nếu muốn nghiên cứu về vấn đề nguyên lý địa phương-toàn cục (nguyên lý Hasse) và tính chất xấp xỉ yếu cho đa tạp đại số trên trường số, thì nên bắt đầu từ đâu. Mình nghĩ sẽ có ích, nên mình sẽ đăng lại email trả lời của mình (tiếng Anh ở dưới):

 

Rất vui được gặp bạn hôm nay ở Charlottesville. Vì bạn đã hỏi một số tài liệu tham khảo về nguyên lý Hasse và tính chất xấp xỉ yếu để bắt đầu tìm hiểu, tôi viết thư cho bạn hòng trả lời câu hỏi đó. Dưới đây là "túi khôn" của những những người trong cùng trường phái với tôi.

Trước hết, bạn cần làm quen với đối đồng điều Galois, lý thuyết trường các lớp và các định lý đối ngẫu số học (đối ngẫu địa phương Tate và đối ngẫu toàn cục Poitou-Tate. Tài liệu tham khảo điển hình cho chủ đề này là ghi chú "Arithmetic Duality Theorems" (miễn phí) của James S. Milne, hoặc cuốn sách của Harari mà bản tiếng Anh có tựa là "Galois Cohomology and Class Field Theory".

Cuốn sách "gối đầu giường" có lẽ là "Torsors and Rational Points" của Skorobogatov. Trở ngại Brauer-Manin, torsors trong hình học số... được giải thích một cách khá chi tiết trong đó. Bạn cũng có thể xem cuốn sách mới xuất bản của Colliot-Thélène và Skorobogatov là "The Brauer-Grothendieck Group".

Đối với các tính chất số học của nhóm đại số tuyến tính, tôi đề xuất cuốn sách của Platonov và Rapinchuk là "Algebraic Group and Number Theory", cũng như bài báo mang tính nền tảng của Sansuc, "Groupe de Brauer et arithmétique des groupes algébriques linéaires sur un corps de nombres" (sẽ rất tuyệt nếu bạn đọc được tiếng Pháp, đây là một bài báo xuất sắc).

Lý thuyết xuống thang (descent) là một từ khóa khác. Hãy xem hai bài báo "La descente sur les variétés rationnelles I" và "... II" của Colliot-Thélène và Sansuc. Lý thuyết này cũng xuất hiện trong sách của Skorobogatov. Ở một thái cực khác, người ta nói về phương pháp phân thớ (fibration). Bạn có thể xem xét việc đọc nó từ luận án của Harari là "Méthode des fibrations et obstruction de Manin". Bạn không nhất thiết phải hiểu chính xác toàn bộ chi tiết ở lần đọc đầu tiên, vì chúng thực sự rất kỹ thuật.

Nâng cao hơn, bạn có thể đọc các bài báo của Borovoi là "Abelian cohomology of reductive group" và "The Brauer-Manin obstructions for homogeneous spaces with connected or abelian stabilizer". Chúng minh họa một cơ chế tổng quát là "abel hóa đối đồng điều Galois không giao hóa", rất ngạc nhiên là cơ chế này vận hành rất tốt khi làm việc với nhóm đại số tuyến tính liên thông. Bạn cũng có thể cần biết một chút về H^2 không giao hoán: xem bài báo "Grothendieck's theorem on non-abelian H^2 and local-global principles" của Flicker, Schreiderer và Sujatha.
 

It was nice to have met you today in Charlottesville. Since you have asked for some references on the Hasse principle and weak approximation to start with, I am writing to you in an attempt to give you an answer. Here is the bag of tricks of people from the same school as mine.

First, you should get yourself familiar with Galois cohomology, class field theory, and arithmetic duality theorems (Tate local duality and Poitou-Tate global duality). Typical references for this topic are James S Milne's free notes "Arithmetic Duality Theorems", or Harari's textbook, whose English version has the title "Galois Cohomology and Class Field Theory".

The bedside book should be Skorobogatov's textbook "Torsors and Rational Points". Brauer-Manin obstruction, torsors in arithmetic geometry... are explained pretty thoroughly there. You can also take a look at Colliot-Thélène and Skorobogatov's recent textbook "The Brauer-Grothendieck Group".

As for arithmetics of linear algebraic groups, I recommend Platonov and Rapinchuk's textbook "Algebraic Group and Number Theory", as well as the fundamental paper of Sansuc, "Groupe de Brauer et arithmétique des groupes algébriques linéaires sur un corps de nombres" (it would be fantastic if you could read French, this is a formidable article).

"Descent theory" is another keyword. Take a look at Colliot-Thélène and Sansuc's papers "La descente sur les variétés rationnelles I" and  "... II". This also appears in Skorobogatov's textbook. On the other extreme, one talks about the "fibration method". You should consider learning its ideas from Harari's thesis "Méthode des fibrations et obstruction de Manin". It is not really necessary to understand all the details in the first lecture since they are very technical.

For advanced readings, you can take a look at Borovoi's papers "Abelian cohomology of reductive groups" and "The Brauer-Manin obstructions for homogeneous spaces with connected or abelian stabilizer". They illustrate the general machinery of "abelianization of non-abelian Galois cohomology", which works surprisingly well for connected linear algebraic groups. You might also need to know a bit about non-abelian H^2: see Flicker, Schreiderer and Sujatha's paper "Grothendieck's theorem on non-abelian H^2 and local-global principles".