nmlinh16

Cho $A, B$ là các nhóm abel. Cho $0 \to A \to E \to B$ và $0 \to A \to E' \to B \to 0$ là các dãy khớp ngắn (hay $E$ và $E'$ là các mở rộng của $B$ bởi $A$. Chúng được gọi là đương đương nếu tồn tại đồng cấu $f: E \to E'$ sao cho biểu đồ

$$\begin{xy}
\xymatrix {
0 \ar[r] & A \ar[r] \ar@{=}[d] & E \ar[d]^f \ar[r] & B \ar@{=}[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & A \ar[r] & E' \ar[r] & B \ar[r] & 0
}
\end{xy}$$

giao hoán. Theo "bổ đề 5", $f$ tự động là một đẳng cấu.

Câu hỏi. Nếu $f$ như vậy tồn tại thì nó có nhất thiết duy nhất hay không? Nếu không, hãy xây dựng một nhóm để đo "cản trở" đối với sự duy nhất của $f$.

Chú dẫn của người dịch: Alexandre Grothendieck (1928-2014) là nhà toán học được công nhận rộng rãi là có ảnh hưởng nhất thế kỷ XX. Các công trình của ông đã cách mạng hóa Hình học đại số, Tôpô đại số, Đại số đồng điều cũng như Lý thuyết số bằng việc sử dụng rộng rãi ngôn ngữ Lược đồ, Phạm trù và Hàm tử. Năm 1967, giữa bom đạn của chiến tranh Việt Nam, ông đã đến Miền Bắc và mở lớp giảng bài cho Đại học Hà Nội đang sơ tán trong rừng. Ông đã bán chiếc huy chương Fields của mình để góp phần gây quỹ "Một tỷ cho Việt Nam". Là người có tinh thần phản chiến mãnh liệt, chuyến đi Việt Nam dường như đã tác động lớn đến tư tưởng của Grothendieck. Sau khi trở về Paris, ông đã quay lưng với cộng đồng toán học và ở ẩn. Về cuối đời, ông đã gửi tuyên bố không cho xuất bản hay tái bản bất kỳ công trình khoa học nào của mình, ông muốn bị lãng quên. Tất nhiên, giới toán học đã không thể làm vậy.

Một trong những "định lý" quan trọng nhất mà Grothendieck đã công bố là "Tồn tại một nền toán học Việt Nam". Bài dịch sau đây là hồi ký của Grothendieck về chuyến thăm Việt Nam năm 1967.

PHẦN I

          Đầu năm nay, tôi nhận được (nhờ các bên trung gian) thỉnh cầu từ phía các nhà toán học của VNDCCH, rằng họ muốn tôi gửi tất cả những bản thảo mà tôi có trong các lĩnh vực Hình học đại số và Đại số. Giống như rất nhiều đồng nghiệp "phương Tây" của tôi, cho đến thời điểm đó, tôi chưa biết về sự tồn tại của đời sống toán học tại VNDCCH, và hơn nữa, tôi chưa biết rằng những đồng nghiệp Việt Nam đó muốn cập nhật kiến thức từ những lĩnh vực toán học hiện đại, vốn không được đánh giá là dễ dàng, như Hình học đại số. Tất nhiên là tôi rất vui mừng khi có thể giúp đỡ các đồng nghiệp Việt Nam của chúng ta, và tôi đã gấp rút gửi cho họ, bên cạnh tất cả các bài báo tôi có, tất cả các công trình toán học được xuất bản bởi IHES (Viện Nghiên cứu Khoa học cao cấp của Pháp). Nhân tiện, sau chuyến thăm VNDCCH gần đây, tôi có thể báo cáo rằng tất cả các tài liệu đã đến được nơi cần đến, và hơn nữa, một số trong đó đã được các nhà toán học ở đó sử dụng.

          Sự tiếp xúc gián tiếp đầu tiên này đã gợi ý cho tôi việc  đề xuất một chuyến thăm đến VNDCCH vào tháng 5 năm nay, kéo dài 2 đến 3 tháng, để mở các lớp học hoặc seminar toán học với chủ đề và mức độ sẽ được xác định sau khi tôi đến đó, tùy thuộc vào nhu cầu. Tôi đã trình đề xuất này lên ông Mai Văn Bộ, Phó Tổng Lãnh sự VNDCCH tại Pháp, người đã đón nhận rất tích cực và truyền đạt nó đến các cơ quan có thẩm quyền tại Hà Nội. Mặc dù rất bất ngờ - và mặc dù khó khăn trong việc tổ chức một chuỗi bài giảng bởi một người nước ngoài tại VNDCCH trong điều kiện hiện tại - vào đầu tháng 10 tôi đã nhận từ Hội Toán học Việt Nam được lời mời cho một chuyến thăm vào tháng 11 năm 1967. Tôi đã nhận được nghỉ phép từ phía IHES và cả một khoản tài trợ cho chi phí đi lại, thứ mà phía VNDCCH không thể lo được (do thiếu ngoại tệ). Hóa ra, Sở Văn hóa của Bộ Ngoại giao Paris đã không gây bất kỳ khó khăn nào trong việc tài trợ chi phí cho chuyến đi.

          Không may là, do thiếu sự phối hợp giữa các cơ quan liên quan, sau khi rời Paris vào ngày 31 tháng 10, tôi phải đợi khoảng chục ngày tại Phnom Penh (Campuchia) trước khi có thể đến Hà Nội vào ngày 10 tháng 11 trên chuyến bay hàng tuần của ICC (Uỷ ban Quốc tế về Giám sát và Kiểm soát), đó là chuyến máy bay duy nhất bay giữa Phnom Penh và Hà Nội. Tôi rời Hà Nội vào ngày 1 tháng 12, vì vậy tôi đã trải qua 21 ngày ở VNDCCH, tức là 3 tuần. Mục đích của báo cáo của tôi hôm nay là nhấn mạnh một số ấn tượng và quan sát của tôi trong thời gian lưu trú tại Việt Nam này, mặc dù khá ngắn - quá ngắn với những gì tôi muốn, vì đất nước này rất đáng yêu - nhưng đã đem lại cho tôi nhiều ấn tượng sống động và đa dạng.

PHẦN II

          Chuyến đi của tôi được tổ chức như sau. Trong một tuần (chính xác là 9 ngày), tôi ở lại Hà Nội và tổ chức những bài giảng chung cho một nhóm tương đối lớn, khoảng 60 người nghe trong những ngày đầu, gồm không chỉ các nhà toán học mà cả các nhà khoa học khác (ít nhất cũng có một số nhà vật lý). Sau đó, tôi đã dành khoảng chục ngày tại khu sơ tán của Đại học Hà Nội bên ngoài thành phố (khoảng 100km từ thủ đô); thời gian này phần lớn được dành cho một buổi seminair chuyên sâu hơn về Lý thuyết phạm trù và Đại số đồng điều, với tầm 30 đến 40 người nghe, mà hầu hết trong số họ đã theo tôi từ Hà Nội sau khi nghe các bài giảng chung. Dù giảng viên ở Việt Nam thường có khối lượng công việc lớn, những người được mời đến nghe các bài giảng của tôi đã được miễn trừ tất cả nghĩa vụ (giảng dạy và các công việc khác) trong suốt thời gian tôi ở đây. Hầu hết người đến nghe đến từ 2 trường đại học song song (và có vẻ như là tương đương nhau) ở VNDCCH - Đại học Hà Nội và các trường Sư phạm (ở Hà Nội và Vinh) - với số lượng ngang ngửa nhau, cả hai đều đã được sơ tán đến các vùng nông thôn. Vì vậy, cả hai nhóm đều phải đến Hà Nội trước (hầu hết là bằng xe đạp, phương tiện di chuyển phổ biến nhất hiện tại ở Việt Nam), sau đó đến khu sơ tán của đại học, nơi cung cấp chỗ ở, thức ăn và phương tiện di chuyển. Thêm vào đó là sự chăm sóc mà một người nước ngoài thường nhận được khi đến thăm VNDCCH, trong đó có một quan chức của "Ủy ban Khoa học Nhà nước" ở cùng tôi trong suốt thời gian lưu trú, người lo phần an ninh, cũng như sự thoải mái và các nhu cầu khác của tôi; cộng thêm một người lái xe trong suốt thời gian tôi ở Hà Nội, thay bởi một đầu bếp khi tôi ở vùng nông thôn - cả ba người này, như ta có thể hình dung, đều làm việc rất ít trong thời gian phục vụ tôi. Từ đó ta có thể bắt đầu hiểu ra những vấn đề phát sinh về mặt tổ chức từ một chuyến thăm 3 tuần vô hại đến VNDCCH. Việc này thể hiện nỗ lực có hệ thống để thúc đẩy giáo dục ở khắp Việt Nam, bất chấp những điều kiện rất khó khăn cũng như nhu cầu quốc phòng.

          Như hầu hết các hoạt động chung khác, các bài giảng được lên lịch giữa khoảng 6 đến 10 giờ sáng, vì các cuộc oanh tạc thường diễn ra vào sau trưa, hiếm khi trước 11 giờ sáng. Trong suốt thời gian lưu trú của tôi, trời thường nhiều mây, do đó rất ít khi có thả bom. Những cuộc không kích nghiêm trọng đầu tiên đã được cảnh báo và xảy ra vào thứ sáu ngày 17 tháng 11, tức là 2 ngày trước khi chúng tôi sơ tán. Ba lần bài giảng của tôi đã bị gián đoạn bởi những lần báo động, trong đó chúng tôi phải tìm chỗ trốn trong các khu trú ẩn. Mỗi báo động kéo dài khoảng chục phút. Điều đầu tiên ấn tượng với "ma mới" như tôi là sự bình tĩnh, gần như là thờ ơ của dân chúng đối với báo động, đã trở thành thói quen hàng ngày. Tôi đã có cơ hội quan sát nhiều người trong suốt thời gian báo động, cả trên đường phố và trong các khu trú ẩn, gồm cả trẻ em và người già, và tôi chưa bao giờ thấy họ có dấu hiệu gì lo lắng. Phải nói rằng các hoạt động nhằm giảm thiểu số lượng thương vong được tổ chức một cách rất hiệu quả: các hầm trú ẩn cho cá nhân cũng như tập thể có ở khắp nơi trong thành phố, các tổ chức dày đặc có ở từng ngóc ngách, trong đó bao gồm cả cấp cứu - lá cờ chữ thập đỏ nhỏ tượng trưng cho trạm cấp cứu cũng được giấu cẩn thận dưới mái nhà nhô ra để tránh bị máy bay địch phát hiện! Dân chúng rất vững tin - chẳng hạn vào sự hiệu quả của hệ thống phòng không, và họ khá tích cực nói chuyện về số lượng máy bay bị bắn hạ (một chủ đề phổ biến tại VNDCCH thay cho thời tiết) hơn là thiệt hại mà các cuộc không kích gây ra (đài phát thanh ít nói về việc này hơn, vì lý do hiển nhiên). Ngay khi báo động kết thúc, mọi người (ít nhất là trong các vùng không bị tấn công) trở lại công việc của họ như thể chẳng có gì xảy ra.

          Trong một cuộc không kích sáng thứ sáu đó, một quả bom bi nổ chậm rơi vào ngay sân trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, và (sau khi hết báo động) đã giết chết hai giảng viên toán. Tạ Quang Bửu, một nhà toán học và cũng là Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Công nghệ (người đã đến nghe các bài giảng của tôi ở Hà Nội), đã được thông báo về việc đó một cách kín đáo ngay giữa lúc nghe giảng. Ông rời đi ngay lập tức; trong khi những người khác tiếp tục nghe giảng đồng thời đợi báo động tiếp theo. Bài giảng ngày hôm sau đã phải sắp xếp lại cho tuần sau tại khu sơ tán, để không có nhóm cán bộ lớn nào ở thành phố trong thời gian bị ném bom. Đây dường như là lần đầu tiên kể từ khi chiến tranh leo thang mà giảng viên toán hoặc kỹ thuật bị giết. Tôi đồ rằng tổng cộng phải có khoảng 200 đến 300 trường hợp như vậy, có thể nhiều hơn. Trên thực tế, mặc dù mỗi cuộc oanh tạc đều có thương vong nhất định (hôm thứ sáu đó có vẻ là khoảng hai chục), nhưng xác suất bị giết của từng người cụ thể là tương đối nhỏ, kể cả khi tính theo thời gian năm, như ví dụ trước đó đã cho thấy. Dựa trên các cuộc trò chuyện với người Việt, tôi có cảm giác rằng các gia đình đã mất ai đó trong các cuộc ném bom là ngoại lệ chứ không phải số đông. Tất nhiên, xác suất đó còn nhỏ hơn đối với một người nước ngoài chỉ ở lại trong vài tuần, mà còn nhận được những biện pháp an ninh tối đa để đảm bảo an toàn.

          Các bài giảng của tôi bằng tiếng Pháp, và khoảng một nửa khán giả tiếp thu khá tốt (ngược lại, gần như không ai nói tiếng Anh). Trong số đồng nghiệp trẻ tuổi dưới 30 tuổi của chúng tôi, khá ít người nói tiếng Pháp, trong khi nhiều người nói tiếng Nga vì đã du học ở Liên Xô. Các bài giảng thường được thông dịch sang tiếng Việt bởi một trong những người nghe. Cần nhấn mạnh rằng trong khoảng chục năm qua, các nhà khoa học Việt Nam đã đang trong quá trình xây dựng ngôn ngữ khoa học hoàn chỉnh bằng tiếng Việt - một công việc mà tất nhiên là còn lâu mới hoàn thành (Trong toán học, các nỗ lực đầu tiên thuộc về một nhà toán học Việt Nam là Hoàng Xuân Hãn, người đã viết từ điển toán học Pháp-Việt đầu tiên vào những năm 1940). Việc dịch các bài giảng của tôi nhìn chung là suôn sẻ, trừ đôi lúc có những thảo luận ngắn bằng tiếng Việt. Ông Tạ Quang Bửu là một trong những người một mực yêu cầu một bản dịch chính xác hoàn toàn, thường hay ngắt lời bằng các nhận xét ngắn về thuật ngữ. Về phía khán giả, ấn tượng của tôi là hầu hết họ đều hiểu những gì tôi nói (hoặc những gì người thông dịch nói), ít nhất là đại khái, và hầu hết đều quan tâm theo dõi. Nói chung, không có gì nghi ngờ rằng người thông dịch đã luôn hiểu đúng những gì tôi nói và hơn nữa đã hoàn thành tốt nhiệm vụ của mình với người nghe. Ban đầu, người thông dịch thay đổi theo chủ đề; nhưng sau vài ngày, bằng thỏa thuận chung với thính giả, chúng tôi đã chọn anh Đoàn Quỳnh, một giảng viên tại Đại học Sư phạm, và chắc chắn là một trong những nhà toán học tài năng nhất trong những đồng nghiệp Việt Nam của chúng ta.

          Tôi có cảm giác rằng quá trình thông dịch rất tốt và hiệu quả cho cả người giảng lẫn người nghe. Việc dịch từng câu cho người giảng thời gian nghỉ cũng như sắp xếp các ý tưởng một cách hệ thống trong suốt bài giảng, mà không cần phải tập trung quá nhiều, đồng thời cho phép người nghe theo dõi với tốc độ phù hợp hơn so với một bài giảng liên tục. Tôi thấy 4 tiếng giảng bài ở tốc độ này (với hai quãng nghỉ ngắn) đỡ mệt hơn rất nhiều so với 2 tiếng với tốc độ bình thường. Nhưng phải nói rằng công việc của người thông dịch thì mệt mỏi hơn rất nhiều, và vào những ngày cuối ở Việt Nam, trong khi tôi cảm thấy tươi tắn và thoải mái thì anh Quỳnh hiển nhiên là đã kiệt sức.

          Tất cả bài giảng được ghi chép bởi cô Hoàng Xuân Sính, cũng đến từ Đại học Sư Phạm Hà Nội, một trong số ít các nhà toán học (thậm chí là nữ) được đào tạo ở Pháp (cô nhận được chứng chỉ sư phạm của Pháp năm 1959). Kế hoạch là các ghi chép này sẽ được hiệu đính và tái bản bằng tiếng Pháp. Buổi sáng được dành cho các bài giảng, trong khi vào buổi chiều thì mọi người thường gặp nhau để xem lại các tài liệu buổi sáng và cùng nhau làm rõ một số vấn đề. Phong cách làm việc phổ biến và chính thức nhất là làm việc theo nhóm, và điều này cũng áp dụng cho các khoa học. Dù ở một mức độ nào đó thì đây là một điều tuyệt vời, ta có thể hình dung ra những vấn đề nghiệm trọng khi áp dụng phong cách này ở trình độ nghiên cứu. Tôi sẽ trở lại vấn đề này sau. Hầu hết buổi chiều hằng ngày tôi có hẹn với các nhà toán học trẻ để thảo luận các chủ đề khác nhau với họ. Họ đến theo nhóm hai hoặc ba, không bao giờ ít hơn. Có vẻ như với mọi thứ tại VNDCCH (ít nhất là hiện tại), những cuộc gặp này đều đã được tổ chức kỹ càng, tôi thấy thế sau một thời gian: Những nhà toán học muốn gặp tôi phải thông báo cho "các nhà chức trách", nếu họ không phải là những nhà chức trách, và làm báo cáo về chủ đề của buổi gặp đó. Thú thật là tôi tin rằng bất kỳ người nghe nào muốn nói chuyện với tôi một hoặc một vài lần đều phải làm vậy. Một ví dụ khác về thói quen cộng đồng tại VNDCCH là vào cuối kỳ lưu trú của tôi, một cuộc họp tổng kết đã diễn ra, mà mọi người nghe đều phải đến. Mục đích của cuộc họp này là để mọi người thảo luân chính xác gì mà mọi người đã rút ra từ chuỗi bài giảng. Không nghi ngờ gì rằng phần lớn chúng ta sẽ chẳng biết trả như thế nào nếu được hỏi như vậy sau một bài giảng hoặc seminar!

          Sẽ thú vị hơn nếu tôi tóm tắt lại chương trình của các bài giảng, mà nội dung đã được chọn bởi các đồng nghiệp Việt Nam của chúng ta:

1. Bài giảng chung
   Thứ hai, ngày 13: Đào tạo các nhà toán học và các điều kiện chung để nghiên cứu khoa học.
   Thứ ba, ngày 14: Khái niệm lược đồ.
   Thứ tư, ngày 15: Giải tích hàm.
   Thứ năm, ngày 16: Đại số đồng điều.
   Thứ sáu, ngày 17: Đại số đồng điều và Lý thuyết bó.
   Thứ hai, ngày 20: Tôpô (và Đại số).
   Thứ hai, ngày 27 và Thứ năm, ngày 30: Giả thuyết Weil (tổng cộng 4 tiếng).
2. Seminar chuyên ngành
   a) Tích tenxơ tôpô và không gian hạt nhân (2 ngày).
   b) Đại số đồng điều (7 ngày).

          Tất cả các ý tưởng trình bày trong các bài giảng đều là kiểu "được biết đến rộng rãi", và hầu hết đều đã được xuất bản thành sách. Vì lý do này, tôi tin rằng chuyến đi của tôi có ích hơn trong về mặt tinh thần - như một sự kích thích cho những người bạn toán học Việt Nam của chúng ta - hơn là về kiến thức thực sự. Tôi cũng nghĩ rằng các bài giảng chung chắc chắn hữu ích hơn cho họ so với những bài giảng kỹ thuật ở 2 seminar chuyên ngành. Ở một quốc gia có rất ít mối quan hệ với bên ngoài (nếu ta không tính bom đạn là một hình thức quan hệ), đối với một nhà toán học ít kinh nghiệm, sẽ rất khó để định hướng cho bản thân giữa vô số hướng đi khả dĩ, cũng như phân biệt vấn đề nào là thú vị hay không. Chẳng hạn, sẽ hữu ích cho họ khi hiểu rằng Tôpô đại cương cần được xem như một ngôn ngữ thiết yếu và đã được phát triển đầy đủ chứ không phải một lĩnh vực cần được nghiên cứu thêm, và rằng một số hướng phát triển của Tôpô đã đi đến ngõ cụt. Hay như Giải tích hàm vẫn có một số bài toán thú vị nhất định cho các chuyên gia, nhưng không nên là nơi mà một người nên dành cả đời... Đáng tiếc là năng lực có hạn của tôi đã khiến tôi không giúp được cho các nhà giải tích Việt Nam như những gì tôi đã làm với các nhà đại số. Chắc chắn sẽ rất có giá trị nếu các nhà giải tích giỏi như Laurentz Schwartz hay Bernard Malgrange chẳng hạn, có thể thực hiện các chuyến thăm tương tự tại VNDCCH như tôi đã làm để giúp các nhà toán học Việt Nam trong nghiên cứu của họ. Các nhà chức trách cũng như các nhà toán học Việt Nam cũng bày tỏ mong muốn được đón tiếp các nhà toán học Pháp khác khi tình hình cho phép. Không may là điều này có lẽ sẽ không xảy ra được trong tương lai gần vì sự leo thang của các cuộc không kích tại Việt Nam từ tháng 10 vừa rồi (cũng chính là điều đã khiến chuyến bay của tôi bị hủy; và chỉ vì trùng hợp khi không biết rằng chuyến bay bị hủy nên tôi vẫn đã đến Hà Nội với sự chấp thuân của chính quyền Việt Nam, vì họ không muốn tôi quay về Paris tay trắng!).

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì

$$\prod_{k=1}^{n-1} \left(4\cos^2 \tfrac{k\pi}{n} + 1\right) = F_n^2,$$ trong đó $$\begin{cases} F_1 = F_2 = 1, \\ F_n = F_{n-1} + F_{n-2} & \text{nếu } n \ge 3. \end{cases}$$

Xin được gửi các thành viên của diễn đàn bài viết của mình về sự liên hệ giữa lý thuyết số và lý thuyết nút:

"Tôpô số học: số nguyên tố giống nút như thế nào?"

https://drive.google...?usp=share_link

THÔNG TIN CHUNG

• Bài viết gốc: Infinity Category Theory Offers a Bird’s-Eye View of Mathematics, đăng trên Scientific American, Volume 325, Issue 4, October 2021. https://www.scientif...f-mathematics1/
• Tác giả: Giáo sư Emily Riehl, Johns Hopkins University, chuyên gia về lý thuyết phạm trù bậc cao và lý thuyết đồng luân, các công trình của cô liên quan đến phạm trù mô hình và nền tảng của lý thuyết phạm trù vô cực.
• Hình vẽ: Họa sĩ Matteo Farinella.
• Người dịch: Nguyễn Mạnh Linh, Université Paris-Saclay.

Với “vũ khí đầy mình”, tôi không kìm được mà lại gần người đàn ông trên đường. Đúng như dự đoán, nỗ lực giải thích, rằng vì sao tôi biết bài toán này không có lời giải, đã không đi tới đâu cả. Ngược lại, người đàn ông tuyên bố rằng những gì được dạy đã khiến tôi trở nên bảo thủ và không thể “mở mang cái đầu ra”. Sau cùng, bạn gái đã kéo được tôi khỏi cuộc tranh cãi và chúng tôi tiếp tục đi.

 

Nhưng vẫn còn đó một câu hỏi thú vị: Tại sao tôi, một đứa sinh viên năm ba vắt mũi chưa sạch, lại có thể học được cách dễ dàng thao túng các hệ thống số trừu tượng như các trường Galois chỉ trong vài tuần? Phần cuối của lớp học đó gồm nhóm đối xứng, vành đa thức và các cấu trúc liên quan, những thứ có lẽ sẽ làm đau đầu cả những người khổng lồ như Isaac Newton, Gottfried Leibniz, Leonhard Euler hay Carl Friedrich Gauss. Tại sao các nhà toán học lại có thể dạy cho các thế hệ sinh viên sau những khám phá làm kinh động cả những chuyên gia ở thế hệ trước?

 

PHẠM TRÙ

Giống như nhiều đồng nghiệp của mình, tôi bị toán học lôi cuốn phần vì trí nhớ tệ của mình. Điều này có thể làm nhiều người bối rối khi họ nhớ rằng môn toán ở phổ thông là một mớ công thức phải thuộc — các đẳng thức lượng giác chẳng hạn. Nhưng tôi lại thấy chúng rất dễ chịu vì hầu hết những công thức thường dùy đều có thể rút ra từ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, đẳng thức mà tự thân nó có một kiến giải hình học tao nhã: đó chỉ là hệ quả trực tiếp của định lý Pythagore cho tam giác vuông với cạnh huyền bằng 1 và một góc nhọn bằng $\theta$.

Một ý tưởng toán học nghe có vẻ mâu thuẫn là đơn giản hóa bằng cách trừu tượng hóa. Như Eugenia Cheng đã viết trong “The Art of Logic in an Illogical World”(Nghệ thuật của logic trong một thế giới phi logic), “một trong những sức mạnh của trừu tượng hóa là nhiều bối cảnh khác nhau trở nên giống nhau khi bạn quên đi một số chi tiết.”Đại số hiện đại được tạo ra đầu thế kỷ XX khi các nhà toán học quyết định thống nhất nghiên cứu của họ trên nhiều ví dụ khác nhau về các cấu trúc đại số xuất hiện khi xem xét nghiệm của các hệ phương trình đa thức hay các cấu hình trong mặt phẳng. Để liên kết việc tìm hiểu các cấu trúc này, họ xác định các “tiên đề” mô tả những tính chất chung của chúng. Nhóm, vành và trường đã được đưa vào thế giới toán học, cùng ý tưởng rằng một đối tượng toán học có thể được mô tả bằng những tính chất nó có và được khám phá một cách “trừu tượng”, không phụ thuộc vào bối cảnh của những ví dụ hay xây dựng cụ thể.

 

John Horton Conway đã có một suy nghĩ nổi tiếng về bản thể luận kỳ lạ của các sự vật toán học: “Chúng chắc chắn có tồn tại, nhưng bạn không thể động chạm gì mà chỉ có thể nghĩ về chúng. Điều này thật đáng kinh ngạc, và tôi vẫn chưa hiểu, dù đã là nhà toán học suốt cuộc đời mình. Rằng làm thế nào một sự vật có thể ở đó mà lại không thực sự ở đó?'”

 

Nhưng thế giới của các đối tượng toán học tồn-tại-mà-không-thực-sự-ở-đó này có một vấn đề: Nó quá lớn cho bất kỳ ai để có thể hiểu được. Ngay trong đại số thôi đã có quá nhiều sự vật toán học để nghiên cứu, nhưng lại có quá ít thời gian để thể có thể thấy thấy cả đều hợp lý. Vào khoảng thế kỷ XX, các nhà toán học bắt đầu nghiên cứu đại số phổ dụng,  gồm một “tập hợp”, có thể là một họ những phép đối xứng, những con số trong một hệ thống hoặc thứ gì đó hoàn toàn khác, cùng một số phép toán — chẳng hạn như phép cộng và phép nhân — thỏa mãn một loạt các tiên đề liên quan như tính kết hợp, tính giao hoán hay tính phân phối. Với những điều chỉnh khác nhau như: “Phép toán được định nghĩa cục bộ hay toàn cục?”, “Nó có khả nghịch không?”, người ta thu được những cấu trúc đại số cơ bản: nhóm, vành và trường. Nhưng toán học thì không bị hạn chế bởi những điều chỉnh này, điều này cho thấy một phần rất nhỏ so với số lượng vô hạn các khả năng có thể xảy ra.

 

ĐỐI XỨNG

Các tầng trừu tượng, từ những cấu trúc toán học cụ thể đến những hệ tiên đề và sau đó là các vật trong phạm trù, mở ra một thách thức mới: sự “như nhau” giữa một vật và một vật khác không còn rõ ràng nữa. Chẳng hạn, một nhóm, đối tượng toán học được cho bởi một họ trừu tượng các phép đối xứng mà các phần tử của nó được Amie Wilkinson (Đại học Chicago) mô tả như những “chuyển động” lật hoặc xoay một đối tượng để đưa nó về trạng thái gần giống như ban đầu.

Ta có thể định nghĩa đẳng cấu trong bất kỳ phạm trù nào, cho phép ta chuyển khái niệm này giữa các ngữ cảnh toán học khác nhau. Một đẳng cấu giữa hai vật $A$ và $B$ trong một phạm trù được cho bởi một cặp biến đổi $f: A \to B$ và $g: B \to A$ với sao cho các phép biến đổi hợp thành $g \circ f$ và $f \circ g$ lần lượt là các biến đổi đồng nhất $\mathbf{1}_A$ và $\mathbf{1}_B$. Trong phạm trù các không gian tôpô, khái niệm đẳng cấu được mô tả bởi một cặp hàm liên tục nghịch đảo lẫn nhau. Chẳng hạn, có một phép biến dạng liên tục cho phép bạn biến đổi một chiếc bánh vòng (chưa nướng) thành hình dạng như tách cà phê: lỗ ở giữa chiếc bánh vòng trở thành quai cầm, và phần cốc được tạo thành bằng cách dùng ngón tay ép. (Để phép biến dạng là liên tục, bạn không được xé rách chiếc bánh, đó là lí do vì sao không nên nướng bánh trước khi làm trò này.)

 

Ví dụ này dẫn đến câu đùa rằng nhà tôpô học không thể phân biệt giữa tách cà phê và chiếc bánh vòng: với tư cách là các không gian trừu tượng, hai đối tượng này giống nhau. Trên thực tế, nhiều nhà tôpô học có khả năng phân biệt còn tệ hơn thế nữa kia; đó là vì họ đã sử dụng một quy ước linh hoạt hơn nhiều để mô tả tình huống khi hai không gian là “như nhau”, họ đồng nhất hai không gian bất kỳ mà chỉ “tương đương đồng luân” với nhau thôi. Thuật ngữ trên là khái niệm đẳng cấu trong một phạm trù kỳ lạ hơn, phạm trù đồng luân của các không gian. Một tương đương đồng luân là một kiểu biến dạng liên tục khác, nhưng lúc này bạn được phép dính hai điểm phân biệt với nhau. Chẳng hạn, tưởng tượng rằng bạn bắt đầu với chiếc quần jean và thu gọn chiều dài của hai ống quần đến khi bạn thu được chiếc quần lọt khe, một “không gian” khác mà cấu trúc tôpô về cơ bản là không đổi —nó vẫn có hai lỗ để cho chân vào, dù hai ống quần ($2$-chiều) ban đầu đã bị rút thành hai vòng dây ($1$-chiều).

 

PHẠM TRÙ VÔ CỰC

Ưu thế then chốt của phỏng nhóm cơ bản là tính “hàm tử”, nghĩa là mọi hàm liên tục $f: X \to Y$ giữa hai không gian tôpô cho ta một phép biến đổi $\pi_1 f: \pi_1 X \to \pi_1 Y$ giữa hai phỏng nhóm cơ bản. Phép biến đổi này tôn trọng phép hợp thành và đồng nhất của đường, nghĩa là $\pi_1(g \circ f) = \pi_1 g \circ \pi_1 f$ và $\pi_1(\mathbf{1}_x) = \mathbf{1}_{\pi_1 x}$. Hai tính chất này, gọi chung là “tính hàm tử”, gợi ý rằng phỏng nhóm cơ bản giữ được những tính chất cốt lõi của không gian tôpô. Nói riêng, nếu hai không gian không tương đương đồng luân thì phỏng nhóm cơ bản của chúng cũng không tương đương.

 

Dù vậy, phỏng nhóm cơ bản chưa phải là một bất biến hoàn chỉnh. Có thể dễ dàng phân biệt một đường tròn với hình tròn đặc mà đường tròn ấy bao quanh. Trong phỏng nhóm cơ bản của đường tròn, các đường giữa hai điểm cho trước, sai khác biến dạng liên tục (đồng luân), được gán với các số nguyên, chỉ số vòng mà đường này quay quanh đường tròn, với dấu $+$ hoặc $-$ chỉ chiều thuận hoặc ngược kim đồng hồ. Ngược lại, trong phỏng nhóm cơ bản của hình tròn, chỉ có duy nhất (sai khác đồng luân) một đường giữa bất kỳ cặp điểm nào. Phỏng nhóm cơ bản của phần bề mặt của quả bóng, hay một mặt cầu theo ngôn ngữ tôpô, cũng thỏa mãn chính chất này: tồn tại duy nhất, sai khác đồng luân, một đường giữa hai điểm bất kỳ.

 

 

 

 

CHÂN TRỜI TƯƠNG LAI

 

Dẫu vậy, kinh nghiệm lịch sử cho thấy rằng phần lớn những kiến thức toán học mới lạ nhất hôm nay sẽ dần trở nên đủ dễ để dạy cho sinh viên toán ngài mai. Sẽ rất vui khi được quan sát, với tư cách là một người nghiên cứu $\infty$-phạm trù, cách mà nó có thể được đơn giản hóa đi. Chẳng hạn như một mẹo nhỏ về ngôn ngữ —một phiên bản siêu cấp của từ “the” trong phạm trù —có thể khiến cho sinh viên ở cuối thế kỷ XXI hiểu $\infty$-phạm trù một cách dễ dàng như phạm trù thông thường ngày nay. Tiên đề then chốt của lý thuyết phạm trù thông thường là sự tồn tại duy nhất của một phép biến đổi hợp thành $g \circ f: X \to Z$ với mỗi cặp biến đổi $f: X \to Y$ và $g: Y \to Z$, được chọn ra từ tập các phép biến đổi từ $X$ vào $Z$. Trái lại, trong một $\infty$-phạm trù, có một không gian các mũi tên từ $X$ vào $Z$, thứ mà trong $\infty$-phỏng nhóm cơ bản có thể hiểu là “không gian đường”. Phiên bản đúng của tính hợp thành duy nhất trong phạm trù thông thường là mệnh đề: trong một $\infty$-phạm trù, không gian các hợp thành là “co rút được”, nghĩa là mỗi điểm của nó đều có thể suy sụp một cách liên tục qua một vụ nổ “Big Bang ngược” về một điểm gốc duy nhất.

 

Chú ý rằng tính co rút được không suy ra rằng có duy nhất một hợp thành: thật vậy, ta đã thấy rằng trong $\infty$-phỏng nhóm cơ bản, có thể có rất nhiều đường hợp thành. Nhưng tính co rút được đảm bảo rằng hai đường hợp thành luôn đồng luân, và hai phép đồng luân bất kỳ giữa hai đường hợp thành luôn liên kết với nhau bởi một đồng luân bậc cao, và cứ như vậy.