Rút gọn
$S_1 = (C_{2020}^{0})^{2}+(C_{2020}^{1})^{2}+(C_{2020}^{2})^{2}+(C_{2020}^{3})^{2}+...+(C_{2020}^{2020})^{2}$
- Lemonjuice yêu thích
Gửi bởi dchynh trong 24-11-2021 - 12:00
Rút gọn
$S_1 = (C_{2020}^{0})^{2}+(C_{2020}^{1})^{2}+(C_{2020}^{2})^{2}+(C_{2020}^{3})^{2}+...+(C_{2020}^{2020})^{2}$
Gửi bởi dchynh trong 31-01-2019 - 13:16
Bài 2:
$4x^{2}-8x-1+\sqrt{2x+3}=0$ (*) (điều kiện : x $\geqslant -\frac{3}{2}$)
Đặt : $\sqrt{2x+3}=t$ $\Leftrightarrow x=\frac{t^{2}-3}{2}$ (điều kiện : t $\geqslant 0$)
(*) $\Leftrightarrow$ $4\left ( \frac{t^{2}-3}{2} \right )^{2}-8\left ( \frac{t^{2}-3}{2} \right )-1+t=0$
$\Leftrightarrow \left ( t^{2}-3 \right )^{2}-4\left ( t^{2}-3 \right )-1+t=0$
$\Leftrightarrow t^{4}-10t^{2}+t+20=0$
$\Leftrightarrow \left ( t^{2}-t-4 \right )\left ( t^{2}+t-5 \right )=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t^{2}-t-4=0 & \\ t^{2}+t-5=0 & \end{bmatrix}$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=\frac{1+\sqrt{17}}{2}(nhận) & \\ t=\frac{1-\sqrt{17}}{2}(loại) & \\ t=\frac{-1+\sqrt{21}}{2}(nhận) & \\ t=\frac{-1-\sqrt{21}}{2}(loại) & \end{bmatrix}$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \sqrt{2x+3}=\frac{1+\sqrt{17}}{2} & \\ \sqrt{2x+3}=\frac{-1+\sqrt{21}}{2} & \end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{3+\sqrt{17}}{4} (nhận)& \\ x=\frac{5-\sqrt{21}}{4} (nhận)& \end{bmatrix}$
Gửi bởi dchynh trong 31-01-2019 - 11:51
Bai 1
$(1-x)\sqrt{2x+3}-2x^{2}+3=0$ (*) (điều kiện: x $\geqslant$$-\frac{3}{2}$)
đặt: $\sqrt{2x+3}=t (điều kiện: t\geqslant 0)$
$\Leftrightarrow x=\frac{t^{2}-3}{2}$
(*) $\Leftrightarrow \left ( 1-\frac{t^{2}-3}{2} \right )t-2\left ( \frac{t^{2}-3}{2} \right )^{2}+3=0$
$\Leftrightarrow t-\frac{\left ( t^{2}-3 \right )t}{2}-\frac{\left ( t^{2}-3 \right )^{2}}{2}+3=0$
$\Leftrightarrow 2t-t^{3}+3t-t^{4}+6t^{2}-9+6=0$
$\Leftrightarrow -t^{4}-t^{3}+6t^{2}+5t-3=0$
$\Leftrightarrow -\left ( t^{2}+2t-1 \right )\left ( t^{2}-t-3 \right )$ = 0
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t^{2}+2t-1=0 & & \\ t^{2}-t-3=0 & & \end{bmatrix}$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=-1+\sqrt{2}(nhận) & \\ t=-1-\sqrt{2}(loại) & \\ t=\frac{1+\sqrt{13}}{2}(nhận) & \\ t=\frac{1-\sqrt{13}}{2}(loại) & \end{bmatrix}$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \sqrt{2x+3}=-1+\sqrt{2} & \\ \sqrt{2x+3}=\frac{1+\sqrt{13}}{2} & \end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-\sqrt{2}(nhận) & \\ x=\frac{1+\sqrt{13}}{4} (nhận)& \end{bmatrix}$
Gửi bởi dchynh trong 22-10-2018 - 12:56
Câu 2.a
$a^{3}+b^{3}+(a+b)^{3}+6ab=16$
$\Leftrightarrow (a+b)^{3}-3ab(a+b)+(a+b)^{3}+6ab-16=0$
$\Leftrightarrow$$2(a+b)^{3}-3ab(a+b)+6ab-16=0$
(Đặt: a + b = x, ab = y)
$\Leftrightarrow 2x^{3}-3xy+6y-16=0$
$\Leftrightarrow 2(x^{3}-8)-3y(x-2)=0$
$\Leftrightarrow 2(x-2)(x^{2}+2x+4)-3y(x-2)=0$
$\Leftrightarrow (x-2)\left ( 2x^{2}+4x+8-3y \right )=0$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x-2=0 & & \\ 2x^{2}+4x+8-3y=0 & & \end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow x=2\Leftrightarrow a+b=2$
Gửi bởi dchynh trong 14-10-2018 - 11:51
$\left\{\begin{matrix} x+\sqrt{y-1}=6 & & \\ \sqrt{x^{2}+2x+y}+2(x+1)\sqrt{y-1}=29 & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow$$\left\{\begin{matrix} x+1+\sqrt{y-1}=7 (1)& & \\ \sqrt{(x+1)^{^{2}}+y-1}+2(x+1)\sqrt{y-1}=29 & & \end{matrix}\right.$ (điều kiện: y$\geq 1$)
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+1)^{2}+2(x+1)\sqrt{y-1}+y-1=49 (2) & & \\ \sqrt{(x+1)^{2}+y-1}+2(x+1)\sqrt{y-1}=29 (3)& & \end{matrix}\right.$
Lấy phương trình (2) - (3) vế theo vế ta được phương trình sau:
$(x+1)^{2}+(y-1)-\sqrt{(x+1)^{2}+y-1}=20$ , đặt $\sqrt{(x+1)^{2}+y-1}=t$ $(t\geq 0)$
$\Leftrightarrow t^{2}-t-20=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=-4(loai)& & \\ t=5(nhan)& & \end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow \sqrt{(x+1)^{2}+y-1}=5\Leftrightarrow (x+1)^{2}+y-1=25 (4)$
Từ phương trình (1) và (4) ta có hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix} (x+1)+\sqrt{y-1}=7 & & \\ (x+1)^{2}+y-1=25 & & \end{matrix}\right.$ (đặt: $x+1=a$, $\sqrt{y-1}=b$, $b$$\geq 0$)
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=7 & & \\ a^{2}+b^{2}=25 & & \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow$$\begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} a=3 & & \\ b=4 & & \end{matrix}\right. & & \\ \left\{\begin{matrix} a=4 & & \\ b=3 & & \end{matrix}\right. & & \end{bmatrix}$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x+1=3 & & \\ \sqrt{y-1}=4 & & \end{matrix}\right. & & \\ \left\{\begin{matrix} x+1=4 & & \\ \sqrt{y-1}=3 & & \end{matrix}\right. & & \end{bmatrix}$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=2 & & \\ y=17 & & \end{matrix}\right. & & \\ \left\{\begin{matrix} x=3 & & \\ y=10 & & \end{matrix}\right. & & \end{bmatrix}$
Gửi bởi dchynh trong 26-09-2018 - 13:01
Gọi K,Q lần lượt là trung điểm của BC và DC
Xét $\triangle$ABC ta có PA=PC, KB=KC => PK là đường trung bình của $\triangle$ABC => PK//AB
Xét $\triangle$DBC ta có ND=NB, KB=KC => NK là đừơng trung bình của $\triangle$DBC => NK//DC
mà AB//DC (gt)
=> PK//NK => 3 điểm N,P,K thẳng hàng => NP//AB//DC
Xét $\triangle$ABD ta có MA=MB, ND=NB => MN là đường trung bình của $\triangle$ABD => MN//AB
Xét $\triangle$ADC ta có QD=QC, PA=PC => QP là đường trung bình của $\triangle$ADC => QP//AB
=> MN//QP
mà NE Ʇ MN => NE Ʇ QP
Chứng minh tương tự ta cũng có được PE Ʇ QN
Trong $\triangle$NPQ hai đường cao NE và PE cắt nhau tại E, nên E là trực tâm của $\triangle$NPQ
=> QE Ʇ NP
mà NP//DC (cmt)
=> QE Ʇ DC
Xét $\triangle$DEC có QE vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên $\triangle$DEC cân tại E
=> ED=EC
Gửi bởi dchynh trong 26-09-2018 - 10:44
Chúng ta áp dụng bổ đề sau để chứng minh cho bài toán trên "Nếu một tứ giác có tổng bình phương các cạnh đối diện bằng nhau thì tứ giác đó có hai đường chéo vuông góc"
Gọi O là giao điểm của IE và CB
Xét tứ giác ICEB ta có IE Ʇ CB tại O
Nên $CE^{2}+IB^{2}=OC^{2}+OE^{2}+OI^{2}+OB^{2}=IC^{2}+EB^{2}=IA^{2}+EB^{2}$ (định lý Pitago) (1)
Mặt khác ta có
$CE^{2}+IB^{2}=CE^{2}+IA^{2}+AB^{2}$ = $(CE^{2}+IC^{2})+AB^{2}$ = $IE^{2}+AB^{2}$ (định lý Pitago) (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $IA^{2}+EB^{2}=IE^{2}+AB^{2}$
Suy ra tứ giác IABE có hai đường chéo vuông góc hay IB Ʇ AE
Gửi bởi dchynh trong 04-06-2018 - 11:54
Câu 2.1
Giải phương trình; $\left ( \sqrt{x+9}-3 \right )\left ( \sqrt{9-x}+3 \right )=2x$ (điều kiện: $-9\leq x\leq 9$)
Đặt: a = $\sqrt{x+9}$ ; b = $\sqrt{9-x}$ ; (a,b $\geq$ 0)
Ta có hệ PT:
$\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}=18\\ (a-3)(b+3)=2(a^{2}-9) \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}=18\\ (a-3)(b+3)-2(a-3)(a+3)=0 \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}=18\\ (a-3)(b-2a-3)=0 \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}=18\\ \begin{bmatrix} a=3\\ b=2a+3 \end{bmatrix} \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}=18\\ a=3 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}=18\\ b=2a+3 \end{matrix}\right. \end{bmatrix}$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} a=3\\ b=3 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} a=3\\ b=-3(loai) \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} a=0,6\\ b=4,2 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} a=-3(loai)\\ b=-3(loai) \end{matrix}\right. \end{bmatrix}$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} \sqrt{x+9}=3\\ \sqrt{9-x}=3 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} \sqrt{x+9}=0,6\\ \sqrt{9-x}=4,2 \end{matrix}\right. \end{bmatrix}$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x+9=9\\ 9-x=9 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x+9=0,36\\ 9-x=17,64 \end{matrix}\right. \end{bmatrix}$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0\\ x=-8,64 \end{bmatrix}$ (nhận)
Gửi bởi dchynh trong 03-06-2018 - 11:47
Câu 2b
Điều kiện $y\geq -2$
$\left\{\begin{matrix} \left | x-1 \right |+2\sqrt{y+2}=5\\ 3\sqrt{y+2}-\left | x-1 \right |=5 \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left | x-1 \right |=1\\ \sqrt{y+2}=2 \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x-1=1\\ y+2=4 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x-1=-1\\ y+2=4 \end{matrix}\right. \end{bmatrix}$$\Leftrightarrow$$\begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=2 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x=0\\ y=2 \end{matrix}\right. \end{bmatrix}$
Gửi bởi dchynh trong 30-05-2018 - 10:53
Đặt $t=2\sqrt{2+x}+\sqrt{3-x}$!
Làm kiểu đó cũng được, nhưng giải ra 2 nghiệm $\begin{bmatrix} t_{1}=5(nhan)\\ t_{2}=-2(loai) \end{bmatrix}$
Sau đó phải tiếp tục giải pt: $2\sqrt{2+x}+\sqrt{3-x}=5$ thêm dài dòng, rắc rối
thành lập hệ pt hai ẩn tinh cho lẹ, sử dụng máy tính tay giải cũng được.
Gửi bởi dchynh trong 28-05-2018 - 13:05
Giải câu C thế này cho lẹ và đơn giản.
Vẽ đường tròn (G) ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi M là giao đểm của AK với đường tròn (G)
Ta có KM.KA=KB.KC=KE.KF=KD.KO (vì các tứ giác AMBC, FEBC, FEDO nội tiếp đã được chứng minh và theo giả thiết)
Xét $\Delta KEM$ và $\Delta KAF$ (ta có $\widehat{MKE}$ là góc chung và $\frac{KM}{KF}=\frac{KE}{KA}$) => $\Delta$KEM$\sim$$\Delta$KAF => $\widehat{KME}=\widehat{KFA}$
=> Tứ giác AMEF nội tiếp đường tròn.
Mặt khác tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH (vì $\widehat{AFH}+\widehat{AEH}=90^{o}+90^{o}=180^{o}$)
=> Ngũ giác AMEHF nội tiếp đường tròn đường kinh AH
=> $\widehat{AMH}=90^{o}$ (góc nội tiệp chắn nửa đường tròn) (1)
Xét $\Delta KMD$ và $\Delta KOA$ (ta có $\widehat{MKD}$ góc chung và $\frac{KM}{KO}=\frac{KD}{KA}$) => $\Delta KMD\sim \Delta KOA$ => $\widehat{KMD}=\widehat{KOA}$
=>tứ giác AMDO nội tiếp đường tròn.
=> $\widehat{AMO}=\widehat{ADO}=90^{o}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung OA) (2)
Từ (1) và (2) => 3 điểm M, H, O thẳng hàng
=> OH vuông góc AK tại M
Gửi bởi dchynh trong 26-05-2018 - 23:36
Câu 3.2
Ta có: $6\sqrt{x+2}+3\sqrt{3-x}=3x+1+4\sqrt{-x^{2}+x+6}$
<=> $6\sqrt{x+2}+3\sqrt{3-x}=3x+1+4\sqrt{(x+2)(3-x)}$ (điều kiện:$-2\leq x\leq 3$) (1)
Đặt: $a=\sqrt{x+2};b=\sqrt{3-x};(a,b\geq 0)$
(1) <=> $\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}=5 \\ 6a+3b=3a^{2}-5+4ab \end{matrix}\right.$ <=>$\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}=5\\ 3a^{2}+4ab-6a-3b=5 \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow$$\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}=5\\ (2a+b)^{2}-3(2a+b)=10 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}=5\\ 2a+b=5 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}=5\\ 2a+b=-2(loai) \end{matrix}\right. \end{bmatrix}$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+(5-2a)^{2}=5\\ b=5-2a \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}-4a+4=0\\ b=5-2a \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow$$\left\{\begin{matrix} a=2\\ b=1 \end{matrix}\right.$ (nhận)
Vậy ta có $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+2}=2\\ \sqrt{3-x}=1 \end{matrix}\right.$ <=>$\left\{\begin{matrix} x+2=4\\ 3-x=1 \end{matrix}\right.$<=> x=2 (nhận)
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học