Đến nội dung

Frosty Flame

Frosty Flame

Đăng ký: 12-08-2018
Offline Đăng nhập: 08-08-2019 - 20:46
-----

#716227 Giải pt:$x^{4}+2x^{3}+2x^{2}-2x+1=(x^...

Gửi bởi Frosty Flame trong 02-10-2018 - 09:54

Giải pt:$x^{4}+2x^{3}+2x^{2}-2x+1=(x^{3}+x)\sqrt{\frac{1-x^{2}}{x}}$

ĐKXĐ: $x\leq -1 hoặc 0<x\leq1$

Dễ thấy $x>0=>0<x\leq1$

$VP=x(x^2+1)\sqrt{\frac{1-x^{2}}{x}}\leq \begin{vmatrix}x\end{vmatrix}(x^2+1)\sqrt{\frac{1-x^{2}}{x}}=\sqrt{x^2}\sqrt{\frac{1-x^{2}}{x}}(x^2+1)=\sqrt{x-x^3}(x^2+1)$

$<=>VP\leq \frac{x-x^3+(x^2+1)^2}{2}$

$<=>VT-VP\geq x^{4}+2x^{3}+2x^{2}-2x+1-\frac{x-x^3+(x^2+1)^2}{2}=...=\frac{x^4+x^3+(2x-1)^2+2-x}{2}>0(Vì 0<x\leq1)$

$<=>$ Phương trình vô nghiệm

Vậy$,...$




#716176 Giai phuong trinh

Gửi bởi Frosty Flame trong 30-09-2018 - 21:50

5, $\sqrt{3-x}+\sqrt{2+x}=x^3+x^2-4x-4+|x|+|x-1|$

ĐKXĐ: $-2\leq x\leq 3$

Pt đã cho

$<=>(x+2)(x^2-x-2)+\begin{vmatrix}x\end{vmatrix}-\sqrt{2+x}+\begin{vmatrix}x-1\end{vmatrix}-\sqrt{3-x}=0$

$<=>...<=>x^2-x-2=0<=>...$

 

6, $\sqrt{\frac{1-x}{x}}=\frac{2x+x^2}{1+x^2}$

ĐKXĐ: $0<x\leq 1$

Pt đã cho

$<=>(1-x)(1+x^2)^2=x(2x+x^2)^2<=>...<=>(2x-1)(x^4+2x^3+4x^2+x+1)=0<=>...$




#716175 Giai phuong trinh

Gửi bởi Frosty Flame trong 30-09-2018 - 21:47

Giai phuong trinh

1, $(\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1})(x^2+\sqrt{x^2+4x+3})=2x$

ĐKXĐ: $x\geq -1$

Pt đã cho

$<=>\frac{2}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1}}[x^2+\sqrt{(x+1)(x+3)}]=2x$

$<=>x^2+\sqrt{(x+1)(x+3)}=x\sqrt{x+1}+x\sqrt{x+3}<=>(x-\sqrt{x+1})(x-\sqrt{x+3})=0<=>...$

 

Giai phuong trinh

2, $2\sqrt{3x+4}+3\sqrt{5x+9}=x^2+6x+13$

ĐKXĐ: $x\geq \frac{-4}{3}$

Pt đã cho

$<=>x^2+x+2[(x+2)-\sqrt{3x+4}]+3[(x+3)-\sqrt{5x+9}]=0$

$<=>x(x+1)[1+\frac{2}{x+2+\sqrt{3x+4}}+\frac{3}{x+3+\sqrt{5x+9}}]=0<=>...$

 

4, $\sqrt{2x^2+16x+18}+\sqrt{x^2-1}=2x+4$

ĐKXĐ: ...

Pt đã cho

$<=>2x^2+16x+18+x^2-1+2\sqrt{(2x^2+16x+18)(x^2-1)}=(2x+4)^2$

$<=>x^2-1-2\sqrt{(2x^2+16x+18)(x^2-1)}=0<=>\sqrt{x^2-1}(\sqrt{x^2-1}-2\sqrt{2x^2+16x+18})=0<=>...$




#716173 Giai phuong trinh

Gửi bởi Frosty Flame trong 30-09-2018 - 21:38

3, $(x+1)\sqrt{x+8}=x^2+x+4$

ĐKXĐ: $x\geq -8$

Vì $(x+1)\sqrt{x+8}=x^2+x+4>0=>x+1>0<=>x>-1$

Pt đã cho

$<=>(x+1)^2(x+8)=(x^2+x+4)^2<=>...<=>(x-1)(x^3+2x^2+x-8)=0$

$<=>x=1 hoặc x^3+2x^2+x-8=0$

Xét $x^3+2x^2+x-8=0$

Đặt $x=t-\frac{3}{2}(t-\frac{3}{2}>1<=>t> \frac{-1}{3})$

Thay vào

$=>...<=>27t^3-9t=218$

Đặt $3t=y(t>\frac{-1}{3}<=>y>-1)$

$=>y^3-3y=218

$+)$Xét $-1y<2=>y^3-3y=(y-2)(y+1)^2+2<2<218 ( Loại )$

$+)$Xét $y\geq 2$

Lúc này, ta có thể đặt $y=a+\frac{1}{a}(a>0)$

Thay vào

$=>(a+\frac{1}{a})^3-3(a+\frac{1}{a})=0<=>a^3+\frac{1}{a^3}=218$

$<=>a^6-218a^3+1=0$

$<=>...<=>a^3=109\pm 6\sqrt{330}$

$<=>a=\sqrt[3]{109\pm 6\sqrt{330}}$

$<=>...<=>x=\frac{\sqrt[3]{109-6\sqrt{330}}+\sqrt[3]{109+6\sqrt{330}}-2}{3}$

Thử lại thấy thỏa mãn.

Vậy$,...$




#716172 $2^{x}=x+1$

Gửi bởi Frosty Flame trong 30-09-2018 - 21:28

$2^{x}=x+1$

Áp dụng BĐT Bernoulli

$=>2^x=(1+1)^x\geq 1+x.1 \forall x \in \mathbb{N}$

Dấu $"="$ phải xảy ra

$=>x=0;x=1$




#715633 Giải phương trình $\sqrt{x-\frac{1}{x...

Gửi bởi Frosty Flame trong 16-09-2018 - 21:39

$\sqrt{x-\frac{1}{x}}+5\sqrt{1-\frac{1}{x}}+2=3x+\frac{2}{x}$

ĐKXĐ: $x\geq 1$

Pt đã cho

$<=>\sqrt{x^3-x}+5\sqrt{x^2-x}=3x^2-2x+2>0(Vì x\geq 1>0)$

$<=>x^3-x+10\sqrt{(x^3-x)(x^2-x)}+25(x^2-x)=(3x^2-2x+2)^2$

$<=>9x^4-13x^3-9x^2+18x+4-10\sqrt{(x^3-x)(x^2-x)}=0$

$<=>9(x^2-x-1)^2+5[(x^3-x)-2\sqrt{(x^3-x)(x^2-x)}]=0$

$<=>9(x^2-x+1)^2+5(x-1)\frac{(x^2+x+1)^2-4x^2(x+1)}{x^2+x+1+2x\sqrt{x+1}}=0$

$<=>(x^2-x-1)^2[9+\frac{5(x-1)}{x^2+x+1+2x\sqrt{x+1}}]=0$

$<=>x^2-x-1=0(Vì 9+\frac{5(x-1)}{x^2+x+1+2x\sqrt{x+1}}>0 do x\geq 1 )$

$<=>x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}(Vì \frac{1-\sqrt{5}}{2}<1\leq x)$

Vậy$, ...$

$-----------------------------------$

P/s: Nếu mấy bài phương trình bạn đã đăng mà bạn đã có cách giải thì bạn đăng lên luôn hộ mình nhé.




#715569 Chứng minh rằng nếu $2^{m}+1\vdots2^{n}+1$...

Gửi bởi Frosty Flame trong 15-09-2018 - 16:40

Chứng minh rằng nếu $2^{m}+1\vdots2^{n}+1$ thì $m\vdots n$

Đặt $m=k.n+r(k,r\in\mathbb{N};0\leq r <n)$

$=>2^m+1=2^{k.n+r}+1=2^r(2^{k.n}+1)-(2^r-1)\vdots2^n+1$

$<=>2^r-1\vdots2^n+1(Vì 2^{k.n}+1\vdots 2^n+1)$

Mà $\begin{vmatrix}2^r-1\end{vmatrix}<2^n+1(Do 0\leq r<n)$

$=>2^r-1=0<=>r=0<=>m\vdots n(ĐPCM)$




#715546 Giải phương trình $\sqrt[3]{x^3+12x+7}=\frac{3...

Gửi bởi Frosty Flame trong 14-09-2018 - 21:43

$\sqrt[3]{x^3+12x+7}=\frac{3}{2}\sqrt{x^2-3x-2}+x+1$

ĐKXĐ:...

$(x+1)-\sqrt[3]{x^3+12x+7}+\frac{3}{2}\sqrt{x^2-3x-2}=0$

$<=>\frac{x^2-3x-2}{(x+1)^2+(x+1)\sqrt[3]{x^3+12x+7}+\sqrt[3]{(x^3+12x+7)^2}}+\frac{3}{2}\sqrt{x^2-3x-2}=0$

$<=>\sqrt{x^2-3x-2}[\frac{1}{(x+1)^2+(x+1)\sqrt[3]{x^3+12x+7}+\sqrt[3]{(x^3+12x+7)^2}}+\frac{3}{2}]=0$

Vì $\frac{1}{(x+1)^2+(x+1)\sqrt[3]{x^3+12x+7}+\sqrt[3]{(x^3+12x+7)^2}}+\frac{3}{2}>0$

$=>x^2-3x-2=0<=>...$




#715518 Giải phương trình $3x^3+3x^2+1=\sqrt{1+4x}\sqrt[3]...

Gửi bởi Frosty Flame trong 13-09-2018 - 22:15

$3x^3+3x^2+1=\sqrt{1+4x}\sqrt[3]{1-6x}$

ĐKXĐ: $x\geq\frac{-1}{4}$

$+)$Xét $1-6x<0=>\sqrt{1+4x}\sqrt[3]{1-6x}<0<3x^3+3x^2+1(Loại)$

$+)$Xét $1-6x\geq0$

$=>\sqrt{1+4x}\sqrt[3]{1-6x}\leq\frac{6\sqrt[6]{(1+4x)(1+4x)(1+4x)\begin{vmatrix}1-6x\end{vmatrix}\begin{vmatrix}1-6x\end{vmatrix}.1}}{6}$

$<=>\sqrt{1+4x}\sqrt[3]{1-6x}\leq\frac{1+4x+1+4x+1+4x+1-6x+1-6x+1}{6}=1\leq3x^3+3x^2+1$((Theo BĐT Cô-si 6 số và $3x^3+3x^2>0$ do $x\geq\frac{-1}{4}$)

Vì dấu $"="$ phải xảy ra theo gt

$=>1+4x=1-6x=1<=>x=0(T/m)$

Vậy$, ...$




#715440 $Cho f(x)=\frac{x^{3}}{1-3x+3x^{2...

Gửi bởi Frosty Flame trong 11-09-2018 - 22:39

$Cho f(x)=\frac{x^{3}}{1-3x+3x^{2}}.Tính  giá  trị  của  biểu  thức A=f(\frac{1}{2012})+f(\frac{2}{2012})+...+ f(\frac{2010}{2012})+f(\frac{2011}{2012})$

$f(x)+f(1-x)=\frac{x^{3}}{1-3x+3x^{2}}+\frac{(1-x)^3}{1-3x+3x^{2}}=1=>...<=>A=1005+f(\frac{1006}{2012})=...$




#715360 $x\sqrt{3x+2}+\sqrt{4-x}=\sqrt{2...

Gửi bởi Frosty Flame trong 09-09-2018 - 21:47

$x\sqrt{3x+2}+\sqrt{4-x}=\sqrt{2(x^2+1)(x+3)}$

ĐKXĐ: $\frac{-3}{2}\leq x\leq 4$

Ta có:

$x\sqrt{3x+2}+\sqrt{4-x}=\sqrt{2(x^2+1)(x+3)}$

$=>x^2(3x+2)+(4-x)+2x\sqrt{(3x+2)(4-x)}=2(x^2+1)(x+3)$

$<=>2x\sqrt{(3x+2)(4-x)}=-x^3+4x^2+3x+2$

$=>4x^2(3x+2)(4-x)=(-x^3+4x^2+3x+2)^2$

$<=>x^6-8x^5+22x^4-20x^3-7x^2+12x+4=0$

$<=>(x-2)^2(x^2-2x-1)^2=0$

$<=>x=2;x=1+\sqrt{2};x=1-\sqrt{2}$

Thử lại$($Do ở trên có 2 dấu $"=>)$

$=>x=2;x=1+\sqrt{2}$ thỏa mãn, loai nghiệm $x=1-\sqrt{2}$

Vậy,...




#715358 Giải phương trình $x^2+2x+4=3\sqrt{x^3+3x}$

Gửi bởi Frosty Flame trong 09-09-2018 - 21:41

$x^2+2x+4=3\sqrt{x^3+3x}$

ĐKXĐ:......

Pt đã cho 

$<=>...<=>x^4-5x^3+12x^2-11x+16=0<=>...<=>x^2(x-\frac{5}{2})^2+(\frac{11x}{8}+4)^2+\frac{247}{64}x^2>0\forall x\in \mathbb{R}$

$<=>$Pt vô nghiệm.




#715357 $8x^2+\frac{1}{x}=\frac{5}{...

Gửi bởi Frosty Flame trong 09-09-2018 - 21:38

$8x^2+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}$

ĐKXĐ: $x\neq0$

+)Xét $x>0$

$=>8x^2+\frac{1}{x}=8x^2+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}\geq3\sqrt[3]{8x^2.\frac{1}{2x}.\frac{1}{2x}}>\frac{5}{2}($Vô nghiệm$)$

+)Xét $\frac{-1}{2}\leq x< 0$

$=>8x^2+\frac{1}{x}<8(\frac{1}{2})^2<\frac{5}{2}($Vô nghiệm$)$

+)Xét $\frac{-1}{2}>x$

$=>x< \frac{-\sqrt{15}}{12}$

$=>$ Ta có thể đặt $x=\frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{5a}{3})(a\in \mathbb{R})$

Thay vào pt ban đầu

$=>16x^3-5x=-2<=>...<=>\frac{1}{4}(\frac{1}{a^3}+\frac{125a^3}{27})=-2$

$<=>...<=>a=\frac{\sqrt[3]{-108+\pm\sqrt{8289}}}{5}$

$<=>...<=>x=\frac{5}{12}(\sqrt[3]{-108+\sqrt{8289}}+\sqrt[3]{-108-\sqrt{8289}})$

Thử lại thấy t/m.

Vậy,...




#715355 So sánh M và N biết $M=(2012^{2012}+2013^{2012})^...

Gửi bởi Frosty Flame trong 09-09-2018 - 21:26

 

So sánh M và N biết $M=(2012^{2012}+2013^{2012})^{2013}$ và $N=(2012^{2013}+2013^{2013})^{2012}$

 

$M=(2012^{2012}+2013^{2012})^{2013}=2013^{2012.2013}[(\frac{2012}{2013})^{2012}+1]^{2013}>2013^{2012.2013}[(\frac{2012}{2013})^{2013}+1]^{2012}=N$




#715316 Chứng minh rằng

Gửi bởi Frosty Flame trong 08-09-2018 - 16:16

cho x,y,z là 3 số dương x+y+z$\leq 1$

cm$\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\geq \sqrt{82}$

Áp dụng BĐT Bunyakovsky, ta có:

$(x^2+\frac{1}{x^2})(1^2+9^2)\geq (x.1+\frac{1}{x}.9)^2$

$<=>\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\geq\frac{x+\frac{9}{x}}{\sqrt{1+81}}=\frac{x+\frac{9}{x}}{\sqrt{82}}$

CMTT

$=>\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\geq\frac{y+\frac{9}{y}}{\sqrt{82}} ;\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\geq\frac{z+\frac{9}{z}}{\sqrt{82}}$

$<=>\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}$

$\geq\frac{1}{\sqrt{82}}[(x+\frac{1}{9x})+(y+\frac{1}{9y})+(z+\frac{1}{9z})+\frac{80}{9}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})]$

$\geq\frac{1}{\sqrt{82}}(2\sqrt{x.\frac{1}{9x}}+2\sqrt{y.\frac{1}{9y}}+2\sqrt{z.\frac{1}{9z}}+\frac{80}{9}\frac{9}{x+y+z})($Do $a+b\geq2\sqrt{ab};\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq\frac{9}{a+b+c}\forall a,b,c>0)$ 

$\geq\frac{1}{\sqrt{82}}(\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{80}{1})($Do $x+y+z\leq 1$ theo gt $)$

$=\sqrt{82}=>$ĐPCM

Dấu $"="$ xảy ra $<=>...<=>x=y=z=\frac{1}{3}$






  1. Diễn đàn Toán học
  2. → Đang xem trang cá nhân: Likes: Frosty Flame