BaNam

Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix} 4x^{2}+2xy-2y^{2}+5y-x=3 & \\ 2x^{2}-5xy+2y^{2}+3x=10 & \end{matrix}\right.$

Xét phương trình $^{(1)}$ $\Rightarrow$ $4x^{2}+x(2y-1)-2y^{2}+5y-3=0$ 
$\Leftrightarrow$ $2x(x+y-1)+2(x-y)(x+y-1) +3(x+y-1)=0$

$\Leftrightarrow$ $(x+y-1)(4x-2y+3)=0$

$\Rightarrow$ $\left [\begin{array}{ll} x+y-1=0 \\ 4x-2y+3=0 \end{array}\right.$ 
$+)$ $TH1$: $\Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix} x+y=1 \\ 2x^{2}-5xy+2y^{2}+3x=10 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} y=1-x \\ (2x-y)(x-2y) +3x=10 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} y=1-x \\ (3x-1)(3x-2)+3x-10=0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} y=1-x \\ 9x^{2} -6x-8=0 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} y=1-x \\ \left [\begin{array}{ll} x=\frac{4}{3} \\ x=-\frac{2}{3} \end{array}\right. \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow$ $\left [\begin{array}{ll} \left\{\begin{matrix} x=\frac{4}{3} \\ y=-\frac{1}{3} \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=-\frac{2}{3} \\ y=\frac{5}{3} \end{matrix}\right. \end{array}\right.$

$+)$ $TH2$: $\Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix} 4x-2y+3=0 \\ 2x^{2}-5xy+2y^{2}+3x=10 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} 2y=4x+3 \\ 4x^{2}-10xy+4y^{2}+6x=20  \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} 2y=4x+3 \\ 4x^{2}-5x(4x+3)+(4x+3)^{2}+6x=20  \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} 2y=4x+3 \\ 15x=11  \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} y=\frac{89}{30} \\ x=\frac{11}{15}  \end{matrix}\right.$

$\leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} 2x^{2}+2xy-2y^{2}+6y+8=0 \\ x^{2}+2xy-2y^{2}+11x+6y-2=0 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ $x^{2}-11x+10=0$
$\Rightarrow$ $\left [\begin{array}{ll} x=1 \\ x=10 \end{array}\right. \rightarrow \left [\begin{array} y^{2}-4y-4=0 \\ y^{2}-13y-104=0 \end{array}\right.$
$\Rightarrow$ $\left [\begin{array}{ll} \left\{\begin{matrix} x=1 \\ y=2 \pm 2\sqrt{2} \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x=10 \\ y=\frac{13 \pm 3\sqrt{65}}{2} \end{matrix}\right. \end{array}\right.$

  Sau nhiều năm quay lại diễn đàn. Thấy diễn đàn bây giờ đi xuống đến mức không ngờ, không còn hoạt động sôi nổi hào hứng như thời điểm những năm trở về trước. Quá khứ huy hoàng diễn đàn những năm mà tối vào bất cứ thời điểm nào thì cũng hơn 50 người online thường trực đầy đủ từ Quản trị, Phó quản trị, ĐHV Olympic, ĐHV THPT, ĐHV THCS, BTV và biết bao thành viên nhiệt huyết học tập chưa nói đến những vị khách lãng qua. Những bài toán, những phương hướng học tập, nghiên cứu... được mọi người đối đáp thảo luận sôi nổi nhiệt tình. Rồi những cuộc thi mà tại đó những đề thi hay, đầy tính sáng tạo được các BQT chọn lọc từ chính các ứng viên. Thúc đẩy khả năng sáng tạo đề thi, tìm tòi những vấn đề mới trong toán học mà trên trường cũng như thầy cô không có đủ thời gian để truyền dạy cho các học sinh. 
 Nhưng bây giờ vì sao diễn đàn đi xuống??? Hầu như hiện nay những người online trên diễn đàn đều chỉ là những học sinh THCS nơi mà thi lên C3 là hình thức tự luận.Phải chăng do quá trình cải cách của BGD chuyển hướng từ tự luận sang trắc nghiệm khi thi đại học mà diễn đàn VMF bây giờ không còn phải là nơi hỏi đáp trao đổi toán học tốt nhất cho những học sinh THPT??? 
 Vậy làm sao để có thể vực dậy diễn đàn VMF ????

Mong mọi người cho em ý kiến về chủ đề này để có thể chung tay tìm ra phương pháp vực dậy diễn đàn nếu không thì chí ít cũng có thể rút ra bài học.
(Hành văn em lủng củng mong mn thông cảm cũng bởi vì không thấy ai bàn luận về vấn đề này nên dù dốt nát nhưng cũng mạnh bạo nêu vấn đề.)  
 

Soạn thảo lại đề: 
$1$:  $\frac{\sqrt{3}}{\cos x} +\frac{1}{\sin x} =8 \sin x$
$2$:  $2\cos^{3}x+\cos 2x +\sin x=0 $
$3$:  $\sqrt{2}.(\sin x- \cos x).(1+2\sin 2x)=\sqrt{3}$
$4$:  $2\sin^{3} x+\sin 2x+\cos x =0$ 
Giải: 
$2$: $2\cos^{3}x+2\cos^{2}x+\sin x -1=0$
 $\leftrightarrow$ $2\cos^{2}x(1+\cos x)+\sin x-1=0$
 $\Leftrightarrow$ $2(1-\sin^{2} x)(1+\cos x) +\sin x -1=0$

 $\Leftrightarrow$ $2(1-\sin x)(1+\sin x)(1+\cos x) +\sin x -1=0$

 $\Rightarrow$ $\left[ \begin{array}{ll} 1-\sin x=0 \\ 2(1+\sin x)(1+\cos x)-1=0 \end{array}\right.$
 $\Rightarrow$ $\left[ \begin{array}{ll} x=\frac{\pi}{2}+k2\pi \\ 2\sin x.\cos x+2(\sin x+ \cos x)+1=0 ^{(1)} \end{array}\right.$

$(1)$ $\Rightarrow$ Đặt $a=\sin x+\cos x=\sqrt{2}(\sin (x-\frac{\pi}{4}) (-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2})$ ;
  $b=\cos x. \sin x=\frac{1}{2}.\sin 2x$ $(-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2})$
$\Rightarrow$ $a^{2}=1+2\sin x.\cos x=1+2b$

$\Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix} 2a+2b+1=0 \\ a^{2}=1+2b \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow$ $a^{2}+2a=0$ $\rightarrow$ $a=0$ 

$\Rightarrow$ $x=\frac{\pi}{4}+k\pi$

 Phương trình có 2 họ nghiệm: $x=\frac{\pi}{2}+k2\pi$ ; $x=\frac{\pi}{4}+k\pi$

Xét $y=-1$ không phải là nghiệm của hệ
Xét $y\neq-1$ $\Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix} x=\frac{3y-1}{y+1} \\ x^{2}y^{2}+1=2y^{2} \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow$ $(\frac{3y-1}{y+1})^{2}y^{2}+1=2y^{2}$
$\Leftrightarrow$ $(9y^{2}-6y+1)y^{2}=(2y^{2}-1)(y^{2}+2y+1)$
$\Leftrightarrow$ $9y^{4}-6y^{3}+y^{2}=2y^{4}+4y^{3}+y^{2}-2y-1$
$\Leftrightarrow$ $7y^{4}-10y^{3}+2y+1=0$
$\Leftrightarrow$ $(y-1)^{2}.(7y^{2}+4y+1)=0$
$\Rightarrow$ $y=1$ (vì $7y^{2}+4y+1>0  \forall x$ ) $\Rightarrow$ $x=1$
Hệ có 1 cặp nghiệm $(x;y)$ duy nhất là: $(1;1)$
 

3) $\left\{\begin{matrix} 1 + x^{3}y^{3} = 19x^{3} \\ y + xy^{2} = -6x^{2} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow$ $ \left\{\begin{matrix} (1+xy)[(xy)^{2}-xy+1]=\frac{19x}{6}.(6x^{2}) \\ y(1+xy)=-6x^{2} \end{matrix}\right. $

$\Rightarrow$ $(1+xy)[(xy)^{2}-xy+1]=-\frac{19x}{6}.y(1+xy)$
$\Rightarrow$ $(1+xy)[(xy)^{2}-xy+1+\frac{19xy}{6}]=0$
$\Rightarrow$ $\left[ \begin{array}{ll} (xy)^{2}-xy+1+\frac{19xy}{6}=0 \\ 1+xy=0\end{array} \right.$

$TH1$: $6[(xy)^{2}-xy+1]+19xy=0$
$\Rightarrow$ $6(xy)^{2}+13xy+6=0$ 
$\Rightarrow$ $\left[ \begin{array}{ll}
xy=-\frac{2}{3} \Rightarrow x=\frac{1}{3};y=-2\\
xy=-\frac{3}{2} \Rightarrow x=-\frac{1}{2};y=3
\end{array} \right.$
$TH2$: $xy+1=0$ $\Rightarrow$ $19x^{3}=0$ $\Rightarrow$ $x=0$ (Vô lý)

Vậy hệ có 2 cặp nghiệm $(x;y)$ là $(\frac{1}{3};-2)$ $(-\frac{1}{2};3)$

2) $\left\{\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + \frac{2xy}{x+y} = 1 \\ \sqrt{x+y} = x^{2} - y \end{matrix}\right.$

Đk: $x+y>0$
Xét: $x^{2}+y^{2}+\frac{2xy}{x+y}=1$

$\Leftrightarrow$ $(x+y)^{2}-2xy+\frac{2xy}{x+y}-1=0$
$\Leftrightarrow$ $(x+y-1)(x+y+1)-2xy(1-\frac{1}{x+y})=0$
$\Leftrightarrow$ $(x+y-1)(x+y+1)-2xy\frac{x+y-1}{x+y}=0$
$\Rightarrow$$\left[ \begin{array}{ll} x+y-1=0 \color{red}{(1)}\\x+y+1-\frac{2xy}{x+y}=0  \color{red}{(2)}\end{array} \right.$

$1$ $\Rightarrow$ Thế vào: $\sqrt{x+y}=x^{2}-y$ ta được:

Giải các hệ phương trình sau:

1) $\left\{\begin{matrix} x^{2} + xy + 2y = 2y^{2} + 2x \\ y\sqrt{x-y+1} + x = 2  \end{matrix}\right.$

$x^{2}+xy+2y=2y^{2}+2x$
$\Leftrightarrow$ $(x^{2}+xy-y^{2})-2(x-y)=0$
$\Leftrightarrow$ $(x-y)(x+2y)-2(x-y)=0$
$\Leftrightarrow$ $(x-y)(x+2y-2)=0$
$+)$TH1: $x=y$ Thế vào $y\sqrt{x-y+1}+x=2$ ta được 

     $x+x=2$ $\Rightarrow$ $x=y=1$
$+)$ TH2: $x=2-2y$ Thế vào $y\sqrt{x-y+1}+x=2$  ta được:

  $y\sqrt{3-3y}+2-2y=2$
  $\Leftrightarrow$ $y\sqrt{3-3y}-2y=0$
  $\Rightarrow$ $y=0$ $\Rightarrow$ $x=2$

hoặc $\sqrt{3-3y}=2$ $\Rightarrow$ $y=-\frac{1}{3}$; $x=\frac{8}{3}$
Hệ phương trình có 3 nghiệm $(x;y)$ là $(1;1)$ $(2;0)$ $(\frac{8}{3};-\frac{1}{3})$
 

1. Tính $A=1.1!+2.2!+3.3!+...+n.n!$

Xét $a.a!$$=$$(a+1-1)a!$=$(a+1)!-a!$
$\Rightarrow$ $A=2!-1!+3!-2!+4!-3!+....+(n+1)!-n!$
$\Leftrightarrow$ $A=(n+1)!-1$
 

Ta có $(d)$:$y=ax+b$ với $a\neq0$ đi qua $I(0;-3)$ $\Rightarrow$ $b=-3$

$\Rightarrow$ $(d)$: $y=ax-3$
Gọi H là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow$ $OH\perp AB$ tại H.
$\Rightarrow$ $OH=\sqrt{OA^{2}-HA^{2}}=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{5}$
$IH$=$d(I;(d))$=$\frac{\left | -3 \right |}{\sqrt{a^{2}+1^{2}}}$ = $\frac{3}{\sqrt{a^{2}+1}}$=$\sqrt{5}$
$\Rightarrow$ $\sqrt{a^{2}+1}=\frac{3}{\sqrt{5}}$
$\Rightarrow$ $a^{2}=\frac{4}{5}$
$\Rightarrow$ $a=\frac{\pm 2}{\sqrt{5}}$

Lần sau chú ý sửa lại đề nha.
Đề: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm GTNN:
$A$=$\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{2c+a+b}}+\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}+\frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2b+a+c}}$

Giải:
$\Rightarrow$ $A=\frac{a^{2}}{\sqrt{2ac+a^{2}+ba}}$+$\frac{b^{2}}{\sqrt{2ab+b^{2}+bc}}$+$\frac{c^{2}}{\sqrt{2bc+ac+c^{2}}}$
Ta có: 
$A=\frac{a^{2}}{\sqrt{2ac+a^{2}+ba}}$+$\frac{b^{2}}{\sqrt{2ab+b^{2}+bc}}$+$\frac{c^{2}}{\sqrt{2bc+ac+c^{2}}}$ $\geq$ $\frac{(a+b+c)^{2}}{\sqrt{2ac+a^{2}+ab}+\sqrt{2ab+b^{2}+bc}+\sqrt{2bc+ac+c^{2}}}$
Xét: $(\sqrt{2ac+a^{2}+ab}+\sqrt{2ab+b^{2}+bc}+\sqrt{2bc+ac+c^{2}})^{2}$ $\leq$ $3.[(\sqrt{2ac+a^{2}+ab})^{2}+(\sqrt{2ab+b^{2}+bc})^{2}+(\sqrt{2bc+ac+c^{2}})^{2}]$
$=$ $3(a^{2}+b^{2}+c^{2}+3ab+3bc+3ca)$ $=$ $3[(a+b+c)^{2}+ab+bc+ca]$ 
$ab+bc+ca$ $\leq$ $\frac{(a+b+c)^{2}}{3}$ $=3$ ( Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$)
$\Rightarrow$ $(\sqrt{2ac+a^{2}+ab}+\sqrt{2ab+b^{2}+bc}+\sqrt{2bc+ac+c^{2}})^{2}$ $\leq$ $36$
$\Rightarrow$ $\sqrt{2ac+a^{2}+ab}+\sqrt{2ab+b^{2}+bc}+\sqrt{2bc+ac+c^{2}}$ $\leq$ $6$
$\Rightarrow$ $\frac{1}{\sqrt{2ac+a^{2}+ab}+\sqrt{2ab+b^{2}+bc}+\sqrt{2bc+ac+c^{2}}}$ $\geq$ $\frac{1}{6}$
$\Rightarrow$ $A$ $\geq$ $\frac{9}{6}$ $=$ $\frac{3}{2}$
Min$(A)$=$\frac{3}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Tìm các số tự nhiên a,b,c,d,e,f sao cho số abcdef, bcdef, cdef, def, ef đều là các số chính phương

$x,y,z,t,u$ $\in$ $\mathbb{N}$
Vì $abcdef$,$bcdef$, $cdef$,$def$, $ef$ là các số chính phương nên ta giả sử
$-)$$ef=x^{2}$ 
$-)$$def=y^{2}$ $\Rightarrow$$dx^{2}=y^{2}$ $\Rightarrow$ $d=\frac{y^{2}}{x^{2}}$ 
     $\Leftrightarrow$ $d=(\frac{y}{x})^{2}$
      Vì $d\in$$\mathbb{N}$ $\Rightarrow$ $y\vdots$$x$ $\Rightarrow$ $d$ là số chính phương
$-)$$cdef=z^{2}$
     Chứng minh tương tự: $c=(\frac{z}{y})^{2}$; $z\vdots$$y$$\Rightarrow$ $c$ là số chính phương

$-)$$bcdef=t^{2}$
     Chứng minh tương tự: $b=(\frac{t}{z})^{2}$; $t$$\vdots$$z$ $\Rightarrow$ $b$ là số chính phương
$-)$ $abcdef=u^{2}$
     Chứng minh tương tự: $a=(\frac{u}{t})^{2}$; $u$$\vdots$$t$$\Rightarrow$ $a$ là số chính phương
+) Tìm $e$,$f$. $ef$=$x^{2}$ Có 3TH
    $-)$ $e$,$f$ đều là số chính phương
    $-)$ $e$=$f$
    $-)$ $e=\alpha.\beta^{2}$ ; $f=\alpha$ ($\alpha$,$\beta$ $\in$ $\mathbb{N}$)
    

    

Giải phương trình $x=\sqrt{x-\frac{1}{x}} + \sqrt{1-\frac{1}{x}}$

ĐK: $x\neq0$
$\Rightarrow$$x\sqrt{x}=\sqrt{x^{2}-1}+\sqrt{x-1}$
$\Leftrightarrow$$x^{3}=x^{2}+x-2+2(x-1)\sqrt{x+1}$
$\Leftrightarrow$$x^{3}-x^{2}-x+2=2(x-1)\sqrt{x+1}$
$\Rightarrow$$[(x^{3}-x^{2})-(x-2)]^{2}=4(x^{2}-2x+1)(x+1)$ (Đk để bình phương 2 vế: $x^{3}-x^{2}-x+2\geq0$)
$\Leftrightarrow$ $(x^{3}-x^{2})^{2}-2(x^{3}-x^{2})+(x-2)^{2}=4(x^{2}-2x+1)(x+1)$
$\Leftrightarrow$ $x^{6}-4x^{5}+x^{4}-2x^{4}+6x^{3}-4x^{2}+x^{2}-4x+4=4(x^{3}-x^{2}+1$
$\Leftrightarrow$ $x^{6}-2x^{5}-x^{4}+6x^{3}-3x^{2}-4x+4=4x^{3}-4x^{2}-4x+4$
$\Leftrightarrow$ $x^{6}-2x^{5}-x^{4}+2x^{3}+x^{2}=0$
$\Leftrightarrow$ $x^{4}-2x^{3}-x^{2}+2x+1=0$ $(*)$ (Vì $x\geq0$)
Chia cả 2 vế của $(*)$ cho $x^{2}$ ta được
$\Rightarrow$ $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2(x-\frac{1}{x})-1=0$
Đặt $x-\frac{1}{x}=a$ $\Rightarrow$ $a^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2$
$\Rightarrow$ $a^{2}+2-2a-1=0$

$\Leftrightarrow$ $(a^{2}-2a+1=0$
$\Leftrightarrow$ $a=1$
$\Rightarrow$ $x-\sqrt{1}{x}=1$
$\Leftrightarrow$ $x^{2}-x-1=0$
$\Rightarrow$ $x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$
Mà $x\geq1$ $\Rightarrow$ $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Cho 2 số thực x,y thoả mãn $x^2+y^2-3(x+y)+4=0$. Tính Min,max của S=x+y

Ta có $ x^{2}+y^{2}$ $\geq$ $\frac{(x+y)^{2}}{2}$ (Đẳng thức xảy ra khi $x=y$)
$\Rightarrow$ $x^{2}+y^{2}-3(x+y)=4$ $\geq$ $\frac{(x+y)^{2}}{2}-3(x+y)+4$
$\Leftrightarrow$ $\frac{(x+y)^{2}}{2}-3(x+y)+4$ $\leq$ $0$
$\Leftrightarrow$ $(x+y)^{2}-6(x+y)+8$ $\leq$ $0$
$\Leftrightarrow$ $(x+y-2)(x+y-4)$ $\leq$ $0$
$\Leftrightarrow$ $2$$\leq$ x+y$\leq$ $4$
Min$(x+y)$$=2$ (Đẳng thức xảy ra $x=y=1$)
Max$(x+y)$$=4$ (Đẳng thức xảy ra khi $x=y=2$)
 

K nhân chéo quy đồng ở bước đầu mà bạn :v

Đây là một bài mình tự nghĩ ra, mọi người xem và góp ý ạ =)) ( bài dễ lắm nên đừng ai mắng em ạ =)) )

Cho $xy=1$ và $\frac{x+9y}{3x+y}=\frac{x-7y}{x-y}$

Tính giá trị của $A=x^2+y^2$

 p/s : không sử dụng nhân chéo ngay ở bước đầu ( nếu sau vài bước biến đổi vẫn có thể dùng nhân chéo )

Mình không sử dụng nhân chéo nhé. :v 
M sử dụng quy đồng.
Và cái sau khi biến đổi vài bước vẫn được phép sử dụng??? Vậy sau vài bước là như thế nào? 
Nếu chỉ tách 2 vế thành 2 hằng số rồi triệt tiêu rồi sau đó lại sử dụng nhân chéo. 
Như vậy có phải đi lòng vòng rồi về lại địa điểm cũ dùng phương pháp cũng không???