Marshmello

Đề hình như phải cho ĐK : a > b > 0 

 Ta có : $\sqrt{a^2-b^2} + \sqrt{2ab-b^2} > a$

 $\Leftrightarrow$ $(\sqrt{a^2-b^2} + \sqrt{2ab-b^2})^2 > a^2$

$\Leftrightarrow a^2 - 2b^2 + 2ab + 2\sqrt{(a^2-b^2)(2ab-b^2)} > a^2$

$\Leftrightarrow 2b(a-b) + 2\sqrt{(a^2-b^2)(2ab-b^2)} > 0$ 

( đúng với mọi a > b > 0 )

=> BĐT được c/m 

Với a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

$P=\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}-\frac{1}{1+c^2}$

Do ab + bc + ac = 1 => (a+b)c = 1 - ab

=> c = 1-ab/a+b

=> c^2 + 1 = (a^2+1)(b^2+1)/(a+b)^2

=> 1/c^2+1 =  (a+b)^2/(a^2+1)(b^2+1)

Có : a/a^2+1  + b/b^2+1  - 1/c^2+1

= a/a^2+1  + b/b^2+1  -  (a+b)^2/(a^2+1)(b^2+1)

= a(b^2+1) + b(a^2+1) - (a+b)^2 / (a^2+1)(b^2+1)

= ab^2 + a + ba^2 + b - (a+b)^2 / (a^2+1)(b^2+1)

= (ab+1)(a+b) - (a+b)^2 / (a^2+1)(b^2+1)

= (a-1)(b-1)(a+b)/(a^2+1)(b^2+1)

Áp dụng BĐT Cô - si , ta có : 

(a-1)(b-1)(a+b) $\leq \frac{[(a-1)(b-1)+a+b]^2}{4} = \frac{(ab+1)^2}{4}$

(a^2+1)(b^2+1) $\geq (ab+1)^2$

$\Rightarrow P $\leq$\frac{1}{4}$

Cho x,t là hai số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$P=\frac{x+y}{\sqrt{x\left ( 2x+y \right )}+\sqrt{y\left ( 2y+x \right )}}$

Giải giúp mình bài này với

 

 

Admin: Bạn chú ý cách đặt tiêu đề nhé!

Với x ; y dương ,  áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số dương , ta có : 

$\sqrt{3x(2x+y)} \leq \frac{3x+2x+y}{2} = \frac{5x+y}{2} \Rightarrow \sqrt{x(2x+y)} \leq \frac{5x+y}{2\sqrt{3}}$

Tương tự : $\sqrt{y(2y+x)} \leq \frac{5y+x}{2\sqrt{3}}$ 

=> $\sqrt{x(2x+y)} + \sqrt{y(2y+x)} \leq \frac{6x+6y}{2\sqrt{3}}$

$\Rightarrow P \geq \frac{x+y}{\frac{6x+6y}{2\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Dấu " = " xảy ra <=> x = y 

Cop được : 

\int \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{\ (a+b)^{2}}=\left  |\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b} \right |

Ta có : $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{(a+b)^2}$

$= \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{(a+b)^2} + \frac{2}{ab} -\frac{2}{b(a+b)} - \frac{2}{a(a+b)} - (\frac{2}{ab} - \frac{2}{b(a+b) } - \frac{2}{a(a+b)})$

$= (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{1}{a+b})^2 - 2 . 0$

$= (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{1}{a+b})^2$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{(a+b)^2} } = \left | \frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{1}{a+b} \right |$