Đến nội dung

DBS

DBS

Đăng ký: 21-01-2019
Offline Đăng nhập: Riêng tư
*****

Trong chủ đề: $P_{max}=sinA+sinB-cosC$

19-12-2021 - 08:45

$P=\sin A+\sin B-\cos C =\sin A+\sin B+\cos(A+B)=\sin A+\sin B+\cos A\cos B-\sin A\sin B\leq \frac{2\sin A+2\sin B+\cos^2 A+\cos^2B-2\sin A\sin B}{2}=\frac{2(\sin A+\sin B)+2-(\sin A+\sin B)^2}{2}\leq \frac{3}{2}$.

Đẳng thức xảy ra khi $\angle A=\angle B=\frac{\pi}{6};\angle C=\frac{2\pi}{3}$.

Dạ cho mình hỏi là làm sao để chọn ra được điểm rơi như thế ạ?

Và có cách nào để tổng quát bài toán này lên được không ạ?


Trong chủ đề: $$abc+k\bigg[\big(a-b\big)^2+\big(b-c\...

05-12-2021 - 20:05

Dễ thấy $k\geq 0$ vì nếu $k<0$ thì ta chỉ cần chọn $a,b,c$ sao cho $abc+2<a+b+c$ thì ta có ngay điều vô lí.

Thay $a=0;b=c$ ta có $2kb^2+2\geq 2b,\forall b\geq 0$.

Cho $b=2$ thì $k\geq \frac{1}{4}$.

Ta sẽ chứng minh nếu $k=\frac{1}{4}$ thì bất đẳng thức đúng với mọi $a,b,c\geq 0$.

Đặt $f(a,b,c)=2abc+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+4-2(a+b+c)$.

Xét 2 trường hợp:

+) $a,b,c\geq 3$: Dễ dàng chứng minh được $abc+2\geq a+b+c$.

+) Tồn tại một số trong ba số $a,b,c$ nhỏ hơn 3: Giả sử $a\leq 3$.

Ta có $f(a,b,c)-f\left(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2}\right)=\frac{3}{2}(b-c)^2-\frac{a(b-c)^2}{2}\geq 0$.

Đặt $\frac{b+c}{2}=t$ thì ta chỉ cần chứng minh $f(a,t,t)\geq 0\Leftrightarrow t^2(2a+1)-t(a+2)+(a^2-2a+4)\geq 0$.

Xét VT là tam thức bậc hai đối với $t$. Ta có $\Delta' =-2a(a-1)^2\leq 0,\forall a\geq 0\Rightarrow t^2(2a+1)-2t(a+2)+(a^2-2a+4)\geq 0,\forall a,t\geq 0$.

Từ đó $f(a,b,c)\geq f(a,t,t)\geq 0$ nên bất đẳng thức đúng với $k=\frac{1}{4}$.

Vậy $k_{min}=\frac{1}{4}$.

Nếu mình nhìn không nhầm thì hình như bạn chưa chứng minh giá trị $k=\frac{1}{4}$ đó là nhỏ nhất đúng ko?


Trong chủ đề: $T=\frac{3(b+c)}{2a}+\frac{4a+3c...

26-08-2021 - 10:24

Mới nghĩ ra, không biết đúng không :<

$T=(\frac{3b+3c}{2a}+2)+(\frac{4a+3c}{3b}+1)+(\frac{12b-12c}{2a+3b}+8)-11=(4a+3b+3c)(\frac{1}{2a}+\frac{1}{3b}+\frac{4}{2a+3c})-11\geq (4a+3b+3c).\frac{16}{4a+3b+3c}-11=5$


Trong chủ đề: $x^2+y^2+z^2\geq2\sqrt2(x+y+z)$

06-08-2021 - 08:01

Với a,b,c là các số thực dương ta có:

$x= \frac{b-c}{a}$ 

$y= \frac{c-a}{b}$ 

$x= \frac{a-b}{c}$ 

Do đó x+y+z=0 

Mặt khác $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 0$ với mọi x,y,z

Suy ra đpcm (do vế phải của bất đẳng thức $\geq 0$

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=0

Thay vào suy ra a=b=c

Lời giải của bn có vẻ sai rồi nha


Trong chủ đề: \[a^{2}+ b^{2}= 1\Rightarrow\sqrt...

03-08-2021 - 09:42

Chúng ta có thể thấy ngay chọn $a,b<0$ và $a^2+b^2=1$ thì hiển nhiên $a+4b-2<0$ mà không cần dùng công cụ gì cả.

Nếu thế thì em nghĩ với mọi $a,b<0$ thì BĐT trên luôn đúng
Sau đó xét TH $a,b\geq 0$ rồi làm tương tự như trên kia :3