DBS

Cho các số dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq 1+(a^3+b^3+c^3-3abc)^2$$

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Tìm giá trị lớn nhất của:

$$P=\frac{bc}{\sqrt[4]{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt[4]{b^2+3}}+\frac{ab}{\sqrt[4]{c^2+3}}$$

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh bất đẳng thức sau:

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$$

Cho $\Delta ABC$ có $M$ là trung điểm $BC$. Trên các cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt lấy các điểm $E$ và $F$ sao cho $AE=AF$. Đường trung tuyến $AM$ và đường thẳng $EF$ cắt nhau tại $Q$. Chứng minh rằng: $\frac{QE}{QF}=\frac{AC}{AB}$.

Ai giải giúp em với ạ, khó quá ạ

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng:

$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+2\geq 2(a^2+b^2+c^2)+\sqrt{3}$$.

Ps: Em làm mãi mà chỉ chứng minh được $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+2\geq 3(a^2+b^2+c^2)+2\geq 2(a^2+b^2+c^2)+3$ thôi à, ko ra đáp án

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$T=\frac{a^4}{b^4(5-3\sqrt[3]{a})}+\frac{b^4}{c^4(5-3\sqrt[3]{b})}+\frac{c^4}{a^4(5-3\sqrt[3]{c})}$$.

1) Với các số thực dương $a,b,c$, tìm GTNN của biểu thức:

$$Q=\frac{1}{(a+b)^3}+\frac{1}{(b+c)^3}+\frac{1}{(c+a)^3}+\frac{(ab+bc+ca)^2}{32}$$.

2) Với các số thực dương $x,y,z$ thoả mãn $xyz=1$. Chứng minh rằng:

$$\frac{5(x+y+z)}{3}+\frac{x}{y^3+z^3+1}+\frac{y}{z^3+x^3+1}+\frac{z}{x^3+y^3+1}\geq 6$$.

Ps: Mới thêm đề

Vẽ đồ thị hàm số:

a) $y=[2x]-2[x]$

b) y={x}+{-x}

Ps: Mới vào lớp 10 mà thấy khổ quá

Giải phương trình sau: $2x^2-2x-3+(3x+2)\sqrt{2x-3}=0$.

Với $x,y$ là các số thực dương, tìm GTLN của biểu thức:

$$S=2(x+y)(\frac{1}{x^3+y}+\frac{1}{y^3+x})-(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})$$

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c\leq 3$. Tìm GTNN của biểu thức:

$$M=\frac{a^2+4a+1}{a^2+a}+\frac{b^2+4b+1}{b^2+b}+\frac{c^2+4c+1}{c^2+c}$$

Mới giải ra, không biết đúng ko

Giả sử hệ có nghiệm. Khi đó, từ $x^2+y^2=1\Rightarrow x^2,y^2 \leq 1$

$\Rightarrow |x|,|y|\leq 1 \Rightarrow |x|^5\leq|x|^2$

Do đó $|a|=|x^5-2y|=|x|^5+2|y|\leq |x|^2+|y|^2-(|y|^2-2|y|+1)=2-(|y|-1)^2\leq 2$

Suy ra $|a|\leq 2$ (vô lý).

Vậy ta có đpcm.

Chứng minh rằng nếu $|a|>2$ thì hệ phương trình sau vô nghiệm: $\left\{\begin{matrix} x^5-2y=a & \\ x^2+y^2=1 & \end{matrix}\right.$

đề k sai

Góc T của bạn có vuông đâu

Dùng phương tích là được

Vả lại M,N,T thẳng hàng

ko bạn ơi, đường thẳng $d$ đó đâu phải đi qua điểm $T$ đâu, nó chạy trên $OT$ thoả mãn đề bài mà???