Đến nội dung

DBS

DBS

Đăng ký: 21-01-2019
Offline Đăng nhập: Riêng tư
*****

#727724 $a+b^2+c^3-ab-bc-ca\leqslant 1$

Gửi bởi DBS trong 30-05-2021 - 09:37

Cho $a,b,c \in [0;1]$. Chứng minh:

$$a+b^2+c^3-ab-bc-ca\leqslant 1$$




#727721 $\min A= x+ y$ biết $x+ y + 2xy = 12$

Gửi bởi DBS trong 30-05-2021 - 08:28

Ta có: $24=2(x+y)+4xy\leqslant 2(x+y)+(x+y)^2\Rightarrow (x+y)^2+2(x+y)-24\geqslant0\Rightarrow x+y\geqslant 4$

Vậy $A_{Min}=4$




#727609 Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{1}{a^{2}+b...

Gửi bởi DBS trong 26-05-2021 - 16:31

Biến đổi gt kiểu gì v bạn  :icon6:

Nãy lười gõ $\LaTeX$ :)
$(gt) \Leftrightarrow (a+b)^3+6ab-3ab(a+b)-8\leqslant 0$

$\Leftrightarrow (a+b-2)(a^2+b^2+ab+2a+2b+4)\leqslant 0$

$\Leftrightarrow a+b\leqslant 2$ (vì $a,b>0$)




#727607 Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{1}{a^{2}+b...

Gửi bởi DBS trong 26-05-2021 - 16:15

cho a;b >0 và $a^{3}+b^{3}+6ab\leq 8$

Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{3}{ab}+ab$

Từ gt, dễ dàng biến đổi ra được: $a+b\leqslant 2$

Ta có: $P=(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab})+(\frac{2}{2ab}+ab)+\frac{3}{2ab}\geqslant \frac{4}{(a+b)^2}+2\sqrt{\frac{1}{ab}.ab}+\frac{6}{(a+b)^2}=\frac{9}{2}$

Vậy $P_{Min}=\frac{9}{2}$




#727602 $\sum \frac{a}{\sqrt{b^2+bc+c^2}...

Gửi bởi DBS trong 26-05-2021 - 14:10

Cho các số dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=ab+bc+ca$. Chứng minh rằng:

$$\frac{a}{\sqrt{b^2+bc+c^2}}+\frac{b}{\sqrt{c^2+ca+a^2}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+ab+b^2}}\geqslant \sqrt{a+b+c}$$




#727516 $\begin{cases} \sqrt{x^2+5}=y^2-\sqrt...

Gửi bởi DBS trong 23-05-2021 - 22:01

Giải hệ phương trình: $\begin{cases} \sqrt{x^2+5}=y^2-\sqrt{y-1} \\ \sqrt{y^2+5}=z^2-\sqrt{z-1} \\ \sqrt{z^2+5}=x^2-\sqrt{x-1} \end{cases}$

Ps: Sorry mọi người lại vì cái tiêu đề ạ, lại ko đủ ký tự :)




#727450 Tứ giác APKQ nội tiếp

Gửi bởi DBS trong 22-05-2021 - 15:12

Bài này sử dụng kiến thức hàng điểm điều hoà của lớp 10, vì vậy bạn nên post bài này sang box THPT nha!




#727447 $\left\{\begin{matrix} y^3=x^2-1 &...

Gửi bởi DBS trong 22-05-2021 - 15:07

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} y^3=x^2-1 & \\ x^3=(x+y)^2+2 & \end{matrix}\right.$




#727445 $\text{Min: }A=x^2+y^2+(2y+1)x+\frac{7}...

Gửi bởi DBS trong 22-05-2021 - 14:59

Cho $x,y>0$ thoả mãn $xy(x+y)=9y-7x$. Tìm GTNN của biểu thức: $A=x^2+y^2+(2y+1)x+\frac{7}{y}$.




#727185 $\sum \frac{a^2}{b} \geqslant 3$

Gửi bởi DBS trong 17-05-2021 - 20:15

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn: $a^4+b^4+c^4=3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \geqslant 3$$




#726861 $2x^2+5x+11=(x+7)\sqrt{2x^2+1}$

Gửi bởi DBS trong 12-05-2021 - 05:57

$\Leftrightarrow \sqrt{2x^2+1}=\frac{2x^2+5x+11}{x+7}$
$\Leftrightarrow \sqrt{2x^2+1}-(x+2)=\frac{2x^2+5x+11}{x+7}-(x+2)$
$\Leftrightarrow \frac{x^2-4x-3}{\sqrt{2x^2+1}+x+2}=\frac{x^2-4x-3}{x+7}$
$\sqrt{đến đây chắc dễ rồi}$

Tiếp theo mình giải thế này được ko nhỉ:

 

$(x^2-4x-3)(x+7)=(x^2-4x-3)(\sqrt{2x^2+1}+x+2)$

$(x^2-4x-3)[(\sqrt{2x^2+1}+x+2)-x-7]=0$

$\left[\begin{array}{l} x^2-4x-3=0 \\ \sqrt{2x^2+1}-5=0 \end{array}\right.$

Đến đây mình giải như bình thường.




#726853 $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y}(\sqrt{y}+1)=...

Gửi bởi DBS trong 11-05-2021 - 21:27

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y}(\sqrt{y}+1)=\sqrt{x^2+y^2}+2 & \\ x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=\frac{x^2+4y-4}{2} & \end{matrix}\right.$




#726852 $2x^2+5x+11=(x+7)\sqrt{2x^2+1}$

Gửi bởi DBS trong 11-05-2021 - 21:24

Giải phương trình: $2x^2+5x+11=(x+7)\sqrt{2x^2+1}$




#726826 $\textrm{Cho } x,y,z \textrm{ thỏa mãn }...

Gửi bởi DBS trong 10-05-2021 - 21:04

Đổi biến: $(x+1;y+1;z+4) \rightarrow (a;b;c) \Rightarrow a+b+c=6$

Ta có: $A=\frac{(a-1)(b-1)}{ab}+\frac{c-4}{c}=\frac{ab-a-b+1}{ab}+\frac{c-4}{c}=2-(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c})\leq 2-(\frac{4}{a+b}+\frac{4}{c})\leq 2-(\frac{16}{a+b+c})=-\frac{2}{3}$

$\Rightarrow MaxA=-\frac{2}{3}$ khi $\left\{\begin{matrix} a=b=\frac{3}{2} & \\ c=3 & \end{matrix}\right.$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=y=\frac{1}{2} & \\ z=-1 & \end{matrix}\right.$




#726711 $P=13\sqrt{\frac{1}{x}-\frac...

Gửi bởi DBS trong 09-05-2021 - 06:59

Tìm GTLN của: $P=13\sqrt{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}+9\sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}$.