DBS

bạn ơi đề có sai sót ở đâu không??

Đề không sai nha bạn, mình kiểm tra kỹ rồi, sợ người ra đề đưa đề sai thôi

Câu 2: Trích lời giải đề thi hsg lớp 12 sở GD-ĐT tỉnh Thái Nguyên năm học 2018-2019

Giải phương trình: $x^2=\sqrt{5x+1}+\sqrt{5-x}+12$.

Mọi người giúp em câu c của bài này với ạ!

Thế bạn gửi cho mình tham khảo với 

Ta có: $P=\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}\geq_{Minkowski} \sqrt{(1+1)^2+(a^2+b^2)^2}$

$(gt)\Rightarrow ab+a+b=\frac{5}{4}$

Lại có: $a^2+b^2\geq2ab (1)$

$\left\{\begin{matrix} 4a^2+1\geq4a & \\ 4b^2+1\geq4b & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 4(a^2+b^2)\geq 4(a+b)-2 \Rightarrow 2(a^2+b^2)\geq 2(a+b)-1 (2)$

Công $(1)$ và $(2)$ ta được:

$3(a^2+b^2)\geq2(ab+a+b)-1=\frac{3}{2}$

$\Rightarrow a^2+b^2\geq\frac{1}{2}$

$\Rightarrow P\geq\sqrt{(a^2+b^2)^2+4}\geq\sqrt{\frac{1}{4}+4}=\frac{\sqrt{17}}{2}$

Đổi biến: $(a,b,c) \rightarrow (xy,yz,zx)$

$\Rightarrow \frac{x-y}{z+y}+\frac{3y+z}{x+z}+\frac{2z-2y}{x+y}$

Đổi biến: $(m,n,p) \rightarrow (z+y,x+z,x+y) \Rightarrow 2x=n+p-m; 2y+m+p-n;2z=m+n-p$

$\Rightarrow P=\left ( \frac{n}{m}+\frac{2m}{n} \right )+\left ( \frac{p}{n}+\frac{2n}{p} \right )-4 \geq_{AM-GM}2\sqrt{\frac{n}{m}.\frac{2m}{n}}+2\sqrt{\frac{p}{n}.\frac{2n}{p}}-4=-4+4\sqrt{2}$

$\Rightarrow P_{min}=-4+4\sqrt{2}$ khi $(a,b,c)=(1,1+2\sqrt{2},-5+4\sqrt{2})$

Cho $a,b \in R$ thoả mãn $(1+a)(1+b)=\frac{9}{4}$. Tìm $GTNN$ của: $P=\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}$.

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a^2=2(b^2+c^2)$. Tìm $GTNN$ của biểu thức: $P= \sum \frac{a}{b+c}$.

Ps: Câu trên đều trích trong đề kiểm tra cuối học kì II LỚP 8 

Power of cumputer

Dùng chương trình gì vậy nhỉ, trước đây trước khi nhóm mình bị hỏng thì có 1 anh tên tthnew hay chia sẻ mấy tip về cách dùng cumputer để dùng S.O.S, mà giờ quên tên rồi

Ta có: $\frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{b^2-bc+c^2}+\frac{1}{c^2-ca+a^2} \geq \frac{3}{\sqrt[3]{(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)}}$.

Từ đó ta đưa về bài toán: Tìm Max: $P=(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)$.

Giả sử: $0 \leq a \leq b \leq c \leq 2$.

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a(a-b)\leq 0 & \\ b(b-c)\leq 0 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow\left\{\begin{matrix} 0\leq a^2-ab+b^2 \leq b^2 & \\ 0\leq a^2-ac+c^2 \leq c^2 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)\leq b^2c^2(b^2-bc+c^2)$

Từ $\left\{\begin{matrix} a+b+c=2 & \\ 0 \leq a \leq b \leq c \leq 2 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow b+c\leq a+b+c\leq 3$

$\Rightarrow b^2c^2(b^2-bc+c^2)=(bc).(bc).(b^2-bc+c^2) \leq \frac{(b^2+bc+c^2)^3}{27} {\color{Red} \leq \frac{3^3}{27}=1}$

$\Rightarrow \frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{b^2-bc+c^2}+\frac{1}{c^2-ca+a^2} \geq \frac{3}{\sqrt[3]{1}}=3$

Ps: Vị trí mình tô đỏ là chỗ mình chưa chứng minh được, bạn nào chứng minh được thì hãy gửi lời giải ạ!

Cho hai số thực $a,b$ thoả mãn: $(a+\sqrt{a^2+9})(b+\sqrt{b^2+9})=9$.

Tìm $GTNN$ của biểu thức: $M=2a^4-b^4+6ab+8a^2-10a-2b+2026$.

$\boxed{15}$ Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa $ab+bc+ca=11$. Chứng minh rằng 

$$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) \geq 100$$

Nhận thấy rằng: $100=10^2=(ab+bc+ca-1)^2$.

Vậy từ đó ta đưa về chứng minh bất đẳng thức sau: $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) \geq (ab+bc+ca-1)^2$.

Ta còn có được đẳng thức sau:

$(b^2+1)(c^2+1)=b^2c^2+b^2+c^2+1=(bc-1)^2+(b+c)^2$.

Từ đó, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)=(a^2+1)[(b+c)^2+(bc-1)^2] \geq [a(b+c)+(bc-1)]^2=(ab+bc+ca-1)^2$.

Chứng minh hoàn tất!

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $ab+bc+ca\leq abc$. Tìm $GTLN$ của biểu thức:

$P=\sum \frac{1}{\sqrt{4a^2+7b^2+6b+27}}$

Cho số tự nhiên $x$. Đổi chỗ các chữ số của $x$ theo một cách bất kì nào đó ta được $y$. Giả sử $|x-y|=\overset{\underbrace{2222.......22}}{\text{n chu so 2}}$. Tìm GTNN của $n$.

tìm min A=(x-y)   /   (x⁴+y⁴)+6

Ý của bạn đề có phải như thế này?
Tìm GTNN: $A=\frac{x-y}{x^4+y^4}+6$

Lần sau nhớ dùng Latex nhé!