Đến nội dung

Alexi Laiho

Alexi Laiho

Đăng ký: 03-12-2006
Offline Đăng nhập: 29-03-2010 - 11:39
***--

Trong chủ đề: Các tính chất số học của đa tạp đại số

02-01-2009 - 04:30

Cấu trúc Hodge trộn


1 cấu trúc Hodge trộn hữu tỉ được cho bởi 1 không gian vector trên trường hữu tỉ cùng với 2 dẫy lọc được gọi là lọc trọng và lọc Hodge. Trên thực tế dẫy lọc trọng của cấu trúc Hodge trộn relate very strong với trọng theo nghĩa Conjecture de Weil II của Deligne. Công cụ để làm việc trên trường hữu hạn thì có rất nhiều, rigid, cristalline, l-adic, algebraic De Rham cohomology. Tuy nhiên tôi sẽ chỉ chọn l-adic và DeRham như là realization. Infact thì cristalline chỉ work với smooth schemes. Original work của Deligne ở Hodge II thực tế chọn Betti và DeRham realization. Tuy nhiên chúng ta có thể phiên dịch ngôn ngữ giữa chúng không mấy khó khăn.

Ký hiệu $ F \in Gal(\overline{\mathbb{F}}_q/\mathbb{F}_q $ là geometric Frobenius tác động Galois-equivariant lên đối đồng điều giá compact $H^i_{c, et}(X \otimes_{\mathbb{F}_q} \overline{\mathbb{F}}_q, \mathbb{Q}_{\ell}) $. Kết quả của Deligne cho biết với mọi phép nhúng $\overline{\mathbb{Q}}_{\ell} \subset \mathbb{C}$ thì trị tuyệt đối của các giá trị riêng của toán tử Frobenius hình học lên đối đồng điều của lược đồ trơn xạ ảnh đều là $q^{i/2}$. Điều này dẫn tới lọc trọng in sense Weil conjecture, như là $W_p = \oplus_{i \leq p} V_i $, với $V_i$ là không gian vector con thỏa mãn tính chất nói trên.

Trên trường phức, ta có Hodge decomposition cho trường hợp đa tạp đại số xạ ảnh trơn (hoặc thậm chí Kähler) điều này dẫn tới cấu trúc Hodge thuần khiết (pure Hodge structure). Với đa tạp non-compact có singularities, Deligne đã chứng minh đối đồng điều của nó luôn sở hữu 1 cấu trúc Hodge trộn (mixed Hodge structure). Trên thực tế đây chính là spirit của mixed motives. Ta định nghĩa DeRham realization của 1 đa tạp như là Zariski hypercohomology của dẫy phức DeRham. Sử dụng giải kỳ dị (trên trường phức ta luôn có Hironaka), ta nhúng đa tạp của ta vào 1 good compactification, sao cho phần bù của nó làm thành 1 ước ngang chuẩn tắc (normal crossing divisor).

Khi đó lọc trọng của bó vi phân với cực loga theo phần bù ước ngang chuẩn tắc được cho bởi tích wedge với bó vi phân của compactification nếu độ dài của dẫy lọc nhỏ hơn hạng của bó vi phân có cực loga, trường hợp khác thì giữ nguyên. Lọc Hodge trên De Rham realization được được nghĩa thông qua dẫy phổ tương ứng với Hypercohomology với hệ số là các mảnh phân bậc của dẫy lọc trọng trên bó vi phân cực loga.

Mệt quá, mai viết nốt l-adic realization.

Trong chủ đề: Elementary

13-12-2008 - 08:15

Characteristic classes là lý thuyết cổ điển và kinh điển, không học nó ngay thì bao giờ mới chịu học? Blowing-up thì chắc nên tự học, chứ vác lên đây hỏi, chắc chả ai trả lời, trừ phi bạn có vài câu hỏi thú vị. Không lẽ lại ngồi trình bầy proj của đại số graded, hay là thay thế 1 điểm trên 1 mặt bằng 1 đường cong P^1... thế thì chắc là đọc sách còn chuẩn hơn là bài post ở đây.

Trong chủ đề: Elementary

10-12-2008 - 06:02

Làm sao mà giải thích nổi qua diễn đàn cơ chứ, chỉ giới thiệu thế thôi. Định nghĩa của motives hay Tate twist thì xem sách còn nhanh hơn. Nói chung for non-expert, thì khó explain được hết. Còn hỏi cụ tỉ vào vấn đề trên thì mới thảo luận chung với nhau được.

Trong chủ đề: Elementary

09-12-2008 - 18:40

Có cách xây dựng trên Motives tổng quát hơn nhiều. Fix base scheme S, xét X là 1 S-scheme cùng với 1 Grothendieck Topology, say h-Topology hoặc qfh-Topology. Gọi M là hàm tử tương ứng từ phạm trù S-scheme vào phạm trù motive (hiểu như là phạm trù đồng điều của Site with interval) $(Schm)/S \rightarrow DM(S)$. Nếu E là 1 vector bundle trên X, gọi P(E) là projectivization của nó, vậy thì ta có

$M(P(E)) = \oplus_{i=0}^{dim E - 1} M(X) (i) [2i]$ (lấy Tate twist rồi shift). Từ cái này lấy realization xuống etale topos sẽ nhận được Chern classes như trong etale cohomology, hoặc nếu Base scheme là complex field C thì GAGA sẽ ra Chern classes cho complex topology.

Trong chủ đề: K_0(Z[x]) = ?

03-12-2008 - 17:02

Cái này tầm thường. Nếu thích dùng fancy language thì đưa về étale cohomology, nhưng để trả lời đơn giản thì dùng đại số là đủ.

Thứ nhất $\mathbb{Z}[x,x^{-1}]$ là local ring (địa phương hóa tại maximal ideal (x)), nên mọi projective modules trên nó đều free, kết quả là $K_0 ( \mathbb{Z}[x,x^{-1}]) \simeq \mathbb{Z} $.

Tổng quát hơn, nếu R là 1 vành giao hoán có đơn vị, thì K_0(Rings) = K_0(Affine Schemes), vậy nên $K_0(\mathbb{Z}[ x ]) \simeq K_0(\mathbb{A}^1_{\mathbb{Z}}) \simeq \mathbb{Z} $.

Tổng quát hơn nữa, as we know, K_0 là $\mathbb{A}^1$-invariant (giống Chow groups), nên có thể lấy fiber product suy ra $K_0(\mathbb{Z}[ x_1,..., x_n ]) \simeq \mathbb{Z} $. Nói theo ngôn ngữ fancy của motives, thì hàm tử K_0 là 1 presheaf with transfer (see Voevodsky).