Alexi Laiho

Arithmetic of algebraic varieties

Câu chuyện về tương tác giữa hình học và số học có 1 lịch sử khá thú vị, gắn liền với nhiều tên tuổi như Diophantine, Chevalley, Deligne, Lang, Manin, Katz... Bài viết introduction này là 1 informal overview về 1 hướng trong lãnh vực này. Lịch sử của nó có thể nói bắt nguồn từ việc giải hệ các phương trình Diophantine, dưới ngôn ngữ của hình học hiện đại nó tương đương với việc ta đi tìm điểm của 1 lược đồ số học cho trước. Để hiểu điều này ta trước hết đưa vào khái niệm:

Def: 1 lược đồ số học có thể hiểu như là 1 cấu xạ từ 1 lược đồ $X$ vào phổ của vành các số nguyên $X \rightarrow Spec ( \mathbb{Z} ) $.

Mỗi 1 điểm của $ Spec ( \mathbb{Z} ) $ được đặc trưng bởi 1 số nguyên tố p và trường thặng dư tại đó là $\mathbb{F}_p$, vậy ta có thể xem lược đồ số học như là 1 họ các lược đồ trên $Spec (\mathbb{F}_p) $. Hiển nhiên 1 lược đồ không thể có cùng 1 lúc cả characteristic 0 và p trừ phi bó cấu trúc là vành 0, nên cấu xạ $X \rightarrow Spec (\mathbb{Z} ) $ sẽ phải factors uniquely qua $X \rightarrow Spec (\mathbb{F}_p) $. Điều này dẫn đến việc nghiên cứu các lược đồ trên trường có đặc số p.

Def: 1 lược đồ X được gọi là lược đồ đặc số p nếu $p \cdot \mathcal{O}_X = 0 $ hay tương đương với việc cho trước 1 cấu xạ cấu trúc $ X \rightarrow Spec (\mathbb{F}_q) $, với q là số lũy thừa của p.

Như vậy là ta đã thực hiện bước đầu tiên, có nghĩa là chuyển về nghiên cứu hình học trên trường hữu hạn. Mỗi 1 điểm hữu tỉ của 1 lược đồ trên trường hữu hạn được cho bởi 1 cấu xạ $ x: Spec (\mathbb{F}_q) \rightarrow X $, và chữ số học ở đây, có nghĩa là việc ta đếm xem có bao nhiêu cấu xạ như vậy ứng với 1 lược đồ cho trước. Câu chuyện được nối tiếp bởi định lý sau của Chevalley-Warning, được chứng minh hết sức sơ cấp trong cuốn Arithmetic của Serre:

Định lý (Chevalley-Warning): 1 siêu mặt bậc d của không gian xạ ảnh số chiều n với d nhỏ hơn n trên 1 trường hữu hạn luôn có điểm hữu tỉ.

Remark: Định lý này sau được Katz mở rộng ra, hứa hẹn 1 lớp khá rộng các đa tạp đại số có chứa kỳ dị. Chúng ta phải rất cẩn thận khi nói tới kỳ dị, bởi kỳ dị có thể làm thay đổi hoàn toàn các tính chất hình học cũng như số học của các đa tạp.

Quay trở lại về vấn đề đếm điểm trên trường hữu hạn, ta hãy xét 1 ví dụ tầm thường là không gian xạ ảnh
 

$\mathbb{P}^n = \mathbb{A}^0 \coprod \mathbb{A}^1 \coprod \cdots \coprod \mathbb{A}^n $

Như vậy số điểm nó phải có là $|\mathbb{P}^n(\mathbb{F}_q)| = 1 + q + \cdots + q^n $. (chú ý rằng việc phân tích thành tổng như vậy rất có ý nghĩa sau này trong lý thuyết của Mô típ). Do đó ta có thể viết
 

$|\mathbb{P}^n(\mathbb{F}_q)| \equiv 1 \quad mod \quad q .$

Câu hỏi thú vị đặt ra, có những đa tạp đại số này có tính chất số học này tương tự gần giống với không gian xạ ảnh. Ta hãy xem thử tiếp 1 ví dụ khá sơ cấp trong hình học trường hợp 2 chiều, đó là các mặt Del Pezzo.

Định nghĩa: Mặt Del Pezzo được phân loại như là: mặt phẳng xạ ảnh $\mathbb{P}^2 $, tích của 2 đường cong hữu tỉ $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 $, hoặc nổ của mặt phẳng xạ ảnh tại r điểm trên vị trí tổng quát, với r lớn hơn bằng 1 và nhỏ hơn bằng 8.

Hiển nhiên trong 2 trường hợp đầu thì tầm thường, ta xét thử ví dụ Nổ của mặt phẳng xạ ảnh tại điểm, điều này có nghĩa là ta lấy bớt đi 1 điểm và thêm vào đó 1 đường cong hữu tỉ, phép tính sơ cấp cho thấy số điểm hữu tỉ của mặt nhận được vẫn là 1 mod q.

Bài viết sau tôi sẽ nói về 1 số công cụ để làm việc với hình học trên trường hữu hạn và mối liên hệ tương tự với lý thuyết Hodge trên trường đặc số 0.

Mọi người đang nói về chủ đề Kaka mà, sao lại pha lẫn tạp chất vào đây vậy ?

Anh Kaka còn ở VN lâu không ? Nếu rảnh thì lên HN hội tụ với các bạn trên này.

Chú làm quản lý assmind mà sao lại ăn nói phát biểu lung tung, không có chủ trưong hệ thống thế là thế nào. Muốn mời được KK quay lại diễn đàn, thì phải có chủ đề topic ra hồn, phải make sense, thế nên anh phtung mới tung lên đây bài báo mới về sức sáng tạo Nguyễn Cảnh Toàn, chứ cứ đứng hô khẩu hiệu ời ời như kiểu ông Đoàn Chi xung phong đi lên thanh niên Đoàn Viên, hay như mấy cháu Evazít Evazót trên kia chỉ biết có đứng hô kính mong anh KK quay trở lại, nghe thì hoành tráng đấy, nhưng mà make non-sense như thế thì có mà mời được KK về bằng mắt.

Phải đấy, nhân vật chính của chúng ta là TLCT, thì anh ý vứt hết mũ mão cờ quạt chạy vắt chân lên cổ bán sống bán chết rồi. 1 loạt các topic về topo đại số của sinh viên năm thứ 2 như kiểu định lý biểu diễn Brown anh ý mở ra anh ý cũng bỏ lại nốt. Ở Topic này giờ chỉ còn mỗi htspmu là chịu khó lảm nhảm các kiến thức giải tích năm thứ 2, vui thật, huynh đệ giống nhau quá, nhưng đáng khen cho htspmu là nói chung còn chịu khó ở lại, chứ cái anh chàng TLCT là đáng chê trách lắm, rất ít trách nhiệm.

Thế này nhé htspmu, anh bạn cứ việc mà ngồi giải bài toán của anh bạn, chứ anh bạn vác lên đây đố lung đố tung làm cái gì, chả ai làm vậy bao giờ. Diễn đàn là chỗ hoặc để thảo luận các mục chung chung ví dụ như topic này, hoặc là diễn xiếc với các kiến thức đại học (vào các Box toán cho đại học), hoặc là có thắc mắc gì thì post lên ai biết thì giúp, chứ anh bạn lôi bài toán của anh bạn ra đố mọi người thì chả ra làm sao cả. Thế này nhé, tôi khuyên ông bạn đem bài toán của ông bạn gửi qua e-mail đến 1 giáo sư trái ngành với anh bạn xem ông ta sẽ trả lời thế nào.

Công nhận mấy người ở đây hoặc là cố tình ko hiểu, hoặc là hiểu quá chậm, tôi e rằng thế này mấy vị nên về dậy cấp 2 đi. Nói như mấy ông Domain với htspmu ý mà, thì quay quách nó về thời Newton cho nó nhanh, đấy mấy thứ giải tích của các ông là từ đó mà ra đấy, cứ thích bắt bẻ vớ vẩn. Các ông nói vậy thì đừng làm toán nữa cho nó xong, làm cái gì ứng dụng mà chỉ có kiểu giải tích của Newton ý, nó là nguồn khởi điểm của ngành giải tích đấy, ví dụ các ông chuyển sang làm ngành điện tử chắc phù hợp đấy, biết mỗi sin cos, đạo hàm tích phân là đủ. Cái gì cũng thế thôi, phát triển từ 1 cái nào đó, nhưng khi nó đủ mạnh thì có thể tách ra. Còn cứ thích kiểu đi về cội nguồn như thế ý mà, khác nào các ông chuyển toán học từ 1 lâu đài nguy nga lộng lẫy về 1 cái chuồng lợn rách nát bẩn thỉu. Thôi về mà dậy cấp 2 đi cho nó được việc.

Thế này nhé, nói mãi mà htspmu vẫn không chịu hiểu, chúng tôi không hề chê bai gì mấy cái giải tích địa phương của cậu, tôi chỉ thấy nó không đẹp theo nghĩa là tôi ko mấy hứng thú với nó. Nếu htspmu cho rằng đại số nói chung hoặc giải tích toàn cục nói riêng mà không phải tính toán chứng tỏ 1 điều rằng htspmu hổng kiến thức cơ bản nặng nề. Tôi nghĩ thay vì lên diễn đàn thảo luận thì htspmu nên dành nhiều thời gian để ôn lại các chương trình toán cơ bản. Tôi chỉ hỏi htspmu 1 câu hết sức cơ bản thế này thôi (vì thấy htspmu cứ lải nhải hoài giải tích phức): các hàm đa thức có thể hiểu theo "1 nghĩa nào đó" nằm "trù mật" trong các hàm chỉnh hình, right? 1 không gian phức dựa trên các mô hình địa phương phức và theo 1 nghĩa nào đó tương tự như các lược đồ đại số, nhưng 1 bên được trang bị topo phức và bó cấu trúc chuẩn tắc có Fréche topo, còn 1 bên có topo Zariski, vậy nếu theo GAGA của Serre thì làm thế nào để so sánh giữa analytical situation và algebraic situation? Có thể nêu nhanh 1 analytical situation nơi mà algebraic method không đủ để làm việc? (gợi ý thử so sánh meromorphic và các đa thức hữu tỉ). Trả lời xong thì htspmu đã có thể hiểu vì sao trong đại đa số các trường hợp người ta có thể dùng đại số thay vì giải tích, ngoại trừ các extremal case khi mà các pp đại số phá sản hoàn toàn.

Trong bài này tác giả muốn mạn đàm đôi chút về một chủ đề kinh khủng: Khi nào thì nên nghiên cứu về toán học? Hiển nhiên ý kiến của tác giả là cá nhân, nên có thể là thiển cận.

Ý kiến của tác giả là như sau: Nên nghiên cứu toán học ngay từ lúc bạn chỉ mới bắt đầu chập chững về Toán học. Hiển nhiên nếu bạn muốn thành công thì nên nghiên cứu thì bạn phải nghiên cứu những gì mà thế giới đang quan tâm , chứ không phải là nghiên cứu tìm lời giải thứ 1000 cho bất đẳng thức Cauchy hay tìm lới giải của Fermat cho định lý Fermat. Dẫn chứng là như sau:

Lấy ví dụ về Grothendieck: Lúc bắt đầu thì Grothendieck làm về giải tích hàm, chắc là lúc đó ổng chưa biết nhiều lằm về Đại số, Topology , và hình học.

Một ví dụ gần gũi với tôi hơn là tôi có một người bạn người Nhật. Suốt một năm + 2 tháng anh ta chỉ đọc và trình bày lại cho advisor của mình về nội dung của một cuốn sách nhỏ là Dynmics in one complex vaỉable của Milnor, sau đó thì anh ta chứng minh được một giả thuyết thú vị trong Complex Dynamics.

Có nhiều người cho rằng khi chưa học đủ kiến thức thì chưa nên làm nghiên cứu. Nhưng thế nào gọi là đủ? Đọc hết cả đời cũng không thể nào hết sách trong bất kì một lĩnh vực nhỏ nào. Theo tôi thì cách hay nhất là vừa học, vừa làm nghiên cứu.

Hiển nhiên là ta cũng nên nắm một số kiến thức cơ bản như của Diff Geometry, Alge Topology, Alge Geo, Several Complex. Nhưng không cần phải học những chuyên ngành quá sâu vì nếu cần thì ta cũng không tốn quá nhiều thời gian để học khi đã nắm vững cơ bản. Vậy có nên bỏ qua kiến thức về PDEs, Probability không? Tôi nghĩ là không nên. Bằng chứng là những giải Fields năm nay.

Nếu xem định nghĩa của nhưng môn như K Theory, Symplectic Geometry, hay Contact geometry ta thấy nó không có gì lạ nếu ta đã nắm vững một số kiến thức cơ bản. Vậy nếu bạn cần biết gì đó sâu thì bạn có thể đọc khi bạn muốn. Người Pháp và người Nhật học Graduate chẳng cần một chút course work nào cả nhưng họ vẫn sản sinh ra những người hàng đầu.

Có vài ý kiến trả lời TLCT:

1) Theo tôi học đủ kiến thức có nghĩa là đáp ứng đủ về mặt kiến thức những yêu cầu tối thiểu nhất của advisor.
2) Ở mức undergraduate thì hiển nhiên không nên bỏ qua PDEs, Probability, thậm chí statistics cũng nên học, nhưng đến mức graduate rồi thì tốt nhất tập trung vào chuyên ngành chứ ôm mấy thứ này vào làm gì nữa cho thêm "ôm rơm nặng bụng".
3) Tôi chả hiểu TLCT luyện kiểu gì mà nhanh thế? Riêng hình học đại số bọn tôi học 1 năm mới hết cuốn Hartshorne. Còn tất nhiên luyện ẩu bừa bãi cho nó xong thì luyện kiểu gì cũng được, 1 tháng cũng xong.
4) Đồng ý, K-Theory không có gì là lạ, vì nó chỉ là "đại số tuyến tính" theo 1 nghĩa nào đó, không hơn không kém, nhưng cũng chả dễ xơi lắm đâu. Hơn nữa chắc TLCT chỉ ám chỉ topological K-Theory kiểu Atiyah chứ đụng vào algebraic K-theory lại là chuyện khác ngay. Nhưng nói thật K-Theory sẽ rất vô duyên nếu đứng 1 mình không trong các connections với các ngành khác.
5) Người Pháp hay người Nhật là dân tộc thượng đẳng, còn việt nam là dân tộc hạ đẳng, TLCT so sánh khập khiễng quá đi. Mà cứ chờ đấy, tôi thấy bên Pháp có 1 loạt các hạt giống của việt nam sắp chờ lên nhận giải Fields rồi đấy.

Đã có quá nhiều lời khuyên, nên lời khuyên của tôi cũng bằng thừa, những vẫn cứ phải khuyên các bạn học sinh phổ thông, các bậc giáo viên phổ học, rằng đừng đâm đầu vào định lý Fermat nữa. Chả ai hứng thú với những cách giải sơ cấp cả. Lời khuyên chân thành, hãy từ từ học cho vững các kiến thức toán học ở bậc đại học, rồi chuyên sâu vào lãnh vực hình học đại số số học, nếu còn hứng thú với chứng minh của Wiles, thì nên học kỹ thêm đường cong elliptic, các dạng modular, biểu diễn Galois. Định lý Fermat chỉ là 1 trong vô vàn các đóa hoa của toán học, nếu toán học chỉ có mỗi định lý Fermat thì chắc là buồn tẻ phải biết. Hơn nữa chúng ta cũng tự nên biết tầm cỡ dân tộc việt nam của chúng ta đứng ở đâu trên thế giới. Cỡ như người việt nam chúng ta chỉ mong kiếm được 1 ghế Prof ở 1 trường đại học từ trung bình đến khá, hoặc có thể lên đến giỏi. Cả đời nghiên cứu chắc độ dăm chục đến 1 trăm bài báo, vài bài được đăng ở 1 số tạp chí nổi tiếng, thế là mãn nguyện cũng như là vừa tầm với 1 dân tộc thấp bé phát triển chậm và kém thông minh như việt nam ta rồi. Mà đừng tưởng là lên được Prof ở 1 trường trung bình trên thế giới hoặc có 1 bài ở Invent là dễ nhé. Còn những chuyện cao siêu như Fermat, hay các giả thuyết này nọ khi mà thế giới chỉ sản sinh ra độ 1,2 người đếm trên đầu ngón tay có khả năng giải quyết thì không thể có chuyện 1 học sinh phổ thông việt nam có thể làm nổi được. Nhìn 1 cách nghiệp dư từ bên ngoài vào lúc nào vấn đề chả đơn giản, đến khi cái nghiệp toán nó là nghiệp chính kiếm ăn của mình rồi mới thấy toán rất rất khó, chả dễ xơi đâu ạ.

Mời câc bạn xem bài báo sau trên yahoo
http://news.yahoo.co...ny_070319121747
Tôi không hiểu bài này nói gì ? mapping co nghĩa là Aut(E8) ?
Bạn nào hiểu xin giải thích hộ vài lời.

Àh E8 có nghĩa là exeptional group ý mà. Cái này gọi là root space. Bạn cứ xem Humphreys với Borel phần nhóm nửa đơn là ok thôi. Còn cái E8xE8 là space của các hàm sóng của các Super fermions, động tới cái này thì lại phải nói tới Heterotic Strings của Sigma Model với Conformal Fields theory. Diễn đàn có KK siêu về cái này. Tôi cũng đang tập tọe cái E8xE8 heterotic string, nhưng còn lởm khởm lắm. Còn thì Aut(E8) hiển nhiên là quan trọng rồi, chẳng hạn khi người ta nhìn vào Picard schemes của 1 số mặt đại số (may be K3 or Calabi-Yau or something like that) thì sẽ có connection với Aut(E8), nhưng tôi cũng ko rõ cụ thể thì connection như thế nào.