Alexi Laiho

Arithmetic of algebraic varieties

Câu chuyện về tương tác giữa hình học và số học có 1 lịch sử khá thú vị, gắn liền với nhiều tên tuổi như Diophantine, Chevalley, Deligne, Lang, Manin, Katz... Bài viết introduction này là 1 informal overview về 1 hướng trong lãnh vực này. Lịch sử của nó có thể nói bắt nguồn từ việc giải hệ các phương trình Diophantine, dưới ngôn ngữ của hình học hiện đại nó tương đương với việc ta đi tìm điểm của 1 lược đồ số học cho trước. Để hiểu điều này ta trước hết đưa vào khái niệm:

Def: 1 lược đồ số học có thể hiểu như là 1 cấu xạ từ 1 lược đồ $X$ vào phổ của vành các số nguyên $X \rightarrow Spec ( \mathbb{Z} ) $.

Mỗi 1 điểm của $ Spec ( \mathbb{Z} ) $ được đặc trưng bởi 1 số nguyên tố p và trường thặng dư tại đó là $\mathbb{F}_p$, vậy ta có thể xem lược đồ số học như là 1 họ các lược đồ trên $Spec (\mathbb{F}_p) $. Hiển nhiên 1 lược đồ không thể có cùng 1 lúc cả characteristic 0 và p trừ phi bó cấu trúc là vành 0, nên cấu xạ $X \rightarrow Spec (\mathbb{Z} ) $ sẽ phải factors uniquely qua $X \rightarrow Spec (\mathbb{F}_p) $. Điều này dẫn đến việc nghiên cứu các lược đồ trên trường có đặc số p.

Def: 1 lược đồ X được gọi là lược đồ đặc số p nếu $p \cdot \mathcal{O}_X = 0 $ hay tương đương với việc cho trước 1 cấu xạ cấu trúc $ X \rightarrow Spec (\mathbb{F}_q) $, với q là số lũy thừa của p.

Như vậy là ta đã thực hiện bước đầu tiên, có nghĩa là chuyển về nghiên cứu hình học trên trường hữu hạn. Mỗi 1 điểm hữu tỉ của 1 lược đồ trên trường hữu hạn được cho bởi 1 cấu xạ $ x: Spec (\mathbb{F}_q) \rightarrow X $, và chữ số học ở đây, có nghĩa là việc ta đếm xem có bao nhiêu cấu xạ như vậy ứng với 1 lược đồ cho trước. Câu chuyện được nối tiếp bởi định lý sau của Chevalley-Warning, được chứng minh hết sức sơ cấp trong cuốn Arithmetic của Serre:

Định lý (Chevalley-Warning): 1 siêu mặt bậc d của không gian xạ ảnh số chiều n với d nhỏ hơn n trên 1 trường hữu hạn luôn có điểm hữu tỉ.

Remark: Định lý này sau được Katz mở rộng ra, hứa hẹn 1 lớp khá rộng các đa tạp đại số có chứa kỳ dị. Chúng ta phải rất cẩn thận khi nói tới kỳ dị, bởi kỳ dị có thể làm thay đổi hoàn toàn các tính chất hình học cũng như số học của các đa tạp.

Quay trở lại về vấn đề đếm điểm trên trường hữu hạn, ta hãy xét 1 ví dụ tầm thường là không gian xạ ảnh
 

$\mathbb{P}^n = \mathbb{A}^0 \coprod \mathbb{A}^1 \coprod \cdots \coprod \mathbb{A}^n $

Như vậy số điểm nó phải có là $|\mathbb{P}^n(\mathbb{F}_q)| = 1 + q + \cdots + q^n $. (chú ý rằng việc phân tích thành tổng như vậy rất có ý nghĩa sau này trong lý thuyết của Mô típ). Do đó ta có thể viết
 

$|\mathbb{P}^n(\mathbb{F}_q)| \equiv 1 \quad mod \quad q .$

Câu hỏi thú vị đặt ra, có những đa tạp đại số này có tính chất số học này tương tự gần giống với không gian xạ ảnh. Ta hãy xem thử tiếp 1 ví dụ khá sơ cấp trong hình học trường hợp 2 chiều, đó là các mặt Del Pezzo.

Định nghĩa: Mặt Del Pezzo được phân loại như là: mặt phẳng xạ ảnh $\mathbb{P}^2 $, tích của 2 đường cong hữu tỉ $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 $, hoặc nổ của mặt phẳng xạ ảnh tại r điểm trên vị trí tổng quát, với r lớn hơn bằng 1 và nhỏ hơn bằng 8.

Hiển nhiên trong 2 trường hợp đầu thì tầm thường, ta xét thử ví dụ Nổ của mặt phẳng xạ ảnh tại điểm, điều này có nghĩa là ta lấy bớt đi 1 điểm và thêm vào đó 1 đường cong hữu tỉ, phép tính sơ cấp cho thấy số điểm hữu tỉ của mặt nhận được vẫn là 1 mod q.

Bài viết sau tôi sẽ nói về 1 số công cụ để làm việc với hình học trên trường hữu hạn và mối liên hệ tương tự với lý thuyết Hodge trên trường đặc số 0.

Thế nào là 1 đối đồng điều? Mọi người có thể cho vài đóng góp được không?

, lập ra cái topic này để discuss 1 cách tỉ mỉ về Lecture 1 của Voevodsky. Rút kinh nghiệm từ các topic khác, thường die ngay lập tức, topic này mình hy vọng có thể bàn luận 1 cách tỉ mỉ từng chi tiết trong từng ngõ ngách của vấn đề. Điều này chắc chắn sẽ phải dẫn tới việc giải bài tập trong Hartshorne, hoặc tra lần lại EGA.

Hôm nay mình sẽ chỉ nói về 2 trang đầu trong Lecture 1 của cuốn sách, các bạn có thể down tại đây

Trước hết, chúng ta làm việc với phạm trù các lược đồ trên 1 trường k bất kỳ. Như Voevodsky thống nhất, mọi lược đồ sẽ là lược đồ tách, theo định nghĩa điều này có nghĩa phép nhúng diagonal là đóng, i.e. $\Delta: X \rightarrow X \times_k X$ is a closed immersion. 1 cách cơ bản, nhúng đóng, có nghĩa là đường chéo $\Delta(X) \subset X \times_k X$ là 1 tập đóng, và cấu xạ tự nhiên trên bó cấu trúc phải là 1 toàn ánh.

Nhắc thêm, tính tách của 1 lược đồ, có thể kiểm tra bằng điều kiện định giá (Valuation criterion), nói 1 cách trực quan, thì mỗi vành định giá R (Valuation ring) có 1 ideal cực đại và 1 ideal nguyên tố. Vậy nên, ta sẽ có 1 phép nhúng tầm thường từ điểm đóng (tương ứng với Spec(K)), với K là trường thương của R, vào Spec ( R ). Xét cấu xạ cấu trúc X vào Spec(k), ta nói X tách được, nếu tồn tại nhiều nhất 1 phép nâng từ Spec ( R ) vào X làm biểu đồ sau giao hoán

$\begin{array} Spec(K) \longrightarrow & X \\ \downarrow & \downarrow \\ Spec ( R ) \longrightarrow & Spec(k) \end{array}$

Điều kiện tách theo vành định giá này khá là trực quan về mặt hình ảnh. Để thống nhất, từ giờ, chúng ta sẽ viết S cho 1 base scheme, và luôn đòi hỏi các base scheme là Notherian. Recall, noetherian có nghĩa là local noetherian, và quasi-compact, trong đó local noetherian, có nghĩa là địa phương, mỗi lược đồ affine là phổ của 1 vành Noether. Tức là mọi dẫy tăng của Ideal đều sẽ dừng, dịch sang ngôn ngữ của topo, ta sẽ có 1 dẫy dừng các tập con đóng. Do đó ta thấy lược đồ Noether sẽ suy ra không gian topo Noether.

1 chu trình / hoặc 1 xích ( Cycle) của 1 lược đồ X sẽ là 1 tổng hình thức tuyến tính với hệ số nguyên của các tập đóng bất khả quy của X. Điều này có nghĩa, nếu Z là 1 chu trình của 1 lược đồ X, vậy thì

$Z = \sum_W n_W \cdot W$,

với W là closed irreducible subsets của X. Tuy nhiên định nghĩa như thế này sẽ không cho ta 1 tín hiệu nào cụ thể từ phía hình học của lược đồ, bởi tập đóng quá tổng quát. Do đó ứng với mỗi tập đóng, ta phải phong cho nó 1 cấu trúc hình học lên nó. Điều này ta sẽ làm cụ thể như sau:

Với mỗi tập đóng bất khả quy W, ta tương ứng nó với 1 lược đồ con nguyên $\tilde{W}$ sao cho tập W bằng với giá của $\tilde{W}$. Để tiện theo dõi, ta nhắc lại lược đồ nguyên (integral). Lược đồ nguyên nếu, địa phương, các lát cắt của bó cấu trúc làm thành 1 vành nguyên. Do tính chất của vành nguyên, dễ dàng cm được, lược đồ nguyên nếu và chỉ nếu nó bất khả quy và giản ước (reduced), ở đây giản ước meaning rằng mỗi vành địa phương tại 1 điểm không có nilpotent.

Ta sẽ nói tập con đóng bất khả quy (closed irreducible subset) W là hữu hạn, dọc theo cấu xạ cấu trúc $X \rightarrow S$, nếu hạn chế của cấu xạ này lên lược đồ con tương ứng là 1 cấu xạ hữu hạn (finite morphism). Điều này cần phải giải thích rõ ràng hơn. Giả sử cấu xạ cấu trúc của chúng ta là $\phi : X \rightarrow S$, khi ta xét

$\phi_{\tilde{W}}: \tilde{W} \rightarrow S$,

ta sẽ yêu cầu cấu xạ này là hữu hạn. Cụ thể hơn (finite morphism) cấu xạ hữu hạn có nghĩa là affine địa phương, và hữu hạn sinh theo nghĩa module. More precisely, nếu S được phủ bởi 1 họ các phủ mở affine $S = \cup_i Spec (B_i)$, vậy thì

$\phi_{\tilde{W}}^{-1}(Spec(B_i)) = Spec(A_i)$,

và $B_i \rightarrow A_i$ được xem là 1 module hữu hạn sinh trên $B_i$.

Cấu xạ hữu hạn rất quan trọng để ta định nghĩa phép đẩy của 1 chu trình như ta sẽ trình bầy dưới này. Trước hết, ta nói 1 chu trình $\sum n_i W_i$ là finite (hữu hạn) nếu mỗi $W_i$ hữu hạn dọc theo cấu xạ cấu trúc. Bây giờ ta sẽ nói, thế nào là 1 elementary correspondence (tương ứng cơ bản) giữa 2 lược đồ cho trước.

Nếu X là 1 lược đồ trơn liên thông (smooth connected) trên 1 trường k và Y là 1 lược đồ bất kỳ trên k (chú ý bất kỳ có nghĩa là ta ngầm quy ước Y là lược đồ tách). Liên thông (connected) tức là không gian topo nền $|X|$ liên thông, theo nghĩa không thể viết nó dưới dạng hợp của 2 tập con mở thực sự, và để đơn giản, ta nói X trơn trên trường k nếu mọi vành địa phương tại mỗi điểm là 1 vành regular (chính quy). Tất nhiên trong relative context, thì smooth morphism sẽ hoàn toàn khác regular (1 khái niệm absolute), nếu có dịp chúng ta sẽ bàn về vấn đề này sau.

1 tương ứng cơ bản từ X vào Y, được hiểu đơn giản là 1 tập con đóng bất khả quy $W \subset X \times_k Y$, sao cho lược đồ nguyên tương ứng của nó là $\tilde{W}$ sẽ hữu hạn và surjective vào X (hiển nhiên thông qua phép chiếu chính tắc lên thành phần X).

Trường hợp nếu X không connected, say $X = \coprod_i X_i$, với X_i là các thành phần liên thông (connected component), ta sẽ định nghĩa 1 tương ứng cơ bản từ X vào Y như là 1 tương ứng cơ bản bất kỳ từ X_i vào Y. Nhóm các tương ứng sẽ được định nghĩa như là nhóm abelian sinh bởi các tương ứng cơ bản W, explicit, we set

$Corr_k(X,Y) = \oplus_{W \subset X \times_k Y} \mathbb{Z}[W]$.

Mỗi phần tử của nhóm tương ứng (Correspondence) sẽ được biểu thị dưới dạng $T = \sum_W n_W \cdot W$, và đựoc gọi là 1 tương ứng hữu hạn (finite Correspondence). Từ định nghĩa của tương ứng cơ bản trên các thành phần liên thông của 1 lược đồ, dễ thấy, nếu lược đồ X là không liên thông, vậy thì ta sẽ có 1 decomposition:

$Corr_k(X,Y) = \oplus_i Corr_k(X_i, Y)$.

Ta xét 1 vài ví dụ hết sức cơ bản, tự nhiên, và quan trọng sau đây: Đó là đồ thị của 1 cấu xạ cho trước. Cho $f : X \rightarrow Y$ là 1 cấu xạ giữa các lược đồ trơn. Giả sử X là liên thông, ta khẳng định rằng đồ thị $\Gamma_f$ là 1 tương ứng cơ bản giữa X và Y. Chứng minh điều này không khó (vậy nên Voevodsky bỏ qua), ta có thể tiến hành như sau. Trước hết vẽ nên 1 hình chữ nhật cho tích XxY, vẽ 1 đồ thị bất kỳ nào đó. Ta biết

$\Gamma_f = \{(x,f(x)) \in X \times_k Y \} \subset X \times_k Y$.

Do Y là lược đồ tách, nên đồ thị phải là 1 tập con đóng. Xét phép chiếu chính tắc $pr_1 : \Gamma_f \rightarrow X$, hiển nhiên phép chiếu này là 1 toàn ánh (surjective). Nếu $\{ V_i = Spec(B_i) \}$ là 1 phủ affine cho X, nhìn vào hình vẽ dễ thấy, nghịch ảnh của V_i theo phép chiếu phải là affine và bằng chính V_i (nếu cần thiết phải thu nhỏ). Do đó đồ thị của cấu xạ làm thành 1 tương ứng cơ bản.

1 ví dụ cơ bản nữa hết sức quan trọng đó là đồ thị của cấu xạ đơn vị $id : X \rightarrow X$, được xem như là giá của đường chéo $\Delta(X) \subset X \times_k X$.

Tiếp theo ta muốn định nghĩa hợp của 2 tương ứng. Để làm điều này ta phải hiểu phép đẩy (pushforward) của 1 chu trình. Đây cũng sẽ là phần cuối cho bài mở đầu introduction này. Trước hết cho 1 cấu xạ cấu trúc $p : X \rightarrow S$, với S là base scheme. Nếu W là 1 tập con đóng bất khả quy và hữu hạn dọc theo cấu xạ cấu trúc p, ta có thể nói gì về ảnh của nó. Để làm điều này, trước hết ta cần phải giải bài tập 3.5.b chương II trong cuốn Hartshorne, khẳng định rằng cấu xạ hữu hạn sẽ là cấu xạ đóng. Do đó p(W) sẽ là 1 tập con đóng bất khả quy.

Như theo định nghĩa của cấu xạ hữu hạn, ta sẽ chứng minh trước hết, cấu xạ đóng là bảo toàn qua phép chuyển cơ sở (stable under the base change). Do định nghĩa của cấu xạ hữu hạn, ta sẽ reduce cm của ta về trường hợp affine. Cho X = Spec (A), S = Spec(B) và Z = Spec ( C ) lần lượt là 3 lược đồ affine với S là lược đồ cơ sở (base scheme). Khi chuyển cơ sơ, ta sẽ thu được cấu xạ

$Spec(A \otimes_B C) \rightarrow Spec ( C )$

(theo định nghĩa của tích thớ). Hiển nhiên nếu

$A = a_1 B +...+ a_n B$

hữu hạn sinh, thì $A \otimes_B C$ sẽ hữu hạn sinh trên C, bởi các phần tử sinh

$a_i \otimes 1_C$.

Do đó cấu xạ trên hữu hạn, và do đó cấu xạ hữu hạn là bất biến khi chuyển cơ sở.

Vẫn làm việc với trường hợp affine, ta thay thế base scheme S bởi bao đóng của ảnh $\overline{p(S)}$, vậy thì cấu xạ cấu trúc p sẽ đựoc cảm sinh bởi 1 mở rộng nguyên của vành $B \subset A$, giờ áp dụng định lý going up theorem ta có kết quả cần chứng minh. Do đó, từ cm này, ta cũng thấy, cấu xạ hữu hạn thậm chí còn là 1 cấu xạ proper (cấu xạ thực).

Từ đó ta có thể xét mở rộng hữu hạn của trường các hàm $k(W)/k(p(W))$ với degree d. Ta định nghĩa phép đẩy của 1 chu trình W thông qua

$p_{\star}W = d \cdot p(W)$.

Mở rộng tuyến tính ra ta định nghĩa cho các chu trình bất kỳ.

Tôi mở topic nhân dịp KK nói chuyện về Non-commutative geometry. Bài đầu tôi hy vọng có thể give được 1 introduction về algberaic Stacks, sau đó KK chắc sẽ đưa ra some Groupoids và vật lý toán. Hiện tôi cũng đang có Topo Sem về Higher Topois và derived alg geom. hy vọng sẽ give được some aspects từ phía topo, còn bài mở đầu này là some algebro-geom từ Sem Brauer Groups and Artin Stacks.

Let $G$ be an algebraic group, $X \in \underline{Schm}$ be a scheme, we define the classifying space for G-torsors by

$Mor(X,BG)= \{\text{G-torsors on X \}/ \simeq$.

From the viewpoint of algebraic topology you can take:

$[X,BG]/\text{homotopy} = \{\text{G-bundles}\}/\simeq$.

Let $\underline{BG}: \underline{Schm} \rightarrow \text{Groupoid}, \quad X \rightarrow \{\text{G-Torsors},\simeq\}$, by groupoid i will mean a small category where all arrow are Iso.

$\underline{BG}(X)$ is category with obj = G-torsors, mor = Iso.

Def of stack: that is a 2-funtor $\mathcal{M}$ from Schemes to Groupoids (= 2-Cat), s.t. $\mathcal{M}(S)$ is groupoid.

The 2-functor takes Morphism/schm ( S---> T) ----> ($\mathcal{M}(T) \rightarrow \mathcal{M}(S), \quad \mathcal{M}(f) = f^*$ (induced map by BG).

The composition of Morphism/schm (S--f-->T---g-->W) -----> f* g* => (gf)*. That will give us 2-Morphisms between Morphisms.

Obj ---> 1-Morph ----> 2-Morph. Groupoid -----> Functor ----> natural Transformation of Funct.

Examples: Ví dụ điển hình nhất từ topo là take {Top Spaces}, continous maps and Homotopy. (tổng quát lên là \infty-category, which is extrem interesting obj. from higher topois).

some geom: Schemes define Stacks, which means the glueding property of objects.

Take the analogy to Yoneda ---> you will get somehow morphisms between stacks $F: \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{N}$. We call F representable iff for all X scheme or algebraic Space (in sense of Artin) you have:

$\mathcal{M} \times_{\mathcal{N}} X \rightarrow X $ is a morph of Schm or alg Sp. (in sense of Artin).

Def: We call M an Artin stack <=> first: Diagonal: M ---> M x M is representable, quasi-compact and separated.

second: tồn tại 1 atlas Y ---> M smooth and surjective.

Công nhận là ĐHKHTN TPHCM có thuận lợi, được các anh chị thành đạt về nói chuyện trao đổi. Hy vọng đợt này anh TLCT về giảng bài cho các em về complex Dynamics không lôi tên tuổi Grothendieck ra dọa các em ý, kẻo các em nó sợ cứ tưởng complex Dynamics toàn Abelian Category, derived Functor, Stacks, Sheaves, Topois,... chúng nó ko dám nghiên cứu nữa thì chết

Em mới mò vào trang DHKHTNTPHCM mà anh TLCT đưa ra ở trên, thành thật xin góp ý với anh, là anh nên đề lại là: để học complex Dynamics thì người ta nên học nhiều giải tích phức cổ điển, chứ toàn ghi là hình học đại số, với topo đại số, mọi người lại hiểu lầm. hihi thế nhá anh.