trannguyenductam

ĐỀ THI IMO 2019

 

 

Bài 1. Kí hiệu $\mathbb{Z}$ là tập các số nguyên. Tìm tất cả các hàm số $f : \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa mãn 

$f(2a)+2f(b) = f(f(a + b))$

với mỗi số nguyên a và b.

 

Bài 2. Cho tam giác ABC với các điểm A₁, B₁ tương ứng nằm trên các cạnh BC, AC. Các điểm P, Q, tương ứng nằm trên các đoạn thẳng AA₁, BB₁ sao cho PQ song song với AB. Điểm P₁ nằm trên đường thẳng PB₁ sao cho B₁ nằm giữa P và P₁, và $\angle PP_{1}C = \angle BAC$. Tương tự, điểm Q₁ nằm trên đường thẳng QA₁ sao cho A₁ nằm giữa Q và Q₁, và $\angle CQ_{1}Q = \angle CBA$.

Chứng minh rằng các điểm P, Q, P₁, Q₁ đồng viên.

 

Bài 3. Một mạng xã hội có 2019 người dùng với một số cặp trong đó là bạn bè. Biết rằng nếu người dùng A là bạn với người dùng B thì người dùng B cũng là bạn với người dùng A. Những sự kiện sau có thể lần lượt xảy ra:

Ba người dùng A, B, C, trong đó A là bạn với cả B và C nhưng B và C không phải là bạn của nhau, sẽ thay đổi trạng thái bạn bè của họ sao cho B và C trở thành bạn của nhau nhưng A không còn là bạn với B và cũng không còn là bạn với C. Các trạng thái bạn bè khác không thay đổi. 

Ban đầu, có 1010 người dùng mà mỗi người có đúng 1009 người bạn và 1009 người dùng mà mỗi người có đúng 1010 người bạn. Chứng minh rằng có thể xảy ra một chuỗi các sự kiện như trên mà sau đó mỗi người dùng là bạn với không quá một người dùng khác.

 

 

Bài 4. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (k,n) sao cho 

$k! = (2^{n} - 1)(2^{n} - 2)(2^{n} - 4)...(2^{n} - 2^{n - 1})$.

 

Bài 5. Ngân hàng thành phố Bath phát hành các đồng xu với một mặt được in chữ H và một mặt được in chữ T. Thầy Tụy có n đồng xu được xếp thành một hàng từ trái qua phải. Thầy Tụy thực hiện liên tiếp các bước biến đổi sau: nếu có đúng $k > 0$ đồng xu với mặt ngửa là H, thầy sẽ lật đồng xu thứ $k > 0$k kể từ bên trái; nếu không, tất cả các đồng xu đều có mặt ngửa là T và thầy dừng lại. Ví dụ, nếu n = 3 thì quá trình bắ­t đầu với cách xếp THT sẽ là $THT \rightarrow HHT \rightarrow HTT \rightarrow TTT$, và quá trình dừng lại sau ba bước. 

(a) Chứng minh rằng, với mỗi cách xếp ban đầu, quá trình sẽ dừng lại sau một số bước hữu hạn. 

(b) Với mỗi cách xếp C ban đầu của các đồng xu, gọi L(C) là số các bước biến đổi mà thầy Tụy thực hiện cho đến khi quá trình dừng lại. Ví dụ, $L(THT)=3$ và $L(TTT)=0$. Hãy tính giá trị trung bình của L(C) với $2^{n}$ cách xếp ban đầu có thể của các đồng xu.

 

Bài 6. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác nhọn ABC với $AB \neq AC$. Đường tròn nội tiếp $\omega$ của tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA và AB tương ứng tại các điểm D, E và F. Đường thẳng qua D vuông gâc vîi EF c­ắt $\omega$ lần thứ hai tại R. Đường thẳng AR cắ­t $\omega$ lần thứ hai tại P. Đường tròn ngoại tiếp của tam giác PCE cắ­t đường tròn ngoại tiếp của tam giác PBF lần thứ hai tại Q. 

Chứng minh rằng các đường thẳng DI và PQ cắ­t nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng qua A vuông góc với AI.