Khoipro999

Vì a + b + c + d = 0 nên a + b = -(c+d) 

$\Leftrightarrow (a+b)^3 = -(c+d)^3$

$\Leftrightarrow (a+b)^3 + (c+d)^3 = 0$

$\Leftrightarrow a^3 + b^3 + 3ab(a+b) + c^3 + d^3 + 3cd(c+d) = 0$

$\Leftrightarrow a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = -3[ab(a+b)+cd(c+d)]$ 

Mà a+b = -(c+d) $\Rightarrow a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = -3(ab-cd)(a+b) = 3(ab-cd)(c+d)$

( đpcm ) 

Cho x,y,z>0. Chứng minh rằng: xy/(x+y) +yz(y+z) +zx/(z+x)<= (x+y+z)/2

GIúp với ạ!

 

Ta có : Do x ; y ; z > 0 nên : 

$\frac{xy}{x+y} + \frac{yz}{y+z} + \frac{xz}{x+z} = \frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} + \frac{1}{\frac{1}{z}+\frac{1}{y}} + \frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{z}}$

Đặt 1/x = a ; 1/y = b ; 1/z = c (a;b;c>0 do x ; y ; z > 0)

=> x + y + z = 1/a + 1/b + 1/c

 

Khi đó , ta cần c/m : $\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{a+c} \leq \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{2}$

 

 Áp dụng BĐT phụ : 1/x + 1/y >= 4/x+y ( cái này bn tự c/m )  , ta có : 

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b} ; \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{4}{b+c} ; \frac{1}{a} + \frac{1}{c} \geq \frac{4}{a+c}$

$\Rightarrow 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 4(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c})$

$\Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 2(\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c }+\frac{1}{a+c})$

=> điều cần c/m 

Dấu " = " xảy ra <=> a = b = c

hay 1/x = 1/y = 1/z <=> x = y = z 

Vậy ... 

Chứng minh rằng không có ba số dương $a,b,c$ thoả mãn cả ba bất đẳng thức:

$a+\frac{1}{b}<2; b+\frac{1}{c}<2;c+\frac{1}{a}<2$

 

Dạng bài kiểu này hay có trong Nâng cao phát triển , bn có thể tìm và tham khảo 

Cho $a, b, c$ là ba cạnh của một tam giác.

Chứng minh: $\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

 

Do a ; b ; c là 3 cạnh $\Delta \Rightarrow a+b-c > 0 ; b + c - a > 0 ; a + c - b > 0$

AD BĐT phụ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}$ ( bn tự c/m ) , ta có : 

$\frac{1}{a+b-c} + \frac{1}{b+c-a} \geq \frac{4}{a+b-c+b+c-a} = \frac{2}{b}$  (1) 

Tương tự : $\frac{1}{a+b-c} + \frac{1}{a+c-b} \geq \frac{2}{a}$  (2) 

$\frac{1}{b+c-a} + \frac{1}{a+c-b} \geq \frac{2}{c}$  (3)

Từ (1) ; (2) ; (3) , ta có : $2(\frac{1}{a+b-c} + \frac{1}{b+c-a} + \frac{1}{c+a-b}) \geq 2(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})$

$\Rightarrow \frac{1}{a+b-c} + \frac{1}{b+c-a} + \frac{1}{c+a-b} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

Dấu " = " xảy ra <=> a + b - c = b + c - a = c + a - b 

<=> a = b = c 

Vậy ... 

tim cac so x,y nguyen duong thoa man phuong trinh sau:

3x^2+2y^2-7xy+3x-y-47=0        

 

Ta có : $3x^2 + 2y^2 - 7xy + 3x - y - 47 = 0$

$\Leftrightarrow 6x^2 + 4y^2 - 14xy + 6x - 2y- 94 = 0$

$\Leftrightarrow 4y^2 - 14xy + \frac{49}{4}x^2 - 2(2y-\frac{7}{2}x).\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{25}{4}(x^2-2x.\frac{1}{5} + \frac{1}{25}) = 94$

$\Leftrightarrow (2y-\frac{7}{2}x-\frac{1}{2})^2 - \frac{25}{4}(x-\frac{1}{5})^2 = 94$

$\Leftrightarrow (2y-\frac{7}{2}x-\frac{1}{2}-\frac{5}{2}x+\frac{1}{2})(2y-\frac{7}{2}x-\frac{1}{2} + \frac{5}{2}x-\frac{1}{2}) = 94$

$\Leftrightarrow (2y-6x)(2y-x-1) = 94$

$\Leftrightarrow (y-3x)(2y-x-1) = 47$

...

Xét x = 0 => P(0) = P(-1) = 0 

Xét x = 1 => P(1) - P(0) = 1(1+1)(2.1+1) = 6 

=> P(1) = 6

Xét x = 2 => P(2) - P(1) = 2(2+1)(2.2+1) = 30

=> P(2) = 36

Do P(x) bậc 4 nên đa thức P sẽ có dạng : 

P(x) = x(x+1)(2x+1)(ax+b)

Với x = 1 , ta có : 6 = 6(a+b) => a + b = 1  (1) 

Với x = 2 => 36 = 30(2a+b)

=> 2a + b = 6/5 (2)

Từ (1) ; (2) 

=> a = 1/5 ; b = 4/5

=> P(x) = x(x+1)(2x+1)(1/5.x + 4/5)

..............

Chỗ này bn phá ngoặc ra nhé ........

 

Áp dụng : 

S = 1.2.3 + 2.3.5 + .... + n(n+1)(2n+1)

= 1.2.(1.2+1) + 2.3.(2.2+1) + ... + n(n+1)(2n+1)

= P(1) - P(0) + P(2) - P(1) + ... + P(n) - P(n-1) 

= P(n) - P(0) 

= P(n) 

= ... 

đây nx ạ:

(x^2 + y^2)(x + y + 1) = 25(y+1);

x^2 + 2y^2 + xy + x -8y = 9

 

Từ pt (1) : xét : x^2 + y^2 = 0 <=> x = y = 0 

thay x = y = 0 vào pt(1) ko t/m 

xét : x+y+1 = 0 => 25(y+1) = 0 ; x + y = -1

<=> y = -1 ; x = 0 

thay vào pt(2) ko t/m 

Như vậy : x + y + 1 phải khác 0 

$\Rightarrow x^2 + y^2 = \frac{25(y+1)}{x+y+1}$  (1) 

 

pt (2)  <=> x^2 + y^2 + y^2 + xy + x + y - 9y - 9 = 0

<=> x^2 + y^2 + y(x+y) + x + y - 9(y+1) = 0 

<=> x^2 + y^2 + (x+y-9)(y+1), = 0 

<=> x^2 + y^2 = (9-x-y)(y+1) (2)

 

Từ (1) ; (2) có : $\frac{25(y+1)}{x+y+1} = (9-x-y)(y+1)$

$\Leftrightarrow 25(y+1) = (x+y+1)(9-x-y)(y+1)$ 

 

TH 1 : y + 1 = 0 <=> y = -1

Mà  x^2 + y^2 = (9-x-y)(y+1) 

thay vào được : x^2 = -1 (Vô lý)

=> Loại 

TH 2 : y + 1 khác 0 

Khi đó : 25 = (x+y+1)(9-x-y)

<=> 25 = 9(x+y) + 9  - (x+y)^2 - (x+y)

<=> (x+y)^2 - 8(x+y) + 16 = 0 

<=> (x+y-4)^2 = 0 

<=> x + y = 4 

=> x = 4 - y 

Rồi thay vào ...

x^2 - y(x+y) + 1 = 0;

(x^2 + 1)(x + y - 2) + y = 0

 

Mik ngại đánh Telex nên trình bày khá dài ...

Ta có : x^2 - y(x+y) + 1 = 0 (1)

<=> x^2 + 1 = y(x+y) 

(x^2+1)(x+y-2) + y = 0 

<=> y(x+y)(x+y-2) + y = 0 

<=> y[(x+y)(x+y-2) +1] = 0 

<=> y = 0 hoặc (x+y)(x+y-2) + 1 = 0 

<=> y = 0 hoặc (x+y-1)^2 = 0 

<=> y = 0 hoặc x + y = 1 

Xét : y = 0 thay vào pt (1) , ta được : 

x^2 + 1 = 0 

=> x^2 = -1(Vô lý) => Loại

Xét : x + y = 1 

=> y = 1 - x 

Có : x^2 + 1 = y(x+y)

=> x^2 + 1 = y 

<=> x^2 + 1 = 1 - x

<=> x^2 + x = 0 

<=> x(x+1) = 0 

<=> x = 0 hoặc x = -1

Mà y = 1 - x

=> y = 1 hoặc y = 2

Vậy x = 0 ; y = 1 

hoặc x = -1 ; y = 2 

Cho  $\left\{\begin{matrix} x,y> 0\\x+y= 1 \end{matrix}\right.$ Tìm GTNN của

  

$P=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}$

 

Mik chưa học Holder nên giải thế này : 

Dự đoán : x = y = $\frac{1}{2}$

$P = \frac{x}{\sqrt{y}} + \frac{y}{\sqrt{x}} = \frac{x^2}{x\sqrt{y}} + 2x\sqrt{y} + \frac{y^2}{y\sqrt{x}} + 2y\sqrt{x} - (2x\sqrt{y} + 2y\sqrt{x})$

$\geq 2\sqrt{2}.x + 2\sqrt{2}.y - (2x\sqrt{y} + 2y\sqrt{x})$ ( áp dụng BĐT Cô - si ) $= 2\sqrt{2} - (2x\sqrt{y} + 2y\sqrt{x})$  ( do x + y = 1 ) 

Tiếp tục AD BĐT Cô - si , ta có : 

$y + \frac{1}{2} \geq 2\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2y} \Rightarrow \sqrt{y} \leq \frac{y+\frac{1}{2}}{\sqrt{2}} \Rightarrow x\sqrt{y} \leq \frac{xy+\frac{x}{2}}{\sqrt{2}}$ 

Làm tương tự , ta có : $y\sqrt{x} \leq \frac{xy+\frac{y}{2}}{\sqrt{2}}$

Khi đó , P $\geq 2\sqrt{2} - 2(\frac{xy+\frac{x}{2}}{\sqrt{2}} + \frac{xy+\frac{y}{2}}{\sqrt{2}}) = 2\sqrt{2} - 2.\frac{2xy+\frac{x+y}{2}}{\sqrt{2}} \geq 2\sqrt{2} - 2.\frac{\frac{(x+y)^2}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

Dấu " = " xảy ra <=> x = y = 1/2 

Cho a,b,c dương thõa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

 

Chứng minh rằng $\frac{1}{2+a^{2}b}+\frac{1}{2+b^{2}c}+\frac{1}{2+c^{2}a}\geq 1$

 

Ta có : $\frac{1}{2+a^2b} = \frac{1}{2}.\frac{2}{2+a^2b} = \frac{1}{2} . ( 1 - \frac{a^2b}{2+a^2b})$

Do $2 + a^2b = 1 + 1 + a^2b \geq 3\sqrt[3]{a^2b}$ $\Rightarrow 1 - \frac{a^2b}{2+a^2b} \geq 1 - \frac{a^2b}{3\sqrt[3]{a^2b}} = 1 - \frac{\sqrt[3]{a^4.b^2}}{3}$

Mà $\sqrt[3]{a^4.b^2} = a . \sqrt[3]{a.b^2} \leq a.\frac{a+2b}{3} = \frac{a^2+2ab}{3}$

$\Rightarrow 1 - \frac{\sqrt[3]{a^4.b^2}}{3} \geq 1 - \frac{a^2+2ab}{9}$

$\Rightarrow \frac{1}{2+a^2b} \geq \frac{1}{2}(1-\frac{a^2+2ab}{9})$ ( 1 ) 

Làm tương tự , ta có : $\frac{1}{2+b^2c}\geq \frac{1}{2}(1-\frac{b^2+2bc}{9})$  ( 2 ) 

$\frac{1}{2+c^2a}\geq \frac{1}{2}(1-\frac{c^2+2ac}{9})$ ( 3 ) 

 

Từ (1) ; (2) ; (3) $\Rightarrow \frac{1}{2+a^2b} + \frac{1}{2+b^2c} + \frac{1}{2+c^2a} \geq \frac{1}{2}(3-\frac{(a+b+c)^2}{9}) \geq \frac{1}{2}(3-\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{9}) = \frac{1}{2}(3-\frac{3.3}{9}) = 1$

Dấu " = " xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1$