Scarr

Bài 1: Tìm các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn $\frac{a}{b} = \frac{b}{c}$ và $a^{2} + 4c^{2}$ là số nguyên tố

Bài 2: Cho các số nguyên a, b, c khác 0 thỏa mãn a$\neq c$ và $\frac{a}{c} = \frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2} + b^{2}}$. Chứng minh rằng $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ không là số nguyên tố.

Bài 3: Tìm các số nguyên dương a, b thoả mãn $a^{3}+b^{3}-3ab+1$ là số nguyên tố.

Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh BC = 1 và AB = 3. Trên cạnh AB lấy điểm N sao cho 0,2 < AN <1. Đường trung trực của DN lần lượt cắt AD, DC ở E, F. Chứng minh rằng S_EDF $\geq \frac{2\sqrt{3}}{9}$

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn. Từ một điểm M nằm trong tam giác vẽ MD, ME, MF lần lượt vuông góc với bc, ac, ab. Chứng minh rằng max {MA, MB, MC} $\geq$ 2 min { MD, ME, MF} 

Trong đó max {MA, MB, MC} là đoạn thẳng lớn nhất trong ba đoạn MA, MB, MC và min { MD, ME, MF} là đoạn nhỏ nhất trong ba đoạn MD, ME, MF.

Bài 1: Tìm các số nguyên dương $x, y$ thỏa mãn $\sqrt{x}+\sqrt{y}= 1+ \sqrt{x+y+3}$

Bài 2: Cho $a, b, c, d$ là các số hữu tỉ thỏa mãn $P(x)= ax^3+bx^2+cx+d$ có nghiệm là $3+2\sqrt{2}$, chứng minh rằng $P(x)$ chia hết cho đa thức $Q(x)=x^2-6x+1$

Bài 3: Tìm các số nguyên dương $x, y$ thỏa mãn $xy+5y - \sqrt{4y-1}= \frac{7x}{2} - \sqrt{x+1}$

Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=5, √a+√b+√c=3. Tính giá trị biểu thức

M =  $\frac{\sqrt{a}}{a+2} + \frac{\sqrt{b}}{b+2} + \frac{\sqrt{c}}{c+2} - \frac{4}{\sqrt{(a+2)(b+2)(c+2)}}$

Bài 2: Tìm các số thực x$\geq 0$ sao cho E = $\frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-2\sqrt{x}+2}$ nhận giá trị nguyên

Bài 3: Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y-2}=2\\ \sqrt{y+1}+\sqrt{z-3}=3\\ \sqrt{z+5}+\sqrt{x+3}=5 \end{matrix}\right.$

Bài 4: CMR $2 < \sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{2018}}}} <3$

Bài 5: CMR $\sqrt{2\sqrt[3]{3\sqrt[4]{4...\sqrt[2018]{2018}}}} <2$

Bài 1: CMR $5^{7^{n}}$ + $7^{5^{n}}$ $\vdots$ 12 với mọi số tự nhiên n.

Bài 2: CMR nếu các số tự nhiên m, n thỏa mãn 3^m + 5ⁿ chia hết cho 8 thì 3ⁿ + 5^m cũng chia hết cho 8.

Bài 3: Cho các số nguyên dương n, k $\geqslant 2.  Chứng minh rằng n^{k}-1\vdots (n-1)^{2}$ khi và chỉ khi k chia hết cho n-1

Bài 4: CMR với mọi số nguyên dương n>1 thì nⁿ +5n² -11n +5 chia hết cho (n-1)².

Bài 5: CMR nếu các số nguyên dương m, n thỏa mãn 2^m+1 chia hết cho 2ⁿ+1 thì m chia hết cho n.