Bài toán 2 còn có 1 cách giải sử dụng đường trung bình.
Kẻ đường kính $ AK $ của $ (O) $. Gọi $ H $ là trực tâm $ \Delta AMN $, $ T $ là trung điểm $ HK $.
Dễ thấy $ NH // BK $ ( cùng $ \bot AB $ ) mà $ P, T $ là trung điểm $ BN, HK $ nên $ NH // PT // BK $
Mặt khác $ IP // AB $ suy ra $ PT \bot IP $.
Chứng minh tương tự ta có $ OT \bot MN $ , $ IQ \bot QT $
Vậy 5 điểm $ I, O , Q , T, P $ đồng viên.
Suy ra điều phải chứng minh.
Mở rộng : $ \Delta ABC $, $ d $ bất kì đi qua $ ( O ) $ cắt $ ( O ) , AB, AC $ lần lượt tại $ X, Y, M, N $. Gọi $ J, I , P , Q $ là trung điểm $ XY, MN, BN, CM $. Khi đó $ JINM $ nội tiếp.
( P/S mình bổ sung thêm qui định đó là sau 3 ngày bài toán đề xuất không có lời giải thì người up có thể up lời giải cho mn cùng tham khảo, tránh tình trạng bí cục bộ , người up vẫn sẽ đề xuất bài tiếp theo. )
Trung điểm XY ?? PQ có bị thừa ??