Đến nội dung

NeverDiex

NeverDiex

Đăng ký: 23-07-2019
Offline Đăng nhập: 08-08-2019 - 21:12
-----

#724248 Chứng minh rằng tồn tại ít nhất $1$ số trong $r$ số nguyê...

Gửi bởi NeverDiex trong 26-07-2019 - 10:55

Giả sử s=2a5bms=2a5bm với a,b0a,b≥0 và gcd(m,10)=1gcd(m,10)=1.

Theo định lý Euler \begin{align*}
10^{\phi(m)}& \equiv 1 \mod m\\
10^{2\phi(m)}& \equiv 1 \mod m\\
\ldots&\\
10^{m\phi(m)}& \equiv 1 \mod m
\end{align*}
Đặt T=10ϕ(m)+102ϕ(m)++10mϕ(m)T=10ϕ(m)+102ϕ(m)+⋯+10mϕ(m) thì T0modmT≡0modm và TT có tổng các chữ số bằng mm (vì nó chứa các chỉ chứa các chữ số 00 và mm chữ số 11).

Gọi n=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯TTT00n=TT…T0…0¯ gồm 2a5b2a5b số TT viết cạnh nhau, và viết thêm max(a,b)max(a,b) chữ số 00 ở cuối. 

Rõ ràng nn có tổng các chữ số bằng s=2a5bms=2a5bm và chia hết cho sns∣n.
------------------------------
Lấy ví dụ s=12 thì n=48. Từ đó ta đề xuất bài toán khó hơn.
Cho số nguyên dương ss, tìm số nguyên dương nn nhỏ nhất có tổng các chữ số bằng ss và sns∣n