Em có tìm thấy hướng đi này trên mạng: ta có với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và không biểu diễn được trong hệ cơ số n thì $\frac{a}{b}= \frac{a}{b}=\sum_{k=1}^{\infty }\frac{r}{n^{gk}}$ với r là chu kì tuần hoàn của phần thập phân của $\frac{a}{b}$ khi biểu diễn qua hệ cơ số n và g là số chữ số của r khi biễu diễn qua hệ cơ số n. Gọi $n^{g}=x$ ta được $\frac{a}{b}=\sum_{k=1}^{\infty }\frac{r}{x^{k}}= r\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{x^{k}}$
Ta dùng kết quả quen thuộc sau $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{n^{k}}=\frac{1}{n-1}$
vậy $\frac{a}{b}=\frac{r}{x-1}=\frac{r}{n^{g}-1}$. Như vậy để tìm $\frac{a}{b}$ là không biểu diễn được trong hệ cơ số n thì chỉ cần a;b sao cho tồn tại g và r thỏa $\frac{a}{b}=\frac{r}{n^{g}-1}$. Từ đây ta dễ dàng giải quyết tất cả các vấn đề trong bài toán trên.
Có một thiếu sót cho bài trên; xin bổ sung thêm điều kiện là $\frac{a}{b}$ phải nhỏ hơn 1 và chỉ dùng cho một vài phân số