Mr handsome ugly

Em có tìm thấy hướng đi này trên mạng: ta có với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và không biểu diễn được trong hệ cơ số n thì $\frac{a}{b}= \frac{a}{b}=\sum_{k=1}^{\infty }\frac{r}{n^{gk}}$ với r là chu kì tuần hoàn của phần thập phân của  $\frac{a}{b}$ khi biểu diễn qua hệ cơ số n và g là số chữ số của r khi biễu diễn qua hệ cơ số n. Gọi $n^{g}=x$ ta được $\frac{a}{b}=\sum_{k=1}^{\infty }\frac{r}{x^{k}}= r\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{x^{k}}$

Ta dùng kết quả quen thuộc sau $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{n^{k}}=\frac{1}{n-1}$

vậy $\frac{a}{b}=\frac{r}{x-1}=\frac{r}{n^{g}-1}$. Như vậy để tìm $\frac{a}{b}$ là không biểu diễn được trong hệ cơ số n thì chỉ cần a;b sao cho tồn tại g và r thỏa $\frac{a}{b}=\frac{r}{n^{g}-1}$. Từ đây ta dễ dàng giải quyết tất cả các vấn đề trong bài toán trên.

Có một thiếu sót cho bài trên; xin bổ sung thêm điều kiện là $\frac{a}{b}$ phải nhỏ hơn 1 và chỉ dùng cho một vài phân số

Anh Bản bớt nóng Bạn này mới làm quen với đa thức, chưa hệ thống được kiến thức nên hỏi vu vơ thôi.

Giờ em mới hiểu ra; cảm ơn các anh; anh perfectstrong có thể xóa TOPIC giúp em được không ạ.

Bài đăng hỏi tồn tại T và L không thì mình chỉ ra rồi đó.
P/S: mình không hiểu tại sao bạn lại đi đến câu hỏi này vì nó không liên quan gì đến đa thức ở đây. Mình đoán là bạn đọc một ai đó áp dụng toán cao cấp vào toán sơ cấp, vì không hiểu từ đâu mà ra hoặc không hiểu lý thuyết, nên không biết câu hỏi nào có nghĩa. Bây giờ bạn có G+Q= P mod q thì tất nhiên phải có L và T sao cho L=G mod q, T=Q mod q bởi vì nó chính là định nghĩa! G+Q=P mod q theo định nghĩa thì tồn tại H sao cho G+Q=P+qH. Vậy thì không phải chọn L=G, T=Q-qH là xong à. Nhưng mình muốn nhấn mạnh rằng đây không phải một bài toán. Nó không giúp giải quyết bất cứ vấn đề gì cả. Mọi bài toán thuần túy về đa thức mà bạn được học cơ bản vẫn chỉ là những vấn đề như khả quy, bất khả quy, nghiệm của đa thức. Lý thuyết thêm vào cũng chỉ để phục vụ mục đích đó thôi chứ không thể thay đổi bộ mặt của vấn đề được. Câu hỏi của bạn không liên quan đến đa thức và học sinh cấp 2 cũng trả lời được vì nó y hệt bạn hỏi cho hai số x,y,z nếu có x+y=z mod q thì có x',y' sao cho x'+y'=z và x=x' mod q, y=y' mod q và khi học thặng dư đủ lâu thì chắc ai cũng thấy điều đó hiển nhiên, và thậm chí bây giờ mình phát hiện ra nó còn chẳng liên quan gì tới tính nguyên tố của q ở đây. Mình xin lỗi không thể thể hiện thái độ khác được bạn đang đặt câu hỏi về sự tồn tại của một thứ hiển nhiên. Trong nhiều năm chất lượng của diễn đàn không cao nhưng chắc chắn mục đa thức cũng không thể xuất hiện câu hỏi thế này được.

Dạ vâng thực lòng xin lỗi anh em có một vài bất cẩn khi đánh đề dẫn đến việc nhầm lẫn; bản thân em cũng rất tệ trong việc trình bày một ý tưởng thành một bài toán hoàn chỉnh ( em đã sửa lại đề ạ) nên em xin phép trình bày lại ý tưởng của mình: trong lúc học về đa thức bất khả quy thì có một tính chất như sau: Cho q là số nguyên tố; P(x) là một đa thức hệ số nguyên và nếu có hai đa thức G(x) và Q(x) sao cho $G(x)+Q(x)=P(x)$ thì $\overline{P(x)}_{q}=\overline{G(x)}_{q}+\overline{Q(x)}_{q}$. Thì em thắc mắc Liệu nếu lật ngược tính chất trên lại:Lúc đầu ta cho 1 đa thức P(x) cố định trước; tiếp theo cho hai đa thức L(x) và T(x) đều có hệ số nguyên bất kì sao cho $\overline{P(x)}_{q}=T(x)+L(x)$ thì liệu có luôn tồn tại hai đa thức G(x) và Q(x) thỏa G(x)+Q(x)=P(x) nhưng $T(x)\neq \overline{G(x)}_{q}; \overline{Q(x)}_{q}$ và tương tự $L(x)\neq \overline{G(x)}_{q}; \overline{Q(x)}_{q}$. Không rõ cách trình bày câu hỏi của em ở trên có gây nhầm lẫn gì không nếu có sai sót mong anh góp ý ạ; em xin cảm ơn!

Có vấn đề gì khi lấy G=L, Q=T?

anh có thể giải tích rõ giúp em hơn được không ạ; em xin cảm ơn

Lấy $G=1, Q=1-q, P=0$ là không có luôn rồi (xét $Q=\overline{R}_q$)?!  Đề nó cứ kỳ kỳ sao ý

Em nghĩ nên đổi đề thành tìm đa thúc P(x) và số nguyên tố q  thành sẽ hợp lí hơn   ; không biết anh nghĩ sao?