Mr handsome ugly

Chào các bạn; TOPIC này được lập ra với mục đích tổng hợp các bổ đề; định lý hay "mẹo vặt"  thông dụng; phổ biến hoặc hữu ích; cụ thể hơn là nhưng kinh nghiệm trong việc giải toán olympic số học để giúp mọi người tiếp cận với số học olympic dễ dàng hơn; mình không mong TOPIC sẻ sôi đông nhưng mong nó sẽ có hữu ích cho mọi người cũng như thế hệ sau của VMF. Sau đây là nội quy TOPIC:

 

1. KHÔNG SPAM; LÀM LOÃNG TOPIC 

 

2,KHÔNG GIẢI VÀ ĐĂNG CÁC BÀI TOÁN VÀO ĐÂY

 

3.TRÌNH BÀY KHOA HỌC; SÚC TÍCH NẾU ĐƯỢC SAU MỖI BÀI VIẾT HÃY THÊM MỘT VÀI VÍ DỤ GIÚP NGƯỜI ĐỌC DỄ HIỂU.

 

4.NẾU ĐĂNG BÀI THÌ HÃY GHI TÊN ĐỊNH LÝ HAY "MẸO VẶT" THÀNH TIÊU ĐỀ BÀI VIẾT VÀ IN ĐẬM.

 

Sau đây là màn "chào sân" của mình :

 

   Cách giải quyết các bài toán dạng $n\mid a^{n}-1$

Trong các kì thi olympic toán thì các bài toán liên quan đến dạng $n\mid a^{n}-1$ rất phổ biến; điển hình là bài số học trong kì thi TST 2020 hay bài số học trong kì thi chọn đội tuyển KHTN Hà Nội 2020-2021 (các bạn có thể search google để biết thêm). Ta có một một bổ đề rất thông dụng cho loại bài này như sau: 

Cho n nguyên dương $(n\geq 2)$ thỏa $n\mid a^{n}-1$ thì a-1 chia hết cho số nguyên tố nhỏ nhất của n.

Sau đây là một vài hệ quả của bổ đề trên:

1.Không tồn tại n nguyên dương lớn hơn 2 để $n\mid 2^{n}-1$

2. Cho p là một số nguyên tố và thỏa $p\mid a^{p}-1$ thì a-1 chia hết cho p 

 

Ví dụ cho sự hiệu quả của bổ đề trên bạn đọc có thể tìm tới bài số học trong IMO 1994; bài số trong TST 2020 hay các bài toán LTE; bổ đề trên sẽ là một công cụ rất mạnh nếu kết hợp cùng với định lý LTE trong các bài toán LTE.

 

P/S: Bài viết này mình viết khá sơ sài nhưng sẽ bổ sung cho nó thêm hay hơn trong một ngày không xa ( thật ra mình bận)

 

LƯU Ý: Cần có kiến thức nền cơ bản về cấp của số và LTE nếu muốn đọc phần này  

 

$ta có  p+q=x^{2}

p+4q=y^{2}

=>(y-x)(y+x)=3q

ta có

q=2

=>p+2=x^2, p+6=y^2

=>4=(y-x)(y+x) q=3

=>(y-x)(y+x)=9 q>3

=>((y-x),(y+x))=d

=>2y\vdots d 3q\vdots d

=>d=1

=>y-x=3,y+x=q

=>p=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)

=>x=4

=>p=5

=> ta tìm được q$

 

 

 

 

 

 $\frac{n^2-1}{m^2-n^2+1} \euro Z<=> \frac{n^2-1}{m^2-n^2+1}+1 \euro Z<=> m^{2}=k(n^{2}-1)$

            +) $n=1=>m^2-n^2+1=m^2$ (đfcm)

              +) $n\neq 1=>n^{2}-1$ chẵn => m chẵn (sai với giả thiết)

 

 

                      $pt<=>2q=(p^{2}-2pq+q^{2}-1)(p-q)$ 

            Dễ c/m p>q 

 +)  $q=2=>...$

 +)   Với (2,q)=1 => .... => p=5,q=3

Mong các bạn chỉnh sửa lại lỗi latex cho bài viết được hoàn chỉnh riêng bài giải bài 91 nên được gõ rõ ràng ra cho dễ hiểu (tránh làm tắc nhé em   ) 

Sau đây là một vài bài mới của TOPIC: 

 

Bài 105: Tìm 2 số nguyên tố p;q sao cho $p^{2}-q+2q^{2}$ và $2p^{2}+pq+q^{2}$ nguyên tố cùng nhau

 

Bài 106: Chứng minh rằng $5^{3n+2}+2^{2n+3}$ chia hết cho 11 với mọi số tự nhiên n 

 

Bài 107:Cho số tự nhiên n và số p nguyên tố sao cho p-1 chia hết cho n và $n^{3}-1$ chia hết cho p. Chứng minh rằng n+p là số chính phương.

 

Bài 108: a) Giải phương trình nghiệm nguyên dương x!+y!=(x+y)!

              b) Giải nghiệm nguyên dương $x!+y!+z!=u!$

Em xin được nêu ý kiến của em sau đây:

Về câu hỏi làm sao để thu hút học sinh làm toán và khoa học thì em nghĩ tốt nhất vẫn là những bài viết về lịch sử toán học hoặc các bài giảng đại chúng của toán học; bản thân em đến với toán học là nhờ cuốn "định lý cuối cùng của fermat" do TS Lê Quang Ánh viết. 

 

Còn việc làm toán olympic bản thân em đôi khi cũng rất ghét các bài thi HSG; nhiều bài trong số đó khá là mưu mẹo điển hình là dãy số hay bước nhảy vi-et trong số học. Em thắc mắc tại sao tại lại không cho các em học sinh những bài toán lý thuyết cổ điển trong toán học như việc học cuốn "lý thuyết sơ cấp của các số" của Sierpinski

Co anh chị nào có tài liệu nào về giải tích để thi VMO không ạ; ý em là thuần giải tích giống như bài 1 VMO 2019 ấy ạ

Cho f(x) là hàm liên tục trong khoảng [a;b] và $a\leq f(x)\leq b\forall x\in [a;b]$. Chứng minh rằng tồn tại $x_{o}\in [a;b]$ sao cho $f(x_{0})=x_{o}$

Câu 2: $2)$ (Cách 1) $(q+p)^p = (q-p)^{2q-1}$ (1)

Dễ dàng thấy được  từ phương trình (1).
Gọi $d=GCD(p;2q-1)$. Vì $d|p$ và $p$ là số nguyên tố, ta có $d=1$ hoặc $d=p$.
Ta chia 2 trường hợp
Trường hợp 1: $d=1$. Do đó tồn tại 2 số nguyên dương $u$ và $v$ sao cho.
.
Do đó từ phương trình (2)
,
hay nói cách khác là $4^{q-1}<q$, điều này là không thể vì $q \geq 3$. Điều mâu thuẫn này dẫn đến phương trình (1) vô nghiệm.
Trường hợp 2: $d=p$. Do đó tồn tại một số nguyên dương  sao cho: $2q-1=(2r+1)p$. Vì vậy từ phương trình (1) ta có
.
Hơn nữa ta lại có:
 và ,
thay vào phương trình (3) ta sẽ có:
.
Đặt . Từ phương trình (4) ta có:
, vì vậy ta lại có thêm được
,
Suy ra $p|3$, hay $p=3$, là một nghiệm của phương trình (5). Do đó , suy ra $q=5$.
Nên $(p,q)=(3;5)$ là nghiệm của phương trình (1).
Giả sử $r \geq 2$. Từ phương trình (4) suy ra
,
điều đó cho ta được 
.
Vì vậy phương trình trên vô nghiệm với $r \geq 2$.
Vậy $(p,q)=(3;5)$.

Mình nghĩ không cần dài vậy đâu 

Xét p khác q; để ý ta thấy (p-q; p+q)=2 mà theo đề bài thì p+q và p-q phải có cùng tập ước nguyên tố nên... (đoạn này mình xin gợi ý thế thôi ) 

Xét q=p ; cái này thì dễ rồi ...

Sau đây là một vài bài mới cho TOPIC: 

 

Bài 92: Cho n+1 số nguyên dương $a_{1};a_{2};...;a_{n+1}$ sao cho $1\leq a_{i}\leq 2n$ với i=1;2;...;n+1 và các số nguyên dương này đều có dạng $2^{k}r_{i}$ trong đó k nguyên dương và cố định đối với mọi $a_{i}$ còn $r_{i}$ là số lẻ bất kì. Chứng minh rằng tồn tại hai số $i;j$ nguyên dương sao cho $a_{i}=a_{j}$ với $n+1\geq j>i\geq 1$

 

Bài 94: Tìm a;b nguyên dương và a;b nguyên tố cùng nhau sao cho $(a+b)^{a}=(a-b)^{2b-1}$

 

Bài 95: Tìm x nguyên dương sao cho $x^{m}+x^{n}+1$ là số nguyên tố biết $3\mid mn-1$ và $m\neq n$ ; m,n nguyên dương

 

P/S: Xin lỗi các bạn mình có gõ thiếu đề bài 92 ở đoạn cuối; chân thành xin lỗi các bạn

 

*Mình cũng xin tư vấn cho các bạn một vài tài liệu số học tốt mà mình biết: 4 chương đầu và chương cuối của chuyên đề số học VMF (cần biết đọc một cách chọn lọc sao cho phù hợp thi chuyên) và  đoạn đầu chương 1 của cuốn "lý thuyết số sơ cấp" của W. SIERPINSKI https://lovetoan.wor...cap-cua-cac-so/ . Về lý thuyết; bạn đọc cuốn của  W. SIERPINSK còn về bài tập các bạn có thể lấy trong chuyên đề số học VMF ; dĩ nhiên đó không phải tất cả nhưng rất phù hợp cho những bạn không giỏi về số học mà muốn lấy trọn điểm phần này

Liệu ta có thể chứng minh được rằng không thể chứng minh $\sqrt{2}$ là số vô tỷ nếu không dùng phản chứng

Bài 1a): Ta có thể thấy được khi biểu diễn f(x) lên mặt phẳng Oxy thì f(x) luôn nằm trên trục hoành và vì f(x) liên tục cũng như $\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=0$ nên ta có thể tưởng tượng f(x) như cái parabol úp ngược có đầu nhú lên còn hai đầu kia thì kéo dài tới $+\infty$ và $-\infty$ ( cái này chỉ tưởng tượng thôi chứ không nhất thiết f(x) có hình dạng như thế) như vậy f(x) luôn tồn tại GTLN ( sai sót gì mn sửa giúp mình nha   )

 

Ý tưởng cho câu 1b): Mình nghĩ nên chọn hai dãy sao cho 2 dãy này tiếp cận nhau và hội tụ tại GTLN của f(x)

 

P/S: hưởng ứng phong trào giải quyết hết tất cả bài toán trên diễn đàn của bạn pcovietnam02   

Mình xin đưa ra một vài gợi ý cho các bạn về bài 88b) và 90: 

 

Bài 88b): Nếu các bạn để ý sẽ thấy giá trị tuyệt đối của tổng các số nguyên thương sẽ nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của chúng

 

Bài 90: a) Dùng quy nạp; mình từng đăng một bài tương tự như vậy trong TOPIC cách đây không lâu bài này chỉ đơn giản là thay số để gợi ý cho câu b)

            b)Dùng quy nạp nhưng sẽ phải triển khai nhị thức Newton; các bạn chọn n sao cho tương tự với câu a) để quy nạp

 

P/S: Còn bài 85 thì mình nghĩ không khó đến nỗi cần gợi ý chỉ cần các bạn để ý một chút là sẽ ra   

Bài 5: Tìm đa thức P(x) sao cho thỏa đồng nhất thức sau: $P(x^{2}-2x)\equiv [P(x-2)]^{2}$

P/S: nếu bạn "chủ thớt" cảm thấy bài toán này không phù hợp với TOPIC thì bạn hãy xóa bài này đi 

Sau đây là một vài bài tiếp theo cho TOPIC:

 

Bài 88: a) Tìm x;y;z nguyên sao cho $x+y+z=xyz$

            b) Tìm n số nguyên $a_{1};a_{2};...;a_{n}$ sao cho $\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\prod_{k=1}^{n}a_{k}$

 

Bài 89: Tìm n nguyên dương và các số nguyên tố $p_{1};p_{2};...;p_{n}$ thỏa $(p_{1}-1)^{2}(p_{2}-1)^{2}...(p_{n}-1)^{2}\mid (p_{1}p_{2}...p_{n})^{2}+1$

 

Bài 90: a) Chứng minh rằng tồn tại vô số n nguyên dương sao cho $n\mid 13^{n}-1$ với n có dạng $2^{k}$ hoặc $3^{k}$

             b) Chứng minh rằng với mọi $a$ nguyên dương (a>2) thì tồn tại vô hạn các số n nguyên dương sao cho $n\mid a^{n}-1$.

 

P/S: Bài đợt này có khó đôi chút để các bạn từ từ giải; mình sẽ cố gắng update dần các bài khác lên sau với mức độ nhẹ nhàng hơn   

câu số học nếu bạn nào tinh ý sẽ để ý thấy vế trái nhỏ hơn vế phải; mình xin đưa ra một bài tổng quát hơn cho bài 3a) Tìm x;y;z nguyên sao cho $x+y+z=xyz$

Một bài tổng quát hơn nữa   : Tìm n số nguyên $x_{1};x_{2};...;x_{n}$ sao cho $\sum_{k=1}^{n}x_{k}=\prod_{k=1}^{n}x_{k}$

Bình phương 2 vế rồi đưa về bài toán phương trình bậc 2 tham số a quen thuộc rồi dùng delta.

Anh xin đóng góp ý kiến của anh như sau: anh nghĩ lớp 9 nên học biến đổi đại số thật tốt; cách tốt nhất là rèn các bài tính giá trị biểu thức hoặc biến đổi biểu thức; việc này sẽ có tác động lớn đến nhiều lĩnh vực như BĐT hay các bài toán THCS chưa kể là cấp 3 về sau. Còn hình học thì buộc phải học vì nó rất quan trọng ( các  định lý cơ bản như Ceva hay menelaus chẳng hạn). Đó là suy nghĩ và kinh nghiệm của anh nhưng do tỉnh anh thi HSG 9 khá nhẹ nhàng và không có nhiều quái vật như trên Hà Nội hay TPHCM nên em hãy tiếp nhận một cách có chọn lọc   .