Mr handsome ugly

Cho $n$ là một số nguyên dương và phân tích thừa số nguyên tố của $n$ là $n=\prod_{i=1}^{f}p_{i}^{k_{i}}$ biết $k_{i}$ là nguyên dương với mọi i nguyên dương thoả $f\geq i\geq 1$ và f cũng nguyên dương. Đặt $d=[\varphi (p_{1}^{k_{1}}),\varphi (p_{2}^{k_{2}}),...,\varphi (p_{f}^{k_{f}})]$ và phân tích thừa số nguyên tố của $d$ là $\prod_{t=1}^{H}q_{t}^{m_{t}}$ biết $m_{t}$ là nguyên dương với mọi t nguyên dương thoả $H\geq t\geq 1$ và f cũng nguyên dương. Cho $a$ là một số nguyên dương thoả $a$ nguyên tố cùng nhau với $n$. Chứng minh rằng luôn tồn tại và duy nhất hai bộ số nguyên dương $(u_{1},..,u_{H})$ và $(L_{1},..,L_{H})$ sao cho $a\equiv \prod_{t=1}^{H}u_{t}^{L_{t}}$ trong đó $ord_{n}(u_{t})=q_{t}^{m_{t}}$ và $L_{t}\mid q_{t}^{m_{t}}$ với mọi t thoả $H\geq t\geq 1$ .

*Câu hỏi ngoài lề: Mọi người cho em hỏi theo như bài toán trên thì tập tất cả các phần tử u thoả $ord_{n}(a)=q_{t}^{m_{t}}$ với mọi t thoả t $H\geq t\geq 1$ có phải tập sinh của nhóm nhân các phần tử thuộc $\mathbb{Z}_{n}$ nguyên tố cùng nhau với n không ạ ?

Lấy $G=1, Q=1-q, P=0$ là không có luôn rồi (xét $Q=\overline{R}_q$)?!  Đề nó cứ kỳ kỳ sao ý

Em nghĩ nên đổi đề thành tìm đa thúc P(x) và số nguyên tố q  thành sẽ hợp lí hơn   ; không biết anh nghĩ sao?

Cho một đa thức $P(x)\in \mathbb{Z}[x]$ và q là một số nguyên tố; ta kí hiệu $\overline{P(x)}_{q}$là đa thức $P(x)$ sau khi rút gọn các hệ số theo modulo q. Liệu có tồn tại 2 đa thức $G(x)$ và $Q(x)$ thuộc $\mathbb{Z}[x]$ thỏa $G(x)+Q(x)=\overline{P(x)}_{q}$ sao cho không tồn tại hai đa thức $T(x)$ và $L(x)$ thuộc $\mathbb{Z}[x]$ thỏa $L(x)+T(x)=P(x)$ và $G(x)\neq \overline{L(x)}_{q}$ và $Q(x)\neq \overline{T(x)}_{q}$ với mỗi đa thức $P(x)$ và số nguyên tố $q$ cho trước

Hãy tính $S=\sum_{i=1}^{\infty }\frac{1}{p_{i}}$ với $p_{i}$ là số nguyên tố thứ $i$

Chứng minh rằng mọi đa thức với hệ số thực và có bậc lớn hơn 2 đều khả quy trên $\mathbb{R}[x]$.

Bài 44: Cho một góc $\widehat{xOy}$ trên một mặt phẳng ( góc này nhỏ hơn 180 độ) và một điểm A nằm trong góc này. Chứng minh rằng luôn tồn tại điểm B và C biết B thuộc dường thẳng 0x và C thuộc dường thẳng Oy sao cho A là trung điểm BC và liệu có tồn tại vô hạn các cặp điểm (B;C) khác nhau như vậy không.

P/S: Bạn nào vẽ hình giúp anh với; anh không biết vẽ bằng máy tính (

Em mong có ai đó có thể đăng bài khởi động topic này; bản thân em đang rất mong chờ về nó!

Câu a thì là phép nghịch đảo modula quen thuộc ( cái này bạn search google sẽ có) nhưng mình không rõ lắm về tính duy nhất của $x_{k}$ cái này bạn google xem lại giúp mình.

Câu b mình nghĩ đề nên là $\sum_{1}^{p-1}\frac{kx_{k}-1}{p}\equiv \frac{p-1}{2}(modp)$ ; câu này mình không biết làm.

Xét $n$ có 2 ước nguyên tố trở lên; ta phân tích $n$ thành dãy thừa số nguyên tố $p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}...p_{y}^{a_{y}}$ với $y$ là số ước nguyên tố của n và $p_{1};p_{2};...;p_{y}$ là các ước nguyên tố của $n$ đôi một khác nhau. Ta dễ dàng thấy $p_{i}^{a_{i}}$ với $i$ nguyên dương bất kì và $i\leq y$ mà $p_{i}^{a_{i}}\neq p_{j}^{a_{j}}$ với i khác $j$và $j$ nguyên dương $(j<i)$ nên tập hợp các số ${p_{1}^{a_{1}};p_{2}^{a_{2}};...;p_{y}^{a_{y}}}$ là một tập hập con của tập hợp ${1;2;...;n-1}$. Từ đây suy ra ĐPCM.

 Xét $n$ có một ước nguyên tố $p$ thì $n$ có dạng $p^{k}$ với $k$ là số nguyên dương lớn hơn 1. Tương tự như trên ta cũng có $p^{k-1}<n$ và $p<n$ mà $p$ và $p^{k-1}$ khác nhau nên suy ra ĐPCM.

Vì bài 128 là một bài khá lạ và nó thuộc về cấp 3 nên mình xin đưa ra một gợi ý như sau: Sử dụng tính chất nếu $a$ nguyên tố cùng nhau với $n$ thì $n-a$ cũng nguyên tố cùng nhau với $n$ .

Những bài còn lại vẫn thuộc về mảng kiến thức của THCS nên mình xin phép không đưa ra gợi ý nhưng xin được nói về nguồn của các bài đó: bài 129 là câu số học trong đề thi toán vòng 2 của trường chuyên PBC còn bài 133 là một bài thuộc mục toán THCS của tạp chí PI ( mình không nhớ rõ là số mấy); bài 132 là một bài cũ trong TOPIC ôn số học chuyên năm học 2019-2020.

Những bài tiếp theo cho TOPIC đây các bạn! 

Bài 127: Cho $M=a^{2}+3a+1$ với $a$ nguyên dương 

a) Chứng minh rằng mọi ước số của $M$ đều lẻ

b) Tìm $a$ sao cho M chia hết cho 5. Với giá trị nào thì $M$ là lũy thừa của 5 

Bài 128: Cho $n$ là số nguyên dương lớn hơn 5 . Chứng minh rằng số các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với $n$ và không vượt quá $n$ luôn là số chẵn ( tính luôn cả số 1) .

Bài 129: Tìm các số nguyên $x;y$ sao cho $xy+2\mid x^{2}-2$

Bài 130: Cho $a;b$ là các số nguyên dương thỏa $ab\mid a^{2}+b^{2}$  . Tìm tất cả giá trị có thể có của $\frac{a^{2}+b^{2}}{2ab}$

*Nếu được hãy giải cho trường hợp $a;b$ nguyên 

Bài 131: Số nguyên dương $n$ được gọi là điều hòa nếu tổng các bình phương của các ước nguyên dương của nó ( kể cả $1$ và $n$ ) đúng bằng $(n+3)^{2}$

a) Chứng minh rằng 287 là số điều hòa 

b) Chứng minh rằng số $n=p^{3}$ với $p$ là số nguyên tố lẻ không phải là số điều hòa

c) Chứng minh rằng nếu $n=pq$ với $p;q$ là 2 số nguyên tố là số điều hòa thì $n+2$ là số chính phương 

Bài 132: Tìm các số $x;y$ nguyên dương sao cho $(y-1)!+1=y^{x}$

Bài 133: Tìm số $n$ nguyên dương lớn hơn 1 bé nhất sao cho với mọi số thực $x\geq 2$ ; nếu $[x^{2}];[x^{3}];...; [x^{n}]$ là số chính phương thì $[x]$ cũng là số chính phương biết kí hiệu $[x]$ là số nguyên lớn nhất sao cho $[x]<x$.

Góp cho các bạn một bài hay nhưng dễ: 

Bài 125: Hỏi có bao nhiêu cách phân tích số 2019 thành tổng của các số tự nhiên liên tiếp.

*Nếu được hãy giải quyết luôn trường hợp tổng quát: Hỏi có bao nhiêu cách phân tích số nguyên dương $n$ thành tổng của các số tự nhiên liên tiếp.

P/S: Vì dạo này mình khá bận nên không đăng bài nhiều cho các bạn được; mong thời gian tới các bạn tự quản lí TOPIC mình sẽ cố gắng hết sức đăng bài khi rảnh !

Cho p là một số nguyên tố lẻ và a là một số nguyên dương không chia hết cho p. Chứng minh rằng với mỗi số $a$ bất kì cố định thì luôn tồn tại 2 số tự nhiên $x$ và $y$ sao cho $x^{2}+y^{2}\equiv a(modp)$    

Cho a;b;x;y nguyên dương sao cho $a\neq b\neq x\neq y$ và cả 4 số trên đều lớn hơn 3 và $a^{x}>b^{y}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $a^{x}-b^{y}$

Một bài tổng quát hơn: Cho $a;b;x;y;n$ nguyên dương sao cho $a\neq b\neq x\neq y$ và cả 4 số trên đều lớn hơn n ( biết n>2) và $a^{x}>b^{y}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $a^{x}-b^{y}$ với mỗi giá trị cố định cho trước bất kì của n 

P/S: Đây là bài toán em tự thắc mắc nên đăng lên để hỏi mọi người chứ không lấy từ nguồn nào cả ạ!

Dạ em có 2 ý kiến như sau:

1. Liệu các anh có thể viết thêm về lý thuyết trường vành cho học sinh cấp 3 được không ạ; em thấy cấp 3 chuyên cũng có nói sơ qua nhưng em muốn được tìm hiểu sâu hơn về phần này; đặc biệt là các ứng dụng trong số học hay; đại số hay các các mảng toán khác.

2. Hiện nay em thấy nhiều bài toán số học olympic đều có đề rất dài; được cho nhiều dữ kiện ; thay vì đó sao chúng ta không ra những bài toán số học với một đề bài ngắn gọn; súc tích hơn vì vẻ đẹp của số học sơ cấp theo em biết vốn được tạo nên bởi sự đơn giản của nó ( định lý fermat lớn chẳng hạn ạ   ); em nghĩ như vậy mới thu hút được học sinh làm số học.

P/S: Mong các anh cho ý kiến ạ