Đến nội dung


Mr handsome ugly

Đăng ký: 18-03-2021
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 18:19
*****

Chủ đề của tôi gửi

Chứng minh rằng với mỗi số thực $k\in (0;1)$ luôn tồn tại a; b biết 1...

04-05-2021 - 17:53

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng $[0;1]$ và $f(0)=f(1)=0$ và $f(x)>0\forall x\in (0;1)$ . Chứng minh rằng với mỗi số thực $k\in (0;1)$ thì luôn tồn tại hai số thực a và b biết 1>a;b>0 sao cho $f(a)=f(b)$ và $\left | a-b \right |=k$


CM: $\exists x;y\in \mathbb{Z}:x^{2}+y^{2...

28-04-2021 - 18:14

Cho p là một số nguyên tố lẻ và a là một số nguyên dương không chia hết cho p. Chứng minh rằng với mỗi số $a$ bất kì cố định thì luôn tồn tại 2 số tự nhiên $x$ và $y$ sao cho $x^{2}+y^{2}\equiv a(modp)$    


Tìm tất cả $n\in \mathbb{N}$ thỏa bất kì số chính phương...

24-04-2021 - 15:07

Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho với bất kì số chính phương nào khi chia cho $n$ đều sẽ nhận được số dư là một số chính phương.

 

P/S: Nếu thay đề bài từ chính phương thành lũy thừa của một số bất kì thì liệu có giải quyết được không ?


Tim Min của $a^{x}-b^{y}$ khi biết $a\neq b...

23-04-2021 - 19:45

Cho a;b;x;y nguyên dương sao cho $a\neq b\neq x\neq y$ và cả 4 số trên đều lớn hơn 3 và $a^{x}>b^{y}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $a^{x}-b^{y}$

 

Một bài tổng quát hơn: Cho $a;b;x;y;n$ nguyên dương sao cho $a\neq b\neq x\neq y$ và cả 4 số trên đều lớn hơn n ( biết n>2) và $a^{x}>b^{y}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $a^{x}-b^{y}$ với mỗi giá trị cố định cho trước bất kì của n 

 

P/S: Đây là bài toán em tự thắc mắc nên đăng lên để hỏi mọi người chứ không lấy từ nguồn nào cả ạ!


Các bổ đề và mẹo giải toán số học

21-04-2021 - 11:59

Chào các bạn; TOPIC này được lập ra với mục đích tổng hợp các bổ đề; định lý hay "mẹo vặt"  thông dụng; phổ biến hoặc hữu ích; cụ thể hơn là nhưng kinh nghiệm trong việc giải toán olympic số học để giúp mọi người tiếp cận với số học olympic dễ dàng hơn; mình không mong TOPIC sẻ sôi đông nhưng mong nó sẽ có hữu ích cho mọi người cũng như thế hệ sau của VMF. Sau đây là nội quy TOPIC:

 

1. KHÔNG SPAM; LÀM LOÃNG TOPIC 

 

2,KHÔNG GIẢI VÀ ĐĂNG CÁC BÀI TOÁN VÀO ĐÂY

 

3.TRÌNH BÀY KHOA HỌC; SÚC TÍCH NẾU ĐƯỢC SAU MỖI BÀI VIẾT HÃY THÊM MỘT VÀI VÍ DỤ GIÚP NGƯỜI ĐỌC DỄ HIỂU.

 

4.NẾU ĐĂNG BÀI THÌ HÃY GHI TÊN ĐỊNH LÝ HAY "MẸO VẶT" THÀNH TIÊU ĐỀ BÀI VIẾT VÀ IN ĐẬM.

 

Sau đây là màn "chào sân" của mình :)) :

 

   Cách giải quyết các bài toán dạng $n\mid a^{n}-1$

Trong các kì thi olympic toán thì các bài toán liên quan đến dạng $n\mid a^{n}-1$ rất phổ biến; điển hình là bài số học trong kì thi TST 2020 hay bài số học trong kì thi chọn đội tuyển KHTN Hà Nội 2020-2021 (các bạn có thể search google để biết thêm). Ta có một một bổ đề rất thông dụng cho loại bài này như sau: 

Cho n nguyên dương $(n\geq 2)$ thỏa $n\mid a^{n}-1$ thì a-1 chia hết cho số nguyên tố nhỏ nhất của n.

Sau đây là một vài hệ quả của bổ đề trên:

1.Không tồn tại n nguyên dương lớn hơn 2 để $n\mid 2^{n}-1$

2. Cho p là một số nguyên tố và thỏa $p\mid a^{p}-1$ thì a-1 chia hết cho p 

 

Ví dụ cho sự hiệu quả của bổ đề trên bạn đọc có thể tìm tới bài số học trong IMO 1994; bài số trong TST 2020 hay các bài toán LTE; bổ đề trên sẽ là một công cụ rất mạnh nếu kết hợp cùng với định lý LTE trong các bài toán LTE.

 

P/S: Bài viết này mình viết khá sơ sài nhưng sẽ bổ sung cho nó thêm hay hơn trong một ngày không xa :)) ( thật ra mình bận)

 

LƯU Ý: Cần có kiến thức nền cơ bản về cấp của số và LTE nếu muốn đọc phần này :))