ChiMiwhh

Gợi ý: Đưa về bài toán: Cho tam giác $ABC$, tâm ngoại tiếp $O$, tâm nội tiếp $I$. $E,F$ lần lượt thuộc $AB,AC$ sao cho $BE=CF=BC$. Chứng minh rằng $EF\perp OI$.

Đây là bài Romania jbmo tst 2010

Bản 64bit mình bấm vào mà họ báo vi phạm điều khoản

c*rack chưa?

cho $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=3$. chứng minh rằng $(a^5-2a+4)(b^5-2b+4)(c^5-2c+4) \ge 9(ab+bc+ac)$

Ý tưởng khá quen thuộc 

B1: Chứng minh $VP\leq (a+b+c)^3$

Thật vậy với AmGm 3 số

$VP^2=27.(a^2+b^2+c^2).(ab+bc+ac)^2\leq (a+b+c)^6$

B2: Chứng minh $VT\geq (a+b+c)^3$

AmGm 5 số có

$a^5-2a+4=\frac{1}{5}(a^5+a^5+1+1+1)-2a+1+\frac{1}{5}(a^5+a^5+a^5+1+1+10)\geq (a-1)^2+\frac{1}{5}(5a^3+10)\geq a^3+2$

Áp dụng Holder 3 số

$VT\geq (a^3+1+1)(b^3+1+1)(c^3+1+1)\geq (a+b+c)^3$

Xảy ra khi $a=b=c=1$

Cho $ a+b+c=6$ chứng minh rằng

$1.T=\frac{a}{\sqrt{b^{3}+b^{2}+4}}+\frac{b}{\sqrt{c^{3}+c^{2}+4}}+\frac{c}{\sqrt{a^{3}+a^{2}+4}}\geq \frac{3}{2}$

$2.\sum \frac{x}{\sqrt{2(y^{4}+z^{4})+7yz}}\geq \frac{1}{6}$

1/

Để í mẫu phân tích được

$2\sqrt{b^3+b^2+4}=2\sqrt{(b+2)(b^2-b+2)}\leq b^2+4$

Sau đó AmGm ngược

cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $(x+y)(y+z)(z+x)= 1$ chứng minh rằng

$\sum \frac{\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}}{\sqrt{xy}+1}\geq \sqrt{3}$

Dễ đánh giá AmGm trên tử r đưa về bđt quen thuộc

$\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}\geq 1$ với $a=x+y$

$b=y+z$

$c=z+x$