Gợi ý: Đưa về bài toán: Cho tam giác $ABC$, tâm ngoại tiếp $O$, tâm nội tiếp $I$. $E,F$ lần lượt thuộc $AB,AC$ sao cho $BE=CF=BC$. Chứng minh rằng $EF\perp OI$.
Đây là bài Romania jbmo tst 2010
- DaiphongLT, Hoang72 và 12DecMath thích
Gửi bởi ChiMiwhh trong 05-07-2021 - 20:16
Gợi ý: Đưa về bài toán: Cho tam giác $ABC$, tâm ngoại tiếp $O$, tâm nội tiếp $I$. $E,F$ lần lượt thuộc $AB,AC$ sao cho $BE=CF=BC$. Chứng minh rằng $EF\perp OI$.
Đây là bài Romania jbmo tst 2010
Gửi bởi ChiMiwhh trong 24-06-2021 - 22:42
cho $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=3$. chứng minh rằng $(a^5-2a+4)(b^5-2b+4)(c^5-2c+4) \ge 9(ab+bc+ac)$
Ý tưởng khá quen thuộc
B1: Chứng minh $VP\leq (a+b+c)^3$
Thật vậy với AmGm 3 số
$VP^2=27.(a^2+b^2+c^2).(ab+bc+ac)^2\leq (a+b+c)^6$
B2: Chứng minh $VT\geq (a+b+c)^3$
AmGm 5 số có
$a^5-2a+4=\frac{1}{5}(a^5+a^5+1+1+1)-2a+1+\frac{1}{5}(a^5+a^5+a^5+1+1+10)\geq (a-1)^2+\frac{1}{5}(5a^3+10)\geq a^3+2$
Áp dụng Holder 3 số
$VT\geq (a^3+1+1)(b^3+1+1)(c^3+1+1)\geq (a+b+c)^3$
Xảy ra khi $a=b=c=1$
Gửi bởi ChiMiwhh trong 23-06-2021 - 23:16
Cho $ a+b+c=6$ chứng minh rằng
$1.T=\frac{a}{\sqrt{b^{3}+b^{2}+4}}+\frac{b}{\sqrt{c^{3}+c^{2}+4}}+\frac{c}{\sqrt{a^{3}+a^{2}+4}}\geq \frac{3}{2}$
$2.\sum \frac{x}{\sqrt{2(y^{4}+z^{4})+7yz}}\geq \frac{1}{6}$
1/
Để í mẫu phân tích được
$2\sqrt{b^3+b^2+4}=2\sqrt{(b+2)(b^2-b+2)}\leq b^2+4$
Sau đó AmGm ngược
Gửi bởi ChiMiwhh trong 23-06-2021 - 23:11
cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $(x+y)(y+z)(z+x)= 1$ chứng minh rằng
$\sum \frac{\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}}{\sqrt{xy}+1}\geq \sqrt{3}$
Dễ đánh giá AmGm trên tử r đưa về bđt quen thuộc
$\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}\geq 1$ với $a=x+y$
$b=y+z$
$c=z+x$
Gửi bởi ChiMiwhh trong 17-06-2021 - 00:49
Dễ chứng minh :$a^{5}+b^5\geq ab(a^3+b^3)$ ( bn cm bằng chuyển vế rồi phân tích ra nhé !)
Ta có : $VT=3-\sum \left ( \frac{c^2}{a^5+b^5+c^2} \right )\geq 3-\sum \left ( \frac{c^2}{ab(a^3+b^3)+c^2} \right )=3-\sum \left ( \frac{c^3}{a^3+b^3+c^3} \right )=2$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 (đpcm)
Một cách cm cái bổ đề
Áp dụng Amgm 5 số
$a^5+a^5+a^5+a^5+b^5\geq 5a^4b$
$a^5+b^5+b^5+b^5+b^5\geq 5ab^4$
Cộng lại
Gửi bởi ChiMiwhh trong 11-06-2021 - 17:51
Cho em hỏi câu này ạ:
$\boxed{26}$ Tìm Min của $A= \sum x^2 +\frac{\sum xy}{x^2y+y^2z+z^2x}$ biết $a+b+c=3$ và a,b,c dương
Chỉ được dùng Cosi và Bunhia thôi ạ
Áp dụng $3(x^2y+y^2z+z^2x)\leq (x+y+z)(x^2+y^2+z^2)$ rồi dồn về $a^2+b^2+c^2$
P.s: đọc kĩ nội qui đi bạn, trong topic này chỉ có ad đc đăng bài thôi
Gửi bởi ChiMiwhh trong 07-06-2021 - 11:12
Gửi bởi ChiMiwhh trong 06-06-2021 - 10:14
25/Cho a,b,c là các số thực ko âm thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh
$a^{4}+b^{4}+c^{4}+\frac{1}{8}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}$
Vornicu schur
Gửi bởi ChiMiwhh trong 31-05-2021 - 23:41
Gửi bởi ChiMiwhh trong 24-05-2021 - 00:08
Bài 1cho a,b,c >0 và a+b+c=3. CMR
1.$\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}\leq \frac{3}{4}$
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học