KietLW9

Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn $x(x+y+z)=3yz$

Cmr $(x+y)^{3}+(x+z)^{3}+3(x+y)(y+z)(x+z)\leq 5(y+z)^{3}$

Lời giải.  12 cach giai khac nhau cho cau 5 de thi khoi A 2009.pdf   193.04K   0 Số lần tải

Cho x,y,z là các số không âm thỏa mãn $x+y+z=\frac{3}{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng:

$S=x^3+y^3+z^3+x^2y^2z^2$ 

Lời giải. Ta đi chứng minh $S\geqslant \frac{25}{64}$

Đặt $x+y+z=p;xy+yz+zx=q;xyz=r$ thì $S=r^2+3r+(\frac{27}{8}-\frac{9}{2}q)$

Cần chứng minh: $f(r)=r^2+3r+(\frac{191}{64}-\frac{9}{2}q)\geqslant 0$

Dễ thấy $f(r)$ là hàm đồng biến mà theo Schur: $\frac{-3}{8}+\frac{2q}{3}=\frac{-p^3}{9}+\frac{4}{9}pq\leqslant r$

Do đó $f(r)\geqslant f(\frac{2q}{3}-\frac{3}{8})=\frac{(4q-3)(q-6)}{9}\geqslant 0$

Ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$

Cho $x, y, z$ là số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
$P = \frac{4}{\sqrt{x^2y^2+z^2+4}} - \frac{9}{(x+y)\sqrt{(x+2z)(y+2z)}}$

 

MOD: Nghi vấn đề bài

Theo mình thì 90% thì đề bài sai và đề đúng là: Cho $x, y, z$ là số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: $P = \frac{4}{\sqrt{x^2+y^2+z^2+4}} - \frac{9}{(x+y)\sqrt{(x+2z)(y+2z)}}$, chắc bạn gõ thiếu dấu $+$, nếu đề là vậy thì mình sẽ giải như sau:

Lời giải. 

Áp dụng bất đẳng thức $\text{AM-GM}$, ta được: $2(x+y)\sqrt{(x+2z)(y+2z)}\leqslant (x+y)(x+y+4z)= (x+y)^2+4z(x+y)\leqslant (x+y)^2+4z^2+(x+y)^2\leqslant 4(x^2+y^2+z^2)$

Lúc này, ta có: $P \leqslant  \frac{4}{\sqrt{x^2+y^2+z^2+4}} - \frac{9}{2(x^2+y^2+z^2)}$

Đặt $\sqrt{x^2+y^2+z^2+4}=t$ thì $P=\frac{4}{t}-\frac{9}{2(t^2-4)}$

Mà $t\geqslant 2$ nên $\frac{4}{t}-\frac{9}{2(t^{2}-4)}-\frac{5}{8}=\frac{(t-4)^2(-10t-16)}{16t(t^2-4)}\leqslant 0\Rightarrow \frac{4}{t}-\frac{9}{2(t^{2}-4)}\leqslant \frac{5}{8}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=2$

Cho các số thực dương a, b, c. CMR:

$(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 3(a+b+c)^{2}$

Lời giải.

Ta chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn: $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geqslant 3(a+b+c)^{2}+(abc-1)^2$

Thật vậy, áp dụng bổ đề quen thuộc $a^2+b^2+c^2+2abc+1\geqslant 2(ab+bc+ca)$, ta được: $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)-3(a+b+c)^{2}-(abc-1)^2=(a^2+b^2+c^2+2abc+1)+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-6(ab+bc+ca)+6\geqslant 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-4(ab+bc+ca)+6=2\left [ (ab-1)^2+(bc-1)^2+(ca-1)^2 \right ]\geqslant 0$

Vậy ta có: $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geqslant 3(a+b+c)^{2}+(abc-1)^2$ và bất đẳng thức cần chứng minh được giải quyết

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Cho $x;y;z\in R$ thỏa $\left\{\begin{matrix} x^{2}+xy+y^{2}=16\\ y^{2}+yz+z^{2}=3 \end{matrix}\right.$.

Chứng minh $xy+yz+zx\leq 8$

Lời giải. 

Đầu tiên ta xét: $(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2=(ad-bc)^2\geqslant 0\forall a,b,c,d\in\mathbb{R}$ suy ra $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geqslant (ac+bd)^2$

Áp dụng bất đẳng thức trên, ta được: $48=(x^2+xy+y^2)(y^2+yz+z^2)=\left [ (y+\frac{x}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}x}{2})^2 \right ]\left [ (\frac{\sqrt{3}z}{2})^2+(y+\frac{z}{2})^2 \right ]\geqslant \left [ (y+\frac{x}{2}).\frac{\sqrt{3}z}{2} +\frac{\sqrt{3}x}{2}.(y+\frac{z}{2})\right ]^2=\left [ \frac{\sqrt{3}}{2}(xy+yz+zx) \right ]^2$

$\Rightarrow xy+yz+zx\leqslant 8 (\text{Q.E.D})$