KietLW9

Sao mình thấy bạn hay đăng bài trong sách 96 đề của thầy cẩn nhỉ

Bài 185: Giải phương trình nghiệm nguyên: $7^m=5^n+24$

Ta có nhận xét sau: $7^m\equiv 4(\text{mod 5})$

Nếu $m$ lẻ thì ta đặt $m=2k+1$ khi đó $7^m=49^k.7$

* Nếu $k$ lẻ thì $49^k.7\equiv -7\equiv 3(\text{mod 5})$

* Nếu $k$ chẵn thì $49^k.7\equiv 7\equiv 2(\text{mod 5})$

Ta thấy mâu thuẫn rõ ràng nên $m$ phải là số chẵn. Đặt $m=2l$

-) Nếu $n$ là số lẻ thì đặt $n=2u+1$ khí đó $5^{2u+1}\equiv 4(\text{mod 7})\Leftrightarrow25^u.5\equiv 4(\text{mod 7})$

$\Leftrightarrow 4^u.5\equiv 4(\text{mod 7})$

Ta xét $u=3v,3v+1,3v+2$ đều thấy vô lí nên $n$ phải là số chẵn. Đặt $n=2r$

Vậy ta được $7^{2l}=5^{2r}+24$

Em không hiểu anh nói gì nhưng hãy cố gắng lên anh nhé 

Áp dụng bất đẳng thức Holder, ta được: $(\sqrt[3]{\frac{a}{b(b+2c)}}+\sqrt[3]{\frac{b}{c(c+2a)}}+\sqrt[3]{\frac{c}{a(a+2b)}})^3\left [ a(b+2c)+b(c+2a)+c(a+2b) \right ]\geqslant (\frac{\sqrt{a}}{\sqrt[4]{b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt[4]{c}}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt[4]{a}})^4$

Ta đặt $(\sqrt[4]{a},\sqrt[4]{b},\sqrt[4]{c})\rightarrow (x,y,z)$ thì ta quy về chứng minh: $\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\geqslant 3$ với $x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4=3$

Tiếp tục dùng Holder, ta được: $(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x})^4\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)^6}{(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)^2}=\frac{(x^2+y^2+z^2)^6(x^4+y^4+z^4)}{(x^4+y^4+z^4)(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)^2}\geqslant \frac{27(x^2+y^2+z^2)^6(x^4+y^4+z^4)}{(x^2+y^2+z^2)^6}$

Như vậy: $\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\geqslant \sqrt[4]{27(x^4+y^4+z^4)}\geqslant 3$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Năm 2021 em nhé, em lên đó đọc là được