KietLW9

Mình thì chưa thấy tài liệu nào kiểu như này, vì HPT ba biến thường sử dụng BĐT nhưng là BĐT dễ và cơ bản nên cũng ít gặp lắm bạn!

Gọi số chính phương cần tìm là $k^2$ thì theo đề tồn tại các số $m,n$ sao cho $k^2=100m+n$ với n là số tự nhiên không lớn hơn 99 và $100m$ là số chính phương 

Mà 100 là số chính phương nên m cũng là số chính phương. Đặt $m=t^2$

Ta có: $k^2>(10t)^2\Rightarrow k\geqslant 10t+1\Rightarrow 100t^2+n\geqslant 100t^2+20t+1\Rightarrow 20t+1\leqslant n\leqslant 99\Rightarrow t\leqslant 4$

Lúc đó: $k^2=100m+n=100t^2+n\leqslant 1600+n\leqslant 1699\Rightarrow k\leqslant 41$

Vậy số chính phương lớn nhất là 1681

Xét x = 0 thì ta có hệ $\left\{\begin{matrix}y^2+z^2=\frac{1}{3} & \\ y^2z^2=0 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow ...$ (Bạn tự giải, tương tự với y,z ta có các bộ hoán vị)

Xét $x+y+z=0$ thì có 2 trong 3 số $x,y,z$ bằng 0 ta tìm được số còn lại

Xét $x+y+z$ khác 0 và $x,y,z$ khác 0 

$\Rightarrow (x+y+z)^2=\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{xyz(x+y+z)}\geqslant \frac{xyz(x+y+z)}{xyz(x+y+z)}=1=3(x^2+y^2+z^2)$

Dấu bằng xảy ra khi $(x,y,z)=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$ hoặc $(x,y,z)=(\frac{-1}{3},\frac{-1}{3},\frac{-1}{3})$

Đặt 

$(x,y,z)\rightarrow (a+1,b+1,c+1)$

Lúc đó giả thiết trở thành: 

$x+y+z=xyz\Leftrightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1$

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của: 

$\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}$

Tiếp tục đặt: 

$(p,q,r)\rightarrow (\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})$

Thì giả thiết thành: 

$pq+qr+rp=1$

Và ta cần tìm giá trị lớn nhất của: 

$\frac{p}{p^2+1}+\frac{q}{q^2+1}+\frac{r}{r^2+1}$

Ta có: 

$\frac{p}{p^2+1}+\frac{q}{q^2+1}+\frac{r}{r^2+1}=\frac{p}{(p+q)(p+r)}+\frac{q}{(q+r)(q+p)}+\frac{r}{(r+p)(r+q)}=\frac{p(r+q)+q(r+p)+r(p+q)}{(p+q)(q+r)(r+p)}=\frac{2(pq+qr+rp)}{(p+q)(q+r)(r+p)}\leqslant \frac{2(pq+qr+rp)}{\frac{8}{9}(p+q+r)(pq+qr+rp)}=\frac{9}{4(p+q+r)}\leqslant \frac{9}{4.\sqrt{3(pq+qr+rp)}}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}-1$

Ta có: $(x^3+y^3+z^3-3xyz)^2=[x(x^2-yz)+y(y^2-zx)+z(z^2-xy)]^2\leqslant (x^2+y^2+z^2)[(x^2-yz)^2+(y^2-zx)^2+(z^2-xy)^2]=(x^2-yz)^2+(y^2-zx)^2+(z^2-xy)^2=(x^2+y^2+z^2)^2-(xy+yz+zx)^2\leqslant (x^2+y^2+z^2)^2=1$

$\Rightarrow -1\leqslant x^3+y^3+z^3-3xyz\leqslant 1$