KietLW9

$\textbf{Bài toán 6.}$ Xét $p$ là số nguyên tố có dạng $4k+1$ trong đó $k$ là số nguyên dương thỏa mãn $p^2|2^{p-1}-1$. Gọi $q$ là ước nguyên tố lớn nhất của $2^p-1$ Chứng minh rằng: $2^q > (6p)^p$

$\textbf{Lời giải.}$ 

Ta có phân tích tiêu chuẩn của $2^p-1$ như sau: $2^p-1=q_{1}^{a_1}q_{2}^{a_2}...q_{k}^{a_k}$ trong đó $q_1,q_2,...,q_k$ là các ước nguyên tố lẻ phân biệt của $2^p-1$.

Đầu tiên ta sẽ chứng minh $q_i\equiv 1(\text{mod p}),\forall i=\overline{1,k}$

Thật vậy, ta có: $q_i|2^{q_i-1}-1$ nên $\left\{\begin{matrix}ord_{p_i}(2)|p & \\ ord_{p_i}(2)|q_i-1 & \end{matrix}\right.$ 

Từ đây dễ dàng suy ra $ord_{p_i}(2)=p$ nên ta có điều phải chứng minh

Đặt $q_i=m_ip+1$ trong đó $m_i \in \mathbb{Z}^+,\forall i =\overline{1,k}$

Kết hợp với $p^2|2^p-2$ ta suy ra $\prod_{i=1}^{k}(m_ip+1)^{a_i}\equiv 1$ (mod $p^2$). Mà $(m_ip+1)^{a_i}\equiv a_im_ip+1$ (mod $p^2$) nên $\prod_{i=1}^{k}(1+a_1m_ip)\equiv 1$ (mod $p^2$) nên $ \sum_{i=1}^{k}a_im_i\equiv 0$ (mod $p$)

Mà lại có $q_i|2^p-1\Rightarrow (\frac{2}{q_i})=1$ nên $q_i\equiv 1,7(\text{mod 8})$ do đó $8|m_i$ hoặc $6|m_ip$ nên $m_i\geq 6$

Xét $q$ là ước nguyên tố lớn nhất của $2^p-1$ sao cho $q=mp+1$ thì rõ ràng $m$ là chỉ số lớn nhất trong các số $m_i$ khi đó $2^q>2^{pm}>(2^p-1)^m>(6p)^{(a_1+a_2+...+a_k)m}>(6p)^{\sum_{i=1}^{k}a_im_i}\geq (6p)^p$

Vậy ta có điều phải chứng minh

$\textbf{Bài toán 5.}$ Cho $n$ là số nguyên dương lớn hơn $1$ sao cho $n|6^n+7^n$. Chứng minh rằng $13|n$

$\textbf{Lời giải.}$ Rõ ràng $(n,42)=1$. Gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$

Vì $(p,7)=1$ nên tồn tại số nguyên $p'$ sao cho $7p'\equiv 1(\text{mod p})$

Ta có: $6^n\equiv -7^n(\text{mod p})\Rightarrow (6p')^n\equiv -(7p')^n\equiv -1(\text{mod p})\Rightarrow (6p')^{2n}\equiv 1(\text{mod p})$

Gọi $h=\text{ord}_p(6p')$ thì $h|p-1$ và $h|2n$

Nếu $h$ lẻ thì $h<p$ và $h|n$ nên $h=1$

Nếu $h$ chẵn thì $h=2l$ suy ra $l<p$ và $l|n$ do đó $l=1$ và $h=2$

Vậy ta đều có $(6p')^2\equiv 1(\text{mod p})\Rightarrow (6^2-7^2)p'^2\equiv 0(\text{mod p})$

Mà rõ ràng $(p',p)=1$ do đó $p=13$

Vậy $13|n$

Bayern thực sự quá mạnh đúng không ạ 

Bayern Munich 2 - 0 Inter Milan

Barcelona 5 -1 Plzen

Sane cú đúp, lewandowski hattrick 

chú ý thêm lewy là cấu thủ duy nhất và đầu tiên ghi hattrick cho 3 clb khác nhau ở c1

$\textbf{Bài toán 43.}$ Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$. $D,E$ là hai điểm bất kì trên $AB,AC$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $DE$ cắt $(ADE)$ và $(O)$ tại $P,Q$. $OP,OQ$ cắt $DE,BC$ tại $S,N$. Gọi $W$ là trực tâm $\Delta ASO$. Chứng minh rằng $S,W,O,N$ đồng viên.