Đến nội dung


KietLW9

Đăng ký: 19-03-2021
Online Đăng nhập: Hôm nay, 20:41
*****

#731912 $\left\{\begin{matrix} 3(x^2+y^2+z^2)=1...

Gửi bởi KietLW9 trong Hôm qua, 22:07

Mình thì chưa thấy tài liệu nào kiểu như này, vì HPT ba biến thường sử dụng BĐT nhưng là BĐT dễ và cơ bản nên cũng ít gặp lắm bạn!




#731909 $\left\{\begin{matrix} 3(x^2+y^2+z^2)=1...

Gửi bởi KietLW9 trong Hôm qua, 21:35

Xét x = 0 thì ta có hệ $\left\{\begin{matrix}y^2+z^2=\frac{1}{3} & \\ y^2z^2=0 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow ...$ (Bạn tự giải, tương tự với y,z ta có các bộ hoán vị)

Xét $x+y+z=0$ thì có 2 trong 3 số $x,y,z$ bằng 0 ta tìm được số còn lại

Xét $x+y+z$ khác 0 và $x,y,z$ khác 0 

$\Rightarrow (x+y+z)^2=\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{xyz(x+y+z)}\geqslant \frac{xyz(x+y+z)}{xyz(x+y+z)}=1=3(x^2+y^2+z^2)$

Dấu bằng xảy ra khi $(x,y,z)=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$ hoặc $(x,y,z)=(\frac{-1}{3},\frac{-1}{3},\frac{-1}{3})$




#731898 Min $\sum \frac{a+1}{a^{2}+2a+2}...

Gửi bởi KietLW9 trong 05-12-2021 - 19:37

Đặt 

$(x,y,z)\rightarrow (a+1,b+1,c+1)$

Lúc đó giả thiết trở thành: 

$x+y+z=xyz\Leftrightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1$

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của: 

$\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}$

Tiếp tục đặt: 

$(p,q,r)\rightarrow (\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})$

Thì giả thiết thành: 

$pq+qr+rp=1$

Và ta cần tìm giá trị lớn nhất của: 

$\frac{p}{p^2+1}+\frac{q}{q^2+1}+\frac{r}{r^2+1}$

Ta có: 

$\frac{p}{p^2+1}+\frac{q}{q^2+1}+\frac{r}{r^2+1}=\frac{p}{(p+q)(p+r)}+\frac{q}{(q+r)(q+p)}+\frac{r}{(r+p)(r+q)}=\frac{p(r+q)+q(r+p)+r(p+q)}{(p+q)(q+r)(r+p)}=\frac{2(pq+qr+rp)}{(p+q)(q+r)(r+p)}\leqslant \frac{2(pq+qr+rp)}{\frac{8}{9}(p+q+r)(pq+qr+rp)}=\frac{9}{4(p+q+r)}\leqslant \frac{9}{4.\sqrt{3(pq+qr+rp)}}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}-1$




#731878 $$\frac{x^3+2x^2-3x+2}{x^2+2}=\sqrt...

Gửi bởi KietLW9 trong 03-12-2021 - 17:52

Một hướng suy nghĩ tốn thời gian nhưng cũng không kém phần tư duy  :icon6: 

$\text{ĐK: } x \in \mathbb{R}$

$\frac{x^3+2x^2-3x+2}{x^2+2}=\sqrt{x^2-x+2}$

$\Leftrightarrow (x^2-x)(x+2)+(x^2-x+2)=(x^2+2)\sqrt{x^2-x+2}$

$\Leftrightarrow (x^2-x)(x+2)+(x^2-x+2)=(x^2-x)\sqrt{x^2-x+2}+(x+2)\sqrt{x^2-x+2}$

$\Leftrightarrow (x^2-x-\sqrt{x^2-x+2})(x+2-\sqrt{x^2-x+2})=0$

Đến đây chắc đơn giản rồi  :lol: 




#731862 $(a+b-c-1)(b+c-a-1)(c+a-b-1)\le 8$

Gửi bởi KietLW9 trong 02-12-2021 - 08:14

Cho ba số dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=abc$. CMR:

$$(a+b-c-1)(b+c-a-1)(c+a-b-1)\le 8$$

Cách này ổn không nhỉ?  :(

Đặt $(a+b-c-1,b+c-a-1,c+a-b-1)\rightarrow (2x^3,2y^3,2z^3)$ thì $a+b+c=2x^3+2y^3+2z^3+3$

Đến đây giải hệ phương trình tham số tìm ra: $\left\{\begin{matrix}c=y^3+z^3+1 & \\ a=z^3+x^3+1 & \\ b=x^3+y^3+1 & \end{matrix}\right.$

Lúc này ta có: $\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}=1$

Giả sử $xyz>1$ thì ta có: $\frac{1}{x^3+y^3+1}\leqslant \frac{1}{xy(x+y)+1}=\frac{z}{xyz(x+y)+z}<\frac{z}{x+y+z}$

Tương tự rồi cộng lại, ta có: $\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}<1$ (vô lí)

Vậy $xyz\leqslant 1\Rightarrow (a+b-c-1)(b+c-a-1)(c+a-b-1)\leqslant  8$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=3$




#731841 $(a+b-c-1)(b+c-a-1)(c+a-b-1)\le 8$

Gửi bởi KietLW9 trong 30-11-2021 - 19:18

Đặt 

$(x,y,z)\rightarrow (a-1,b-1,c-1)$

Giả thiết được viết lại thành: $x+y+z+2=xyz$ và ta cần chứng minh:

$(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\leqslant 8$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: 

$xyz=x+y+z+2\geqslant 3\sqrt[3]{xyz}+2\Rightarrow xyz\geqslant 8\Rightarrow x+y+z\geqslant 3\sqrt[3]{xyz}\geqslant 6$

$\Rightarrow xyz=x+y+z+2\leqslant \frac{4(x+y+z)}{3}\Rightarrow \frac{xyz}{x+y+z}\leqslant \frac{4}{3}\Rightarrow \frac{xyz}{x+y+z}\sqrt{\frac{27xyz}{x+y+z}}\leqslant 8$

Như vậy ta cần chứng minh: $(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\leqslant\frac{xyz}{x+y+z}\sqrt{\frac{27xyz}{x+y+z}}$

$\Leftrightarrow 27x^3y^3z^3\geqslant (x+y+z)^3(x+y-z)^2(y+z-x)^2(z+x-y)^2$

Bất đẳng thức cuối là một bất đẳng thức đúng và quen thuộc nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=3$

 




#731839 Min $P=\sum \frac{\left(a+b\right)\sqrt...

Gửi bởi KietLW9 trong 30-11-2021 - 18:19

a cho em hỏi tí dòng 3 là dùng bđt nào ạ

Cauchy-Schwarz




#731836 Min $P=\sum \frac{\left(a+b\right)\sqrt...

Gửi bởi KietLW9 trong 30-11-2021 - 17:55

Ta có: $P=\frac{(a+b)\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}{c}+\frac{(b+c)\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}{a}+\frac{(c+a)\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}{b}=\frac{(a+b)\sqrt{(c+a)(c+b)}}{c}+\frac{(b+c)\sqrt{(a+b)(a+c)}}{a}+\frac{(c+a)\sqrt{(b+a)(b+c)}}{b}\geqslant \frac{(a+b)(c+\sqrt{ab})}{c}+\frac{(b+c)(a+\sqrt{bc})}{a}+\frac{(c+a)(b+\sqrt{ca})}{b}=2(a+b+c)+\frac{\sqrt{ab}(a+b)}{c}+\frac{\sqrt{bc}(b+c)}{a}+\frac{\sqrt{ca}(c+a)}{b}\geqslant 2(a+b+c)+\frac{2ab}{c}+\frac{2bc}{a}+\frac{2ca}{b}\geqslant 4(a+b+c)\geqslant 4.\sqrt{3(ab+bc+ca)}=4\sqrt{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$




#731828 Chứng minh số đó là $n$

Gửi bởi KietLW9 trong 29-11-2021 - 18:41

Dễ dàng nhận xét rằng cứ xóa đi hai số và thêm 1 số và chỉ còn lại 1 số trong dãy thì sẽ có $n-1$ lần xóa và thêm như thế.

Ta có: $(a+1)(b+1)=(ab+a+b)+1$

Như vậy tích thêm $(\frac{1}{1}+1)(\frac{1}{2}+1)(1+\frac{1}{3})...(1+\frac{1}{n})=n+1$ sẽ không thay đổi với mọi dãy thu được

Sau $n-1$ lần biến đổi như vậy thì dãy cuối là $s + 1$ có giá trị $n+1$ nên $s = n$ tức số cuối sẽ là n (đpcm)




#731799 Tìm min của $\sum \frac{a}{a+b}$

Gửi bởi KietLW9 trong 27-11-2021 - 17:34

Bạn làm từ từ giúp mình đc ko, mik ko hiểu lắm

$\sum \frac{a}{a+b}-\frac{3}{2}=(\frac{a}{a+b}-\frac{1}{2})+(\frac{b}{b+c}-\frac{1}{2})+(\frac{c}{c+a}-\frac{1}{2})=\frac{a-b}{2(a+b)}-\frac{(a-b)+(c-a)}{2(b+c)}+\frac{c-a}{2(c+a)}=(a-b)(\frac{1}{2(a+b)}-\frac{1}{2(b+c)})+(c-a)(\frac{1}{2(c+a)}-\frac{1}{2(b+c)})=\frac{(a-b)(c-a)}{2(a+b)(b+c)}+\frac{(c-a)(b-a)}{2(c+a)(b+c)}=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{2(a+b)(b+c)(c+a)}$




#731796 $x^{k}y^{k}(x^{k}+y^{k})\le...

Gửi bởi KietLW9 trong 27-11-2021 - 16:58

Bài này đề có sai không ạ?  :( 




#731795 Tìm min của $\sum \frac{a}{a+b}$

Gửi bởi KietLW9 trong 27-11-2021 - 16:47

Cho các số thực dương thỏa $a\geq b\geq c$

Tìm GTNN của $\sum \frac{a}{a+b}$

$\sum \frac{a}{a+b}-\frac{3}{2}=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{2(a+b)(b+c)(c+a)}$




#731746 Chứng minh luôn tồn tại 2 điểm sao cho khoảng cách giữa chúng bé hơn $...

Gửi bởi KietLW9 trong 23-11-2021 - 20:55

Xét hình chữ nhật ABCD có AB = CD = 3, AD = BC = 4. Chia thành 5 tứ giác AEFGJ, JGHID, BEFP, PFGHQ, QHIC như hình vẽ:

4e34cace97b95fe706a8.jpg

Đường chéo lớn nhất của 5 tứ giác này đều bằng $\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$

Có 6 điểm trong hình chữ nhật nên tồn tại 2 điểm nằm gọn trong 1 tứ giác. Khoảng cách giữa hai điểm này sẽ không lớn hơn $\sqrt{5}$




#731732 Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a+b+c=2021$....

Gửi bởi KietLW9 trong 22-11-2021 - 20:10

Đặt

$P(a,b,c)=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

Giả sử $P(a_0,b_0,c_0)$ là giá trị nhỏ nhất của $P(a,b,c)$ và $a_0\leqslant b_0\leqslant c_0$

Ta đi chứng minh:

$c_0\leqslant a_0+1$

Thật vậy, nếu $c_0\geqslant a_0+2$:

Xét bộ số: $(a_1,b_1,c_1)=(a_0+1,b_0,c_0-1)$.

Ta có:

$P_1-P_0=(a_0+b_0+c_0)\left [\frac{1}{(b_0+c_0)(b_0+c_0-1)}-\frac{1}{(a_0+b_0)(a_0+b_0+1)} \right ]<0\Rightarrow P_1<P_0(\text{vô lí})$

Như vậy, phải có: $a_0\leqslant b_0\leqslant c_0\leqslant a_0+1$

Kết hợp với điều kiện $a_0+b_0+c_0=2021$ suy ra $(a_0,b_0,c_0)=(673,674,674)$

Từ đó ta có giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ là $\frac{2723635}{1815756}$ đạt được khi có 1 số bằng 673 và 2 số bằng 674

                      ---------------------------------------------------------------------------------------------------

Note: Cho em hỏi Hoàng và anh PDF: Mối quan hệ giữa $P$ với $\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}$ là gì ạ? Em chưa thông lắm?




#731701 Cho hình bình hành $ABCD$ có góc $A$ nhọn và $AB...

Gửi bởi KietLW9 trong 19-11-2021 - 17:46

Cho hình bình hành $ABCD$ có góc $A$ nhọn và $AB>AD$, $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Gọi $P$ là giao điểm của đường thẳng vuông góc với $AC$ tại $C$ và đường thẳng vuông góc với $BD$ đi qua $A$. Gọi $M,N$ là hình chiếu của $P$ trên $BC,CD$. Chứng minh $O,M,N$ thẳng hàng.