Đến nội dung


KietLW9

Đăng ký: 19-03-2021
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 21:05
*****

#729115 .Tìm max, min của $T = \frac{x-y}{x^4+y^4+6}$

Gửi bởi KietLW9 trong Hôm nay, 06:32

Lời giải. Đặt $x=y-k$ khi đó $|A|=\frac{|k|}{(k-y)^4+y^4+6}$

Ta có đánh giá rằng với mọi $a,b\in\mathbb{R}$ thì $a^4+b^4\geqslant \frac{(a+b)^4}{8}$ do đó $|A|=\frac{|k|}{(k-y)^4+y^4+6}\leqslant \frac{|k|}{\frac{k^4}{8}+6}=\frac{|k|}{\frac{k^4}{8}+2+2+2}\leqslant \frac{|k|}{4|k|}=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow \frac{-1}{4}\leqslant A\leqslant \frac{1}{4}$




#728998 $\left\{\begin{matrix} x^3-y^3=9y^2+36y+63...

Gửi bởi KietLW9 trong 18-07-2021 - 19:42

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^3-y^3=9y^2+36y+63 & \\ x^2-y^2+x=4y & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x^3-y^3=9y^2+36y+63 & \\ x^2-y^2+x=4y & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^3=y^3+9y^2+36y+63 & \\ 3x^2+3x+1=3y^2+12y+1 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x^3+3x^2+3x+1=y^3+12y^2+48y+64\Leftrightarrow (x+1)^3=(y+4)^3\Leftrightarrow x=y+3$

Thay $x=y+3$ vào phương trình (2), ta được: $(y+3)^2-y^2+(y+3)=4y\Leftrightarrow y=-4\Rightarrow x=-1$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(x,y)=(-1,-4)$




#728997 $\left\{\begin{matrix} x^3-y^3=9y^2+36y+63...

Gửi bởi KietLW9 trong 18-07-2021 - 19:34

Giải phương trình: $(x^2+1)^2=5-x\sqrt{2x^2+4}$

$\text{ĐK}:x\in \mathbb{R}$

$\text{PT} \Leftrightarrow x^2(x^2+2)+x\sqrt{2(x^2+2)}=4$

Đặt $x\sqrt{2(x^2+2)}=t$ thì $x^2(x^2+2)=\frac{t^2}{2}$

Lúc này phương trình trở thành: $t^2+2t-8=0\Leftrightarrow (t+4)(t-2)=0$ suy ra $t=-4$ hoặc $t=2$

* Xét $t=-4$ thì $x\sqrt{2(x^2+2)}=-4\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2}$

Tương tự với $t=2$ sau đó thử lại rồi kết luận nghiệm.


  • DBS yêu thích


#728881 $\frac{a}{b}+\frac{b}{c...

Gửi bởi KietLW9 trong 14-07-2021 - 21:31

Đây cũng là một bổ đề rất hay, thường được sử dụng trong chứng minh

Một bài điển hình:

Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng: $\frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}\leqslant 2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})$


  • DBS yêu thích


#728770 GHPT: $y^3+3y=(x+5)\sqrt{x+2}$.......

Gửi bởi KietLW9 trong 11-07-2021 - 09:10

Lời giải.

Từ phương trình (1) suy ra $(y^2+3)y=(x+5)\sqrt{x+2}\Rightarrow y=\sqrt{x+2}$

Thay $y=\sqrt{x+2}$ vào phương trình (2), ta được: $2x^2+16=3[2(x+2)+\sqrt{x^3+8}]\Leftrightarrow 2x^2-6x+4=3\sqrt{x^3+8}\Leftrightarrow (2x^2-6x+4)^2=9(x^3+8)\Leftrightarrow (x^2-6x-4)(4x^2-9x+14)=0$

Đến đây chắc đơn giản rồi  :lol:




#728588 [TOPIC] ÔN THI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀO $\boxed{\text...

Gửi bởi KietLW9 trong 03-07-2021 - 14:18

 

Ôi nhớ ngày xưa ôn chuyên quá...
Giờ già rồi chắc không còn khéo léo như xưa nữa nên mình chắc tay to chút thôi...

 

P.S: Sau khi ngồi làm bài này thì mình thấy khả năng cực cao là sai đề, vì đi thi thế này thì chết hết...

 

\begin{align*} &\phantom{\iff} \sqrt{2\left ( x^{4} +4\right )}-3x^{2}-10x+5=0 \\ &\iff \sqrt{2\left ( x^{4} +4\right )}=3x^{2}+10x-5 \\ &\iff \left\{ \begin{array}{l} 2\left(x^4+4\right)=\left(3x^2+10x-5\right)^2 \\ 3x^2+10x-5\geqslant 0 \end{array}\right. \\ &\iff \left\{ \begin{array}{l} 7 x^4 + 60 x^3 + 70 x^2 - 100 x + 17=0 \\ \left[ \begin{array}{l} x\geqslant \dfrac{-5+2\sqrt{10}}{3} \\ x\leqslant \dfrac{-5-2\sqrt{10}}{3}\end{array}\right.\end{array}\right.  \end{align*}

 

Spoiler
 

Ta giải phương trình $7 x^4 + 60 x^3 + 70 x^2 - 100 x + 17=0$.`

\begin{align*} &\iff x^4 + \dfrac{60}7 x^3 + 10 x^2 - \dfrac{100}7 x + \dfrac{17}7=0 \\ &\iff \left(x^2+\dfrac{30}{7}x\right)^2=\dfrac{410}{49}x^2+\dfrac{100}{7}x-\dfrac{17}{7} \end{align*}

 

Thêm tham số $y$, ta cộng cả hai vế của phương trình với $\left(x^2+\dfrac{30}{7}x\right)y+\dfrac{y^2}{4}$, thu được
\[\left(x^2+\dfrac{30}{7}x+\dfrac{y}{2}\right)^2=\left(y+\dfrac{410}{49}\right)x^2+\left(\dfrac{30}7 y+ \dfrac{100}{7}\right) x+ \dfrac{y^2}{4}- \dfrac{17}{7} \]
 
Ta sẽ chọn tham số $y$ để vế phải của phương trình trên cũng là bình phương của một đa thức biến $x$. tức là biệt thức của tam thức biến $x$ đó phải bằng $0$.
 
\begin{align*} &\phantom{\iff~} \left(\dfrac{30}{7}y+\dfrac{100}{7}\right)^2-4\left(y+\dfrac{410}{49}\right)\left(\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{17}{7}\right)=0 \\ &\iff -y^3+10y^2+\dfrac{6476}{49}y +\dfrac{97880}{343}=0 \end{align*}
 
Đặt $z=y-\dfrac{10}{3}$, khi đó phương trình có dạng
\[-z^3+\dfrac{24328}{147}z+\dfrac{7408640}{9261}=0\]
 
Đặt $z=\dfrac{4\sqrt{6082}}{21}\cos t$. Khi đó phương trình trở thành $-\dfrac{389248\sqrt{6082}}{9261} \cos^3t+\dfrac{97312\sqrt{6082}}{3087} \cos t+\dfrac{7408640}{9261}=0$
\begin{align*} &\iff -\dfrac{32}{9261}\left(12164\sqrt{6082}\cos^3t-9123\sqrt{6082}\cos t-231520\right)=0 \\ &\iff 12164\sqrt{6082}\cos^3t-9123\sqrt{6082}\cos t-231520=0 \\ &\iff 3041\sqrt{6082} \left(4\cos^3t-\cos t\right)=231520 \\ &\iff \cos 3t=\dfrac{115760\sqrt{6082}}{9247681} \\ &\iff 3t = \pm \arccos\dfrac{115760\sqrt{6082}}{9247681}+k2\pi \quad (k\in \mathbb{Z}) \\ &\iff t = \pm \dfrac13\arccos\dfrac{115760\sqrt{6082}}{9247681}+k\dfrac23\pi \quad (k\in \mathbb{Z}) \end{align*}
 
Từ đó ta có $\left[ \begin{array}{l} z=\dfrac{4\sqrt{6082}}{21}\cos \left(\dfrac13\arccos\dfrac{115760\sqrt{6082}}{9247681}\right) \\z=\dfrac{4\sqrt{6082}}{21}\cos \left(\dfrac13\arccos\dfrac{115760\sqrt{6082}}{9247681}+\dfrac{2\pi}{3}\right) \\z=\dfrac{4\sqrt{6082}}{21}\cos \left(\dfrac13\arccos\dfrac{115760\sqrt{6082}}{9247681}-\dfrac{2\pi}{3}\right)  \end{array}\right.$
 
Khi đó $\left[ \begin{array}{l} y=\dfrac{10}{3}+\dfrac{4\sqrt{6082}}{21}\cos \left(\dfrac13\arccos\dfrac{115760\sqrt{6082}}{9247681}\right) \\y=\dfrac{10}{3}+\dfrac{4\sqrt{6082}}{21}\cos \left(\dfrac13\arccos\dfrac{115760\sqrt{6082}}{9247681}+\dfrac{2\pi}{3}\right) \\y=\dfrac{10}{3}+\dfrac{4\sqrt{6082}}{21}\cos \left(\dfrac13\arccos\dfrac{115760\sqrt{6082}}{9247681}-\dfrac{2\pi}{3}\right)  \end{array}\right.$
 
Ta chọn $y=\dfrac{10}{3}+\dfrac{4\sqrt{6082}}{21}\cos \left(\dfrac13\arccos\dfrac{115760\sqrt{6082}}{9247681}\right)$.
 
Spoiler
 
Với $y$ như trên thì ta thu được $\left(x^2+\dfrac{30}{7}x+\dfrac{y}{2}\right)^2=\left(\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}x + \sqrt{\dfrac{y^2}{4}- \dfrac{17}{7}}\right)^2$
\[\iff \left[ \begin{array}{l} x^2+\left(\dfrac{30}{7}+\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}\right)x+\dfrac{y}{2} + \sqrt{\dfrac{y^2}{4}- \dfrac{17}{7}} =0  \\ x^2+\left(\dfrac{30}{7}-\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}\right) x+\dfrac{y}{2}- \sqrt{\dfrac{y^2}{4}- \dfrac{17}{7}} =0 \end{array}\right.\]
 
Giải hai phương trình trên và kết hợp điều kiện $\left[\begin{array}{l} x\geqslant \dfrac{-5+2\sqrt{10}}{3} \\ x\leqslant \dfrac{-5-2\sqrt{10}}{3}\end{array} \right.$ ta thu được các nghiệm
\[\left[\begin{array}{l}x=-\dfrac{30}{14}-\dfrac12\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}+\dfrac12\sqrt{-4\sqrt{\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{17}{7}}-y+\dfrac{60}{7}\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}+\dfrac{1310}{49} } \quad \text{(loại)} \\x=-\dfrac{30}{14}-\dfrac12\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}-\dfrac12\sqrt{-4\sqrt{\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{17}{7}}-y+\dfrac{60}{7}\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}+\dfrac{1310}{49} } \\ x=-\dfrac{30}{14}+\dfrac12\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}+\dfrac12\sqrt{4\sqrt{\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{17}{7}}-y-\dfrac{60}{7}\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}+\dfrac{1310}{49} } \\ x=-\dfrac{30}{14}+\dfrac12\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}-\dfrac12\sqrt{4\sqrt{\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{17}{7}}-y-\dfrac{60}{7}\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}+\dfrac{1310}{49}} \quad \text{(loại)} \end{array}\right.\]
 
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm 
\[\left[\begin{array}{l}x=-\dfrac{30}{14}-\dfrac12\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}-\dfrac12\sqrt{-4\sqrt{\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{17}{7}}-y+\dfrac{60}{7}\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}+\dfrac{1310}{49} } \\ x=-\dfrac{30}{14}+\dfrac12\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}+\dfrac12\sqrt{4\sqrt{\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{17}{7}}-y-\dfrac{60}{7}\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}+\dfrac{1310}{49} }  \end{array}\right.\]
với $y=\dfrac{10}{3}+\dfrac{4\sqrt{6082}}{21}\cos \left(\dfrac13\arccos\dfrac{115760\sqrt{6082}}{9247681}\right)$.

 

Cách này có vẻ không được hay cho lắm vì đã có tổng quát giải PTB4




#728482 $\frac{a^3}{b^2(c^2+d^2)}+\frac{b^3...

Gửi bởi KietLW9 trong 28-06-2021 - 15:12

Cho $a;b;c;d>0$ và $abcd=1$.

 

Chứng minh rằng
$\frac{a^3}{b^2(c^2+d^2)}+\frac{b^3}{c^2(d^2+a^2)}+\frac{c^3}{d^2(a^2+b^2)}+\frac{d^3}{a^2(b^2+c^2)} \geq 2$




#728481 [TOPIC] ÔN THI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀO $\boxed{\text...

Gửi bởi KietLW9 trong 28-06-2021 - 15:09

Em xin góp một bài

$\boxed{32}$ $\sqrt{2\left ( x^{4} +4\right )}-3x^{2}-10x+5=0$




#728286 Đề thi chuyên toán Vĩnh Phúc

Gửi bởi KietLW9 trong 20-06-2021 - 15:45

Không có gì

a) Từ giả thiết ta có: $6-c=\sqrt{ab+a+b+1}\leqslant \sqrt{\frac{(a+b)^2}{4}+a+b+1}=\frac{a+b}{2}+1\Rightarrow a+b+2\geqslant 12-2c\Rightarrow a+b+2c\geqslant 10$

b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+2}\leqslant 2$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\geqslant \frac{c}{c+2}$

Mà ta có: $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\geqslant \frac{2}{\sqrt{(a+1)(b+1)}}=\frac{2}{\sqrt{ab+a+b+1}}=\frac{2}{6-c}$ nên ta cần chứng minh: $\frac{2}{6-c}\geqslant \frac{c}{c+2}\Leftrightarrow (c-2)^2\geqslant 0(true)$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=3,c=2$




#728106 $P=\sqrt{6x^2+21}+\sqrt{6y^2+21}+\sqr...

Gửi bởi KietLW9 trong 14-06-2021 - 07:17

Lời giải.

Xét bất đẳng thức phụ: $\sqrt{6x^2+21}\geqslant \frac{2\sqrt{3}x+7\sqrt{3}}{3}$




#728063 cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng: a+3/( 1+a )^...

Gửi bởi KietLW9 trong 12-06-2021 - 20:30

Lời giải.

Ta dễ chứng minh bất đẳng thức: $\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}\geqslant \frac{1}{1+ab}$

Do vậy: $\sum \frac{a+3}{(a+1)^2}=(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})+(\frac{2}{(a+1)^2}+\frac{2}{(b+1)^2}+\frac{2}{(c+1)^2})\geqslant (\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})+(\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca})=(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})+\frac{c}{c+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{a}{a+1}=3$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$




#727947 $M=\sum \frac{a^2+4a+1}{a^2+a}$

Gửi bởi KietLW9 trong 08-06-2021 - 13:51

Lời giải.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: $M=(\frac{3}{a+1}+\frac{3}{b+1}+\frac{3}{c+1})+\left [ \frac{1}{a(a+1)}+\frac{1}{b(b+1)}+\frac{1}{c(c+1)} \right ]+3\geqslant \frac{27}{a+b+c+3}+\frac{3}{\sqrt[3]{abc(a+1)(b+1)(c+1)}}+3\geqslant \frac{15}{2}+\frac{3}{\sqrt[3]{\frac{(a+b+c)^3}{27}.\frac{(a+b+c+3)^3}{27}}}\geqslant 9$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$




#727927 \begin{cases} 3x^{2}+y^{2} = 5 +2xy +2x -2...

Gửi bởi KietLW9 trong 07-06-2021 - 19:01

 

Giải hệ phương trình: $\begin{cases} 3x^{2}+y^{2} = 5 +2xy +2x -2y \\ 2x^{2} +y^{2} = 10 +2x -3y \end{cases}$

 

 

Lời giải. 

Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2), ta được: $x^2=2xy-5+y\Rightarrow y=\frac{x^2+5}{2x+1}$

Thay $y=\frac{x^2+5}{2x+1}$ vào phương trình (2), ta được: $2x^2+\frac{(x^2+5)^2}{(2x+1)^2}=10+2x-\frac{3(x^2+5)}{2x+1}\Leftrightarrow 3(x-1)(3x+5)(x^2-2)=0$

Lưu ý




#727914 Tìm GTNN của A = $\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}$

Gửi bởi KietLW9 trong 07-06-2021 - 10:56

Lời giải.

Ta có: $A^2=x+y+2+2\sqrt{(x+1)(y+1)}=x+y+2+2\sqrt{xy+x+y+1}\geqslant x+y+2+2\sqrt{x+y+1}$ (Do $x,y$ không âm)

Vì $x,y$ không âm nên $x^2=2-y^2\leqslant 2\Rightarrow 0\leqslant x\leqslant \sqrt{2}\Rightarrow x(x-\sqrt{2})\leqslant 0\Rightarrow x^2\leqslant \sqrt{2}x$

Tương tự: $y^2\leqslant \sqrt{2}y$

Từ đó suy ra $\sqrt{2}(x+y)\geqslant x^2+y^2=2\Rightarrow x+y\geq \sqrt{2}$

$\Rightarrow x+y+2+2\sqrt{x+y+1}\geqslant \sqrt{2}+2+2\sqrt{\sqrt{2}+1}$

Vậy $A\geqslant \sqrt{\sqrt{2}+2+2\sqrt{\sqrt{2}+1}}$

Đẳng thức xảy ra khi $\left ( x,y \right )\in \left \{ \left ( 0,\sqrt{2} \right );(\sqrt{2},0) \right \}$




#727865 $a^2-\frac{3}{4a}-\frac{a}{...

Gửi bởi KietLW9 trong 05-06-2021 - 13:28

Cho $a,b>0$ thoả mãn $a+b\leq1$. Chứng minh rằng: $a^2-\frac{3}{4a}-\frac{a}{b}\leq -\frac{9}{4}$.

 

Ps: Bài này dễ lắm mà sao tự nhiên lại làm ko đc =((

Lời giải. 

Vì $a+b\leqslant 1$ nên $\frac{a}{b}\geqslant \frac{a}{1-a}$

Ta cần chứng minh: $a^2-\frac{3}{4a}-\frac{a}{1-a}\leqslant \frac{-9}{4}\Leftrightarrow \frac{(2a-1)^2(a^2+3)}{a(1-a)}\geqslant 0$ (đúng)

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$