Đến nội dung


KietLW9

Đăng ký: 19-03-2021
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 13:12
*****

#735043 TOPIC [MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC]

Gửi bởi KietLW9 trong 21-09-2022 - 14:23

$\textbf{Bài toán 6.}$ Xét $p$ là số nguyên tố có dạng $4k+1$ trong đó $k$ là số nguyên dương thỏa mãn $p^2|2^{p-1}-1$. Gọi $q$ là ước nguyên tố lớn nhất của $2^p-1$ Chứng minh rằng: $2^q > (6p)^p$

 

$\textbf{Lời giải.}$ 

Ta có phân tích tiêu chuẩn của $2^p-1$ như sau: $2^p-1=q_{1}^{a_1}q_{2}^{a_2}...q_{k}^{a_k}$ trong đó $q_1,q_2,...,q_k$ là các ước nguyên tố lẻ phân biệt của $2^p-1$.

Đầu tiên ta sẽ chứng minh $q_i\equiv 1(\text{mod p}),\forall i=\overline{1,k}$

Thật vậy, ta có: $q_i|2^{q_i-1}-1$ nên $\left\{\begin{matrix}ord_{p_i}(2)|p & \\ ord_{p_i}(2)|q_i-1 & \end{matrix}\right.$ 

Từ đây dễ dàng suy ra $ord_{p_i}(2)=p$ nên ta có điều phải chứng minh

Đặt $q_i=m_ip+1$ trong đó $m_i \in \mathbb{Z}^+,\forall i =\overline{1,k}$

Kết hợp với $p^2|2^p-2$ ta suy ra $\prod_{i=1}^{k}(m_ip+1)^{a_i}\equiv 1$ (mod $p^2$). Mà $(m_ip+1)^{a_i}\equiv a_im_ip+1$ (mod $p^2$) nên $\prod_{i=1}^{k}(1+a_1m_ip)\equiv 1$ (mod $p^2$) nên $ \sum_{i=1}^{k}a_im_i\equiv 0$ (mod $p$)

Mà lại có $q_i|2^p-1\Rightarrow (\frac{2}{q_i})=1$ nên $q_i\equiv 1,7(\text{mod 8})$ do đó $8|m_i$ hoặc $6|m_ip$ nên $m_i\geq 6$

Xét $q$ là ước nguyên tố lớn nhất của $2^p-1$ sao cho $q=mp+1$ thì rõ ràng $m$ là chỉ số lớn nhất trong các số $m_i$ khi đó $2^q>2^{pm}>(2^p-1)^m>(6p)^{(a_1+a_2+...+a_k)m}>(6p)^{\sum_{i=1}^{k}a_im_i}\geq (6p)^p$

Vậy ta có điều phải chứng minh




#734961 đối xứng của $G$ qua $EF$ nằm trên $OI$

Gửi bởi KietLW9 trong 15-09-2022 - 08:51

$\textbf{Bài toán (Phát hiện?).}$ Cho $\Delta ABC$ nhọn, không cân có $(I)$ là tâm đường tròn nội tiếp. $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. $D'$ là điểm đối xứng với $D$ qua $EF$ và $R$ là trực tâm của tam giác $BIC$. Gọi $J$ là trực tâm của $\Delta AEF$. $G$ là điểm trên $ID$ sao $JG//D'R$. Chứng minh rằng đối xứng của $G$ qua $EF$ nằm trên $OI$




#734941 Bóng đá mùa giải 2022-2023

Gửi bởi KietLW9 trong 14-09-2022 - 14:26

Bayern thực sự quá mạnh đúng không ạ  :icon6:




#734940 $AT$ là trục đẳng phương của hai đường tròn $(AMC)$ và...

Gửi bởi KietLW9 trong 14-09-2022 - 14:20

$\textbf{Bài toán (Sáng tác?).}$ Cho $\Delta ABC$ nhọn, không cân có $(I)$ là tâm đường tròn nội tiếp và $H,K$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $B,C$ của $\Delta ABC$. $(I)$ tiếp xúc với $CA,AB$ tại $E,F$. 

a) Chứng minh rằng $(HAF)$ và $(KAE)$ cắt nhau tại một điểm $T$ khác $A$ trên đường tròn $(ABC)$

b) Gọi $M,N$ là giao điểm thứ hai của $HE,KF$ với $(I)$. Chứng minh rằng $AT$ là trục đẳng phương của hai đường tròn $(AMC)$ và $(ABN)$.




#734867 Bóng đá mùa giải 2022-2023

Gửi bởi KietLW9 trong 08-09-2022 - 09:38

Bayern Munich 2 - 0 Inter Milan

Barcelona 5 -1 Plzen

Sane cú đúp, lewandowski hattrick 

chú ý thêm lewy là cấu thủ duy nhất và đầu tiên ghi hattrick cho 3 clb khác nhau ở c1




#734733 $x^2-y^2+2y(f(x)+f(y))$ là số chính phương với mọi $x,y \...

Gửi bởi KietLW9 trong 31-08-2022 - 15:53

$\textbf{Bài toán}$ Tìm tất cả các hàm số $f$: $\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ sao cho $x^2-y^2+2y(f(x)+f(y))$ là số chính phương với mọi $x,y \in \mathbb{Z}^+$




#734731 Chứng minh rằng $(PQR)$ tiếp xúc $(O)$.

Gửi bởi KietLW9 trong 31-08-2022 - 15:39

$\textbf{Bài toán}$ Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, ngoại tiếp đường tròn $(I)$. $OI$ cắt $BC,CA,AB$ tại $X,Y,Z$. Đường thẳng qua $X,Y,Z$ vuông góc với $IA,IB,IC$ cắt nhau tạo thành tam giác $PQR$. Chứng minh rằng $(PQR)$ tiếp xúc $(O)$.

Screenshot (1889).png




#734696 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Gửi bởi KietLW9 trong 30-08-2022 - 11:50

$\textbf{Bài toán 43.}$ Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$. $D,E$ là hai điểm bất kì trên $AB,AC$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $DE$ cắt $(ADE)$ và $(O)$ tại $P,Q$. $OP,OQ$ cắt $DE,BC$ tại $S,N$. Gọi $W$ là trực tâm $\Delta ASO$. Chứng minh rằng $S,W,O,N$ đồng viên.




#734687 Tìm tất cả các số nguyên $m \geq 2$ sao cho $gcd(m,a_n)=1...

Gửi bởi KietLW9 trong 29-08-2022 - 20:53

$\textbf{Bài toán.}$ Cho dãy số $(a_n)$ được xác định bởi $a_0=3$ và $$a_{n+1}-a_n=n(a_n-1), \forall n \geq 0$$

Tìm tất cả các số nguyên $m \geq 2$ sao cho $gcd(m,a_n)=1$ với mọi $n \geq 0$




#734682 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Gửi bởi KietLW9 trong 29-08-2022 - 09:11

$\textbf{Bài toán 42.}$ Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O;R)$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $A_1,B_1,C_1$. Trên tia đối của các tia $IA_1,IB_1,IC_1$ lấy các điểm $A_2,B_2,C_2$ sao cho $IA_2=IB_2=IC_2=R$. Chứng minh rằng $AA_2,BB_2,CC_2$ đồng quy tại một điểm trên $(O)$.

 

 




#734574 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Gửi bởi KietLW9 trong 22-08-2022 - 20:14

$\textbf{Bài toán 34.}$ Cho $\Delta ABC$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp, $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp và $I_a$ là tâm đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh $A$. $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$. $P$ là điểm chính giữa cung $BC$ chứa $A$ của $(O)$. $DP$ cắt $OI$ tại $L$, $PI_a$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $K$. Chứng minh $A,L,K$ thẳng hàng

Bài toán này do em phát hiện vào năm lớp 9 (không biết đã có ở đâu hay chưa), lời giải lúc đó của em dùng góc (không phải góc định hướng) và lời giải có vẻ rất trẻ con. Mong là sẽ có lời giải tốt hơn  :icon6: 




#734562 [TOPIC] HÌNH HỌC PHẲNG

Gửi bởi KietLW9 trong 22-08-2022 - 11:04

$\textbf{Bài toán 32.}$ Cho $\Delta ABC$ nhọn, không cân nội tiếp đường tròn $(O)$. Ba đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. $AO$ cắt $EF$ tại $J$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. $JD$ cắt $HM$ tại $S$. 
a) Chứng minh rằng $OS$ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta JDM$
b) Giả sử $(AJD)$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $K$. Gọi $I$ là điểm đối xứng với $A$ qua $(O)$, $G$ là giao điểm thứ hai của $(ADJ)$ và $(AEF)$. Chứng minh rằng $GI$ và $HK$ cắt nhau tại một điểm trên $EF$.
c) Gọi $N$ là giao điểm của đường trung bình đối diện cạnh $BC$ của $\Delta ABC$ với $AD$. $ON$ cắt $(ODM)$ tại điểm thứ hai $P$. Dựng hình bình hành $DMQP$. Chứng minh rằng $Q$ thuộc đường tròn Euler của $\Delta ABC$.



#734484 TOPIC [MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC]

Gửi bởi KietLW9 trong 18-08-2022 - 10:46

$\textbf{Bài toán 4.}$ Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,b)$ sao cho $a,b>1$ và $b^a|a^b-1$

 

$\textbf{Lời giải.}$

$\textbf{Bổ đề.}$ Cho $a,b$ là các số nguyên, $n$ là số nguyên dương và $p$ là số nguyên tố thỏa mãn $(n,p-1)=1$. Khi đó nếu $p|a^n-b^n$ thì $ p|a-b$

Gọi $p$ là ước nguyên tố nhỉ nhất của $b$

Áp dụng bổ đề cho bài toán trên, ta được: $p|a-1$ do $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $b$ nên $(b,p-1)=1$

Nếu $p$ lẻ thì áp dụng bổ đề LTE, ta được: $v_p(a^b-1)=v_p(a-1)+v_p(b)\geqslant v_p(b^a)=av_p(b)\Rightarrow v_p(b)(a-1)\leq v_p(a-1)$

Mà $v_p(b)(a-1)\geq a-1$ nên $a-1\leq v_p(a-1)$. Đây là một điều hết sức vô lí nên $p=2$

Lúc đó $b$ chẵn và $a$ lẻ

Tiếp tục sử dụng bổ đề LTE cho $p=2$, ta được: $av_2(b)\leq v_2(a^b-1)=v_2(a+1)+v_2(a-1)+v_2(b)-1\Rightarrow a\leq v_2(b)(a-1)+1=v_2(a+1)+v_2(a-1)$

Điều này chỉ xảy ra khi $a=3$. Lúc đó $v_2(b)=1$. Đặt $b=2k$ với $k$ là số nguyên dương lẻ thì ta cần tìm số $k$ sao cho $(2k)^3|3^{2k}-1$

Nếu $k>1$ thì rõ ràng $k$ tồn tại ước nguyên tố lẻ nên gọi $q$ là ước nguyên tố lẻ nhỏ nhất của $k$. Khi đó theo bổ đề chứng minh ở trên thì $q|3^{2k}-1\Rightarrow q|9-1=8$. Vô lí do $q$ lẻ

Do đó $k=1$ suy ra $b=2$

Vậy $a=3,b=2$




#734478 [TOPIC] PTH $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 2022

Gửi bởi KietLW9 trong 18-08-2022 - 06:26

$\textbf{Bài toán 18.}$ Tìm tất cả các hàm số $f$: $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $$f(x+f(y))=f(x+y^{2018})+f(y^{2018}-f(y)), \forall x,y \in \mathbb{R}$$




#734439 TOPIC [MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC]

Gửi bởi KietLW9 trong 16-08-2022 - 15:14

$\textbf{Bài toán 3 (THTT T10/517).}$ Tìm các số nguyên dương $k$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $$k!=(p^3-1)(p^3-p)(p^3-p^2)$$

$\textbf{Lời giải.}$ Xét $p=2$ thì $k!=168$. Trường hợp này không có số $k$ nào thỏa mãn.

Xét $p>2$ thì $k!=p^3(p-1)^3(p+1)(p^2+p+1)$ nên $v_p(k!)=3$

Mặt khác theo công thức Lengendre thì $v_p(k!)=\sum_{i=1}^{n}\left [ \frac{k}{p^i} \right ]$ với $n$ là số thỏa mãn $p^n\leq k< p^{n+1}$

Nếu $n\geq 2$ thì $k\geq p^2\geq 3p$. Nếu $n=1$ thì $3=\left [ \frac{k}{p} \right ]\Rightarrow k\geq 3p$. Vì thế ta luôn có $k\geq 3p>2(p+1)\Rightarrow (p+1)^2|k!$

$\Rightarrow p+1|p^3(p-1)^3(p^2+p+1)$

Mà $(p+1,p^2+p+1)=1$ nên $p^3(p-1)^3\equiv 0(\text{mod p+1})$

Mà $p^3(p-1)^3\equiv (-1)^3.(-2)^3\equiv 8(\text{mod p+1})\Rightarrow p+1|8$ nên $p=7$ hoặc $p=3$

Hai số này đều không thỏa nên ta kết luận không tồn tại số nguyên dương $k$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn đề bài