KietLW9

Lời giải.

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức, ta được: $\frac{a^5+b^5+c^5+d^5}{a+b+c+d}=\frac{\frac{a^6}{a}+\frac{b^6}{b}+\frac{c^6}{c}+\frac{d^6}{d}}{a+b+c+d}\geqslant \frac{\frac{(a^3+b^3+c^3+d^3)^2}{a+b+c+d}}{a+b+c+d}=\frac{(a^3+b^3+c^3+d^3)^2}{(a+b+c+d)^2}=\frac{(\frac{a^4}{a}+\frac{b^4}{b}+\frac{c^4}{c}+\frac{d^4}{d})^2}{(a+b+c+d)^2}\geqslant \frac{[\frac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{a+b+c+d}]^2}{(a+b+c+d)^2}=(\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{a+b+c+d})^4\geqslant (\frac{(a+b+c+d)^2}{4(a+b+c+d)})^4=(\frac{a+b+c+d}{4})^4\geqslant abcd$

Cho hai đường thẳng: (d₁): mx+(m−2)y+m+2=0 và (d₂):(2−m)x+my−m−2=0. Chứng minh hai đường thẳng , luôn cắt nhau tại một điểm I và khi m thay đổi thì điểm I luôn thuộc một đường tròn cố định.

Đề không khó lắm, chỉ có câu V.2 là lắc léo

$4\sqrt[3]{8x-3}=8x^3+3\Leftrightarrow 4\sqrt[3]{8x-3}-8x=8x^3-8x+3$

$\Leftrightarrow \frac{4(8x-3-8x^3)}{\sqrt[3]{(8x-3)^2}+2x\sqrt[3]{8x-3}+4x^2}=8x^3-8x+3$

$\Leftrightarrow (8x^3-8x+3)(1+\frac{4}{\sqrt[3]{(8x-3)^2}+2x\sqrt[3]{8x-3}+4x^2})=0$

Dễ thấy $1+\frac{4}{\sqrt[3]{(8x-3)^2}+2x\sqrt[3]{8x-3}+4x^2}>0$ nên $8x^3-8x+3=0\Leftrightarrow (2x-1)(4x^2+2x-3)=0$

Dễ thấy chỉ có nghiệm $x=\frac{1}{2}$ nên tổng các nghiệm hữu tỉ của phương trình là $\frac{1}{2}$

Thanks bạn. Cho mình hỏi thêm là theo cách tìm nghiệm của bạn ,nếu Delta không biến đổi được thành bình phương thì sao ạ?

Theo kinh nghiệm của mình thì hầu như tất cả các bài dạng này đều có delta là bình phương, còn lại nếu không ra bình phương thì phải dùng 1 phương pháp đặc biệt khác

Hình như đáp án của bạn giải phương trình bậc 2 kia sai rồi thì phải?

Theo mình thì $\sqrt{x+4}=-2$ hoặc $\sqrt{x+4}=-4x^2-x+4$ như vậy phương trình trên được viết lại thành $(\sqrt{x+4}+2)(\sqrt{x+4}+4x^2+x-4)=0$

Giả sử một cách dễ hiểu ta đặt $\sqrt{x+4}=t$ thì phương trình trên trở thành: $t^2+(4x^2+x-2)t+(8x^2+2x-8)=0$

Coi đây là phương trình bậc hai theo ẩn $t$ thì các hệ số $\left\{\begin{matrix}a=1 & \\ b=4x^2+x-2 & \\ c=8x^2+2x-8 & \end{matrix}\right.$ (Theo lý thuyết thì phương trình bậc 2 có dạng chung thường gặp là $ax^2+bx+c=0 (*)$, ở đây vai trò của $t$ ở trên và $x$ ở phương trình $(*)$ là như nhau)

Sau khi xác định được các hệ số thì ta tính delta như bình thường: $\Delta =b^2-4ac=(4x^2+x-2)^2-4.1.(8x^2+2x-8)=(4x^2+x-6)^2$ (Cái này dùng phương pháp hệ số bất định hoặc nếu để ý sẽ thấy $8x^2+2x-8=2(4x^2+x-4)$ )

Sau khi có delta thì ráp vào công thức nghiệm $\left\{\begin{matrix}t_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a} & \\ t_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a} & \end{matrix}\right.$ sau đó tìm ra $t=-2x$ hoặc $t=2x+1$ hay $\begin{bmatrix}\sqrt{x+4}=-2x & \\ \sqrt{x+4}=2x+1 & \end{bmatrix}$

Đến đây thì vô cùng đơn giản, giải ra và so sánh điều kiện sẽ có tập nghiệm

Lời giải. Đặt $x=y-k$ khi đó $|T|=\frac{|k|}{(k-y)^4+y^4+6}$

Ta có đánh giá rằng với mọi $a,b\in\mathbb{R}$ thì $a^4+b^4\geqslant \frac{(a+b)^4}{8}$ do đó $|T|=\frac{|k|}{(k-y)^4+y^4+6}\leqslant \frac{|k|}{\frac{k^4}{8}+6}=\frac{|k|}{\frac{k^4}{8}+2+2+2}\leqslant \frac{|k|}{4|k|}=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow \frac{-1}{4}\leqslant T\leqslant \frac{1}{4}$

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^3-y^3=9y^2+36y+63 & \\ x^2-y^2+x=4y & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x^3-y^3=9y^2+36y+63 & \\ x^2-y^2+x=4y & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^3=y^3+9y^2+36y+63 & \\ 3x^2+3x+1=3y^2+12y+1 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x^3+3x^2+3x+1=y^3+12y^2+48y+64\Leftrightarrow (x+1)^3=(y+4)^3\Leftrightarrow x=y+3$

Thay $x=y+3$ vào phương trình (2), ta được: $(y+3)^2-y^2+(y+3)=4y\Leftrightarrow y=-4\Rightarrow x=-1$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(x,y)=(-1,-4)$

Đây cũng là một bổ đề rất hay, thường được sử dụng trong chứng minh

Một bài điển hình:

Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng: $\frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}\leqslant 2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})$

Lời giải.

Từ phương trình (1) suy ra $(y^2+3)y=(x+5)\sqrt{x+2}\Rightarrow y=\sqrt{x+2}$

Thay $y=\sqrt{x+2}$ vào phương trình (2), ta được: $2x^2+16=3[2(x+2)+\sqrt{x^3+8}]\Leftrightarrow 2x^2-6x+4=3\sqrt{x^3+8}\Leftrightarrow (2x^2-6x+4)^2=9(x^3+8)\Leftrightarrow (x^2-6x-4)(4x^2-9x+14)=0$

Đến đây chắc đơn giản rồi 

 

Ôi nhớ ngày xưa ôn chuyên quá...
Giờ già rồi chắc không còn khéo léo như xưa nữa nên mình chắc tay to chút thôi...

 

P.S: Sau khi ngồi làm bài này thì mình thấy khả năng cực cao là sai đề, vì đi thi thế này thì chết hết...

 

\begin{align*} &\phantom{\iff} \sqrt{2\left ( x^{4} +4\right )}-3x^{2}-10x+5=0 \\ &\iff \sqrt{2\left ( x^{4} +4\right )}=3x^{2}+10x-5 \\ &\iff \left\{ \begin{array}{l} 2\left(x^4+4\right)=\left(3x^2+10x-5\right)^2 \\ 3x^2+10x-5\geqslant 0 \end{array}\right. \\ &\iff \left\{ \begin{array}{l} 7 x^4 + 60 x^3 + 70 x^2 - 100 x + 17=0 \\ \left[ \begin{array}{l} x\geqslant \dfrac{-5+2\sqrt{10}}{3} \\ x\leqslant \dfrac{-5-2\sqrt{10}}{3}\end{array}\right.\end{array}\right.  \end{align*}

 

Spoiler

Cứ nghĩ là phương trình có nghiệm hữu tỷ để phân tích thành nhân tử... Thế mà bấm máy ra nghiệm vô tỷ...

 

Sau đây sẽ dùng công thức... Thông thường bài có nghiệm hữu tỷ chả dùng đến đâu...

 

Ta giải phương trình $7 x^4 + 60 x^3 + 70 x^2 - 100 x + 17=0$.`

\begin{align*} &\iff x^4 + \dfrac{60}7 x^3 + 10 x^2 - \dfrac{100}7 x + \dfrac{17}7=0 \\ &\iff \left(x^2+\dfrac{30}{7}x\right)^2=\dfrac{410}{49}x^2+\dfrac{100}{7}x-\dfrac{17}{7} \end{align*}

 

Thêm tham số $y$, ta cộng cả hai vế của phương trình với $\left(x^2+\dfrac{30}{7}x\right)y+\dfrac{y^2}{4}$, thu được

\[\left(x^2+\dfrac{30}{7}x+\dfrac{y}{2}\right)^2=\left(y+\dfrac{410}{49}\right)x^2+\left(\dfrac{30}7 y+ \dfrac{100}{7}\right) x+ \dfrac{y^2}{4}- \dfrac{17}{7} \]

 

Ta sẽ chọn tham số $y$ để vế phải của phương trình trên cũng là bình phương của một đa thức biến $x$. tức là biệt thức của tam thức biến $x$ đó phải bằng $0$.

 

\begin{align*} &\phantom{\iff~} \left(\dfrac{30}{7}y+\dfrac{100}{7}\right)^2-4\left(y+\dfrac{410}{49}\right)\left(\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{17}{7}\right)=0 \\ &\iff -y^3+10y^2+\dfrac{6476}{49}y +\dfrac{97880}{343}=0 \end{align*}

 

Đặt $z=y-\dfrac{10}{3}$, khi đó phương trình có dạng

\[-z^3+\dfrac{24328}{147}z+\dfrac{7408640}{9261}=0\]

 

Đặt $z=\dfrac{4\sqrt{6082}}{21}\cos t$. Khi đó phương trình trở thành $-\dfrac{389248\sqrt{6082}}{9261} \cos^3t+\dfrac{97312\sqrt{6082}}{3087} \cos t+\dfrac{7408640}{9261}=0$

\begin{align*} &\iff -\dfrac{32}{9261}\left(12164\sqrt{6082}\cos^3t-9123\sqrt{6082}\cos t-231520\right)=0 \\ &\iff 12164\sqrt{6082}\cos^3t-9123\sqrt{6082}\cos t-231520=0 \\ &\iff 3041\sqrt{6082} \left(4\cos^3t-\cos t\right)=231520 \\ &\iff \cos 3t=\dfrac{115760\sqrt{6082}}{9247681} \\ &\iff 3t = \pm \arccos\dfrac{115760\sqrt{6082}}{9247681}+k2\pi \quad (k\in \mathbb{Z}) \\ &\iff t = \pm \dfrac13\arccos\dfrac{115760\sqrt{6082}}{9247681}+k\dfrac23\pi \quad (k\in \mathbb{Z}) \end{align*}

 

Từ đó ta có $\left[ \begin{array}{l} z=\dfrac{4\sqrt{6082}}{21}\cos \left(\dfrac13\arccos\dfrac{115760\sqrt{6082}}{9247681}\right) \\z=\dfrac{4\sqrt{6082}}{21}\cos \left(\dfrac13\arccos\dfrac{115760\sqrt{6082}}{9247681}+\dfrac{2\pi}{3}\right) \\z=\dfrac{4\sqrt{6082}}{21}\cos \left(\dfrac13\arccos\dfrac{115760\sqrt{6082}}{9247681}-\dfrac{2\pi}{3}\right)  \end{array}\right.$

 

Khi đó $\left[ \begin{array}{l} y=\dfrac{10}{3}+\dfrac{4\sqrt{6082}}{21}\cos \left(\dfrac13\arccos\dfrac{115760\sqrt{6082}}{9247681}\right) \\y=\dfrac{10}{3}+\dfrac{4\sqrt{6082}}{21}\cos \left(\dfrac13\arccos\dfrac{115760\sqrt{6082}}{9247681}+\dfrac{2\pi}{3}\right) \\y=\dfrac{10}{3}+\dfrac{4\sqrt{6082}}{21}\cos \left(\dfrac13\arccos\dfrac{115760\sqrt{6082}}{9247681}-\dfrac{2\pi}{3}\right)  \end{array}\right.$

 

Ta chọn $y=\dfrac{10}{3}+\dfrac{4\sqrt{6082}}{21}\cos \left(\dfrac13\arccos\dfrac{115760\sqrt{6082}}{9247681}\right)$.

 

Spoiler

Chỗ này chọn $y$ nào cũng được, kết quả thu được vẫn là như nhau...

 

Với $y$ như trên thì ta thu được $\left(x^2+\dfrac{30}{7}x+\dfrac{y}{2}\right)^2=\left(\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}x + \sqrt{\dfrac{y^2}{4}- \dfrac{17}{7}}\right)^2$

\[\iff \left[ \begin{array}{l} x^2+\left(\dfrac{30}{7}+\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}\right)x+\dfrac{y}{2} + \sqrt{\dfrac{y^2}{4}- \dfrac{17}{7}} =0  \\ x^2+\left(\dfrac{30}{7}-\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}\right) x+\dfrac{y}{2}- \sqrt{\dfrac{y^2}{4}- \dfrac{17}{7}} =0 \end{array}\right.\]

 

Giải hai phương trình trên và kết hợp điều kiện $\left[\begin{array}{l} x\geqslant \dfrac{-5+2\sqrt{10}}{3} \\ x\leqslant \dfrac{-5-2\sqrt{10}}{3}\end{array} \right.$ ta thu được các nghiệm

\[\left[\begin{array}{l}x=-\dfrac{30}{14}-\dfrac12\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}+\dfrac12\sqrt{-4\sqrt{\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{17}{7}}-y+\dfrac{60}{7}\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}+\dfrac{1310}{49} } \quad \text{(loại)} \\x=-\dfrac{30}{14}-\dfrac12\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}-\dfrac12\sqrt{-4\sqrt{\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{17}{7}}-y+\dfrac{60}{7}\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}+\dfrac{1310}{49} } \\ x=-\dfrac{30}{14}+\dfrac12\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}+\dfrac12\sqrt{4\sqrt{\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{17}{7}}-y-\dfrac{60}{7}\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}+\dfrac{1310}{49} } \\ x=-\dfrac{30}{14}+\dfrac12\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}-\dfrac12\sqrt{4\sqrt{\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{17}{7}}-y-\dfrac{60}{7}\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}+\dfrac{1310}{49}} \quad \text{(loại)} \end{array}\right.\]

 

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm 

\[\left[\begin{array}{l}x=-\dfrac{30}{14}-\dfrac12\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}-\dfrac12\sqrt{-4\sqrt{\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{17}{7}}-y+\dfrac{60}{7}\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}+\dfrac{1310}{49} } \\ x=-\dfrac{30}{14}+\dfrac12\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}+\dfrac12\sqrt{4\sqrt{\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{17}{7}}-y-\dfrac{60}{7}\sqrt{y+\dfrac{410}{49}}+\dfrac{1310}{49} }  \end{array}\right.\]

với $y=\dfrac{10}{3}+\dfrac{4\sqrt{6082}}{21}\cos \left(\dfrac13\arccos\dfrac{115760\sqrt{6082}}{9247681}\right)$.

 

Cách này có vẻ không được hay cho lắm vì đã có tổng quát giải PTB4

Cho $a;b;c;d>0$ và $abcd=1$.

Chứng minh rằng
$\frac{a^3}{b^2(c^2+d^2)}+\frac{b^3}{c^2(d^2+a^2)}+\frac{c^3}{d^2(a^2+b^2)}+\frac{d^3}{a^2(b^2+c^2)} \geq 2$

Em xin góp một bài

$\boxed{32}$ $\sqrt{2\left ( x^{4} +4\right )}-3x^{2}-10x+5=0$