KietLW9

Cho $a,b,c$ dương và $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{a}{(2-b)(2-c)}}+2\sqrt[3]{\frac{b}{(2-c)(2-a)}}+3\sqrt[4]{\frac{c}{(2-a)(2-b)}}\leqslant 6$

Bất đẳng thức hướng tới kì thi chuyên toán 2021 - 2022

Bài 1: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=14$. Chứng minh: $\frac{4(c+a)}{a^2+3c^2+28}+\frac{4a}{a^2+bc+7}-\frac{5}{(a+b)^2}-\frac{3}{a(b+c)}\leqslant \frac{8}{15}$

              ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Lời giải.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức, ta được: $\frac{a^2}{\frac{1}{2}}+\frac{b^2}{\frac{1}{3}}+\frac{c^2}{\frac{1}{6}}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=(a+b+c)^2$

$\Rightarrow 2a^2+3b^2+6c^2\geqslant (a+b+c)^2\Rightarrow 3a^2+2b^2+5c^2\geqslant 2(a+b)(c+a)$

Mà $a^2+3c^2+28=a^2+3c^2+2(a^2+b^2+c^2)=3a^2+2b^2+5c^2\Rightarrow a^2+3c^2+28\geqslant 2(a+b)(a+c)\Rightarrow \frac{4(c+a)}{a^2+3c^2+28}\leqslant \frac{4(a+c)}{2(a+b)(a+c)}=\frac{2}{a+b}$

Và $\frac{4a}{a^2+bc+7}=\frac{8a}{2a^2+2bc+14}=\frac{8a}{2a^2+a^2+(b+c)^2}\leqslant \frac{8a}{2a^2+2a(b+c)}=\frac{4}{a+b+c}\leqslant \frac{2}{\sqrt{a(b+c)}}$

Do đó: $\frac{4(c+a)}{a^2+3c^2+28}+\frac{4a}{a^2+bc+7}-\frac{5}{(a+b)^2}-\frac{3}{a(b+c)}\leqslant \left [ \frac{2}{a+b}-\frac{5}{(a+b)^2} \right ]+\left [\frac{2}{\sqrt{a(b+c)}}-\frac{3}{a(b+c)}  \right ] = \left [ \frac{1}{5}-5(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{5})^2 \right ]+\left [ \frac{1}{3}-3(\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}-\frac{1}{3})^2 \right ]\leqslant \frac{1}{5}+\frac{1}{3}=\frac{8}{15}$

Bất đẳng thức được chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi $a=3,b=2,c=1$

Một bài bất đẳng thức hay:

Cho $x,y,z>1$ và $xy+yz+zx+xyz=20$. Chứng minh rằng: $(x+y+z-3)(x-1)(y-1)(z-1)\leqslant 3$

Cho $a,b,c$ thực dương và $a^2+b^2+c^2=6$

Tìm giá trị nhỏ nhất của: $\frac{a}{bc}+\frac{2b}{ca}+\frac{5c}{ab}$

Bài này em có lời giải rồi nhưng cân bằng hệ số như thế nào vậy ạ?  

Cho $a,b,c\geqslant 0$ và $a^2+b^2+c^2=2$

Chứng minh: $a^3+b^3+c^3+3abc\geqslant \frac{8a^2b^2}{(a+b+c)^2}$ với $a^2b^2=max\left \{ a^2b^2,b^2c^2,c^2a^2 \right \}$