Cho $a,b,c$ dương và $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{a}{(2-b)(2-c)}}+2\sqrt[3]{\frac{b}{(2-c)(2-a)}}+3\sqrt[4]{\frac{c}{(2-a)(2-b)}}\leqslant 6$
- Diễn đàn Toán học
- → Đang xem trang cá nhân: Chủ đề: KietLW9
Giới thiệu
Những cơn gió còn thổi qua những chiếc xe không thể đi
Mùa màng tiếp tục đổi lá từ nâu sang xanh rì
Không có gì là mãi mãi rồi cái cũ sẽ được thay
Giống như chiếc lá đó khi gió đến nó sẽ bay
Ngôn ngữ lâu không nói giờ chỉ còn tiếng ậm ừ
Chôn giữ lâu không đổi thơ không còn tiện tâm tư
Ngự trên da và thịt chưa phai còn in đậm chữ
Hôn thử đau lòng nhói ở tận âm ư?
Máu phai thịt mất xương sẽ không còn nữa
Đất lấy cây nhai mọi thứ không còn chừa
Tâm đi gặp thánh gột rữa không còn tánh
Xuân sang đông đến chỉ là chiếc lá lìa cành.
Thống kê
- Nhóm: Điều hành viên THCS
- Bài viết: 1641
- Lượt xem: 7753
- Danh hiệu: Đại úy
- Tuổi: 15 tuổi
- Ngày sinh: Tháng ba 28, 2007
-
Giới tính
Nam
-
Đến từ
Quảng Nam
Công cụ người dùng
Lần ghé thăm cuối
Chủ đề của tôi gửi
$\sqrt{\frac{a}{(2-b)(2-c)}}+2\sqrt[3...
21-03-2022 - 17:26
BẤT ĐẲNG THỨC HƯỚNG TỚI KÌ THI CHUYÊN TOÁN 2021-2022
01-03-2022 - 11:33
Bất đẳng thức hướng tới kì thi chuyên toán 2021 - 2022
Bài 1: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=14$. Chứng minh: $\frac{4(c+a)}{a^2+3c^2+28}+\frac{4a}{a^2+bc+7}-\frac{5}{(a+b)^2}-\frac{3}{a(b+c)}\leqslant \frac{8}{15}$
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Lời giải.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức, ta được: $\frac{a^2}{\frac{1}{2}}+\frac{b^2}{\frac{1}{3}}+\frac{c^2}{\frac{1}{6}}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=(a+b+c)^2$
$\Rightarrow 2a^2+3b^2+6c^2\geqslant (a+b+c)^2\Rightarrow 3a^2+2b^2+5c^2\geqslant 2(a+b)(c+a)$
Mà $a^2+3c^2+28=a^2+3c^2+2(a^2+b^2+c^2)=3a^2+2b^2+5c^2\Rightarrow a^2+3c^2+28\geqslant 2(a+b)(a+c)\Rightarrow \frac{4(c+a)}{a^2+3c^2+28}\leqslant \frac{4(a+c)}{2(a+b)(a+c)}=\frac{2}{a+b}$
Và $\frac{4a}{a^2+bc+7}=\frac{8a}{2a^2+2bc+14}=\frac{8a}{2a^2+a^2+(b+c)^2}\leqslant \frac{8a}{2a^2+2a(b+c)}=\frac{4}{a+b+c}\leqslant \frac{2}{\sqrt{a(b+c)}}$
Do đó: $\frac{4(c+a)}{a^2+3c^2+28}+\frac{4a}{a^2+bc+7}-\frac{5}{(a+b)^2}-\frac{3}{a(b+c)}\leqslant \left [ \frac{2}{a+b}-\frac{5}{(a+b)^2} \right ]+\left [\frac{2}{\sqrt{a(b+c)}}-\frac{3}{a(b+c)} \right ] = \left [ \frac{1}{5}-5(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{5})^2 \right ]+\left [ \frac{1}{3}-3(\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}}-\frac{1}{3})^2 \right ]\leqslant \frac{1}{5}+\frac{1}{3}=\frac{8}{15}$
Bất đẳng thức được chứng minh
Dấu bằng xảy ra khi $a=3,b=2,c=1$
$(x+y+z-3)(x-1)(y-1)(z-1)\leqslant 3$
22-02-2022 - 15:35
Một bài bất đẳng thức hay:
Cho $x,y,z>1$ và $xy+yz+zx+xyz=20$. Chứng minh rằng: $(x+y+z-3)(x-1)(y-1)(z-1)\leqslant 3$
Tìm giá trị nhỏ nhất của: $\frac{a}{bc}+\frac{2...
30-01-2022 - 09:21
Cho $a,b,c$ thực dương và $a^2+b^2+c^2=6$
Tìm giá trị nhỏ nhất của: $\frac{a}{bc}+\frac{2b}{ca}+\frac{5c}{ab}$
Bài này em có lời giải rồi nhưng cân bằng hệ số như thế nào vậy ạ?
$a^3+b^3+c^3+3abc\geqslant \frac{8a^2b^2}{(a+b+c)^2}...
18-01-2022 - 22:11
Cho $a,b,c\geqslant 0$ và $a^2+b^2+c^2=2$
Chứng minh: $a^3+b^3+c^3+3abc\geqslant \frac{8a^2b^2}{(a+b+c)^2}$ với $a^2b^2=max\left \{ a^2b^2,b^2c^2,c^2a^2 \right \}$
- Diễn đàn Toán học
- → Đang xem trang cá nhân: Chủ đề: KietLW9
- Privacy Policy
- Nội quy Diễn đàn Toán học ·