$\textbf{Bài toán 1.}$ Cho $P,Q$ là hai đa thức hệ số nguyên, khác đa thức hằng. Xét dãy số $$a_n=2016^{P(n)}+Q(n),\forall n \geq 1$$ Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên tố $p$ thỏa mãn tính chất: Ứng với mỗi số nguyên tố $p$ đó thì luôn tồn tại số nguyên dương $m$ để $p|x_m$.
$\textbf{Lời giải.}$ Ta có: $x_n=2016^{P(n)}-2016^{P(1)}+Q(n)+2016^{P(1)}=2016^{P(n)}-2016^{P(1)}+R(n)$ trong đó $R(n)=Q(n)+2016^{P(1)}$ là đa thức hệ số nguyên, khác hằng.
Theo định lý Schur thì tồn tại vô số số nguyên tố $p>2016$ thỏa mãn tính chất: Tồn tại số nguyên dương $n$ để $p|R(n)$
Theo định lý thặng dư trung hoa ta chọn được số nguyên dương $m$ sao cho $P(m)>P(1),m>p$ và $m\equiv n(\text{mod p})$ đồng thời $m\equiv 1(\text{mod p-1})$
Từ đây ta thấy $p|m-n|R(m)-R(n)\Rightarrow p|R(m)$
Mặt khác thì $p-1|m-1|P(m)-P(1)$ và do $(2016,p)=1$ nên theo định lý Fermat thì $p|2016^{P(m)}-2016^{P(1)}$
Do vậy luôn tồn tại số nguyên dương $m$ để $p|x_m$ mà ta lại chọn được vô hạn số nguyên tố $p$ như vậy nên có ngay điều phải chứng minh.