quanjunior

Tìm tất cả các số nguyên dương x,y sao cho $\frac{x^{2}+1}{y^{2}}+4$ là số chính phương

Giải các phương trình sau

$(3+\sqrt{5-x^{2}})(x^{3}+x)=9x^{2}-4x+12$

$x^{3}-7x^{2}+9x+12=(x-3)(x-2+5\sqrt{x-3})(\sqrt{x-3}-1)$

Bài 97:

Theo giả thuyết $\left\{\begin{matrix} x=za\\y=zb \\ a;b\in N*; (a,b)=1 \end{matrix}\right.$

Phương trình bài ra trở thành $za+z^{2}b^{2}+z^{3}=z^{3}ab\Leftrightarrow a+zb^{2}+z^{2}=z^{2}ab\Leftrightarrow a=z(zab-z-b^{2})$, suy ra a chia hết cho z.$\Rightarrow a=zk (k\in N*)$

Phương trình bài ra trở thành $zk+zb^{2}+z^{2}=z^{3}kb \Leftrightarrow k+b^{2}+z=z^{2}kb \Leftrightarrow k+z=b(z^{2}k-b)$

Đặt$z^{2}k-b=m\; (m \in N*)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} mb=k+z\\ m+b=z^{2}k \end{matrix}\right.$

$mb-m-b+1=k+z-z^{2}k+1=z+1-k(z-1)(z+1)=(z+1)(1-k(z-1))$

Do $mb-m-b+1=(m-1)(b-1)\geqslant 0 \; \forall m,b\in N* \Rightarrow (z+1)(1-k(z-1))\geq 0\Rightarrow k(z-1)\leqslant 1$

dễ thấy $k(z-1)\geqslant 0\; \forall k,z \in N*$

Khi đó xét hai trường hợp sẽ tìm ra được x;y

.

Đáp số: $(x;y)\in \left \{ (5;3);(5;2);(4;2);(4;6) \right \}$

Bài 97: Tìm tất cả các số nguyên dương x;y thoả mãn $x+y^{2}+z^{3}=xyz$ với z là ước chung lớn nhất của x;y

Bài 98: Tìm tất cả các số nguyên dương n thoả mãn $20^{n}-13^{n}-7^{n}\vdots\; 309$

Bài 99: Gọi d(n) là số ước dương của số nguyên dương n ( bao gồm 1 và n). Tìm n để $a = \frac{n}{d(n)}$ là một số nguyên tố

Bài 100: Tìm tất cả các số nguyên x,y,z thoả mãn $xy+yz+zx-xyz=2$

Bài 87: Tìm tất cả các số nguyên tố p,q thoả mãn $2p-1, 2q-1, 2pq-1$ đều là số chính phương. 

Tìm các số nguyên tố p,q sao cho 2p-1, 2q-1, 2pq-1 đều là các số chính phương