DaiphongLT

Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$, đường cao $AD, CF$. Đường thẳng qua $O$ vuông góc với $OC$ cắt $BC$ tại $S$, dựng hình bình hành $AOSJ$. $AD$ cắt $(O)$ tại $G$. Chứng minh $GF$ và $CJ$ cắt nhau tại một điểm thuộc $(O)$.
P/s: một bài toán vui

Mặc dù mình chưa đọc nhưng Hoang72 đưa ra lời giải nhanh quá  
Thực ra đây là bài toán mình kết hợp giữa bài hình ELMO 2016 và một số bài toán mà mình đã làm
Ý tưởng của mình là như sau (có vẻ là hơi khác so với lời giải của Hoang72):
Gọi $A_1$ đối xứng với $A$ qua $BC$. Khi đó ta sẽ chứng minh $S$ là tâm $(A_1B_1C_1)$
Kết hợp với kết quả từ bài hình ELMO 2016 ta có được $AO_2\perp BC$
Do đó ta chỉ cần chứng minh $AS$ và $AO_1$ đẳng giác trong $\widehat{BAC}$. Điều này hiển nhiên theo phép nghịch đảo đối xứng cực $A$ phương tích $AB.AC$

Cho $\Delta ABC$ nhọn $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $B_1$ và $C_1$ lần lượt là các điểm đối xứng với $B, C$ qua $AC, AB$. $O'$ đối xứng với $O$ qua $A$. $O_1$, $O_2$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của $(OB_1C_1), (O'B_1C_1)$. $K$ là điểm $Kosnita$ của $\Delta ABC$. $S$ đối xứng với $O$ qua $K$. Chứng minh rằng $\widehat{O_1AO'}=\widehat{O_2AS}$.

mik ko hiểu lắm. Bạn nói rõ hơn đoạn CM TG vuông góc BC để lm gì và áp dụng đt gauss ntn đc ko

Có được $TG\perp BC$ thì gọi $I$ là trung điểm $AT$ $\Rightarrow OI//TG$ hay $OI\perp BC$. 
Mà $OB=OC$ nên hiển nhiên $IB=IC$
Gọi $N$ là trung điểm $EF$ thì theo tính chất đường thẳng $Gauss$ $\Rightarrow \overline{I,N,M}$
Mặt khác $IB=IC$, $MB=MC$ nên $NB=NC$. Đpcm

Gợi ý cho bạn một cách giải sau:
Gọi $BE$ cắt $CF$ tại $T$, $AO$ cắt $(O)$ tại $G$. 
Chứng minh $TG\perp BC$. Để chứng minh phần này thì bạn chứng minh bằng cách: $TB^2-TC^2=GB^2-GC^2$ (đồng dạng và định lí $Pytago$)
Sau đó áp dụng đường thẳng $Gauss$ cho chứ giác toàn phần $AFTE.BC$

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$, gọi $(K)$ là đường tròn tiếp xúc với $AC$, $AB$ và tiếp xúc trong với $(O)$ tại $D$. Kẻ đường kính $AS$ của $(O)$, tiếp tuyến tại $S$ của $(O)$ cắt đường thẳng qua $O$ $//$ $SD$ tại $T$. $P$ là điểm đối xứng với $D$ qua $TK$. Chứng minh $(PBC)$ tiếp xúc $(K)$.
P/s: một bài toán mình thấy khá thú vị, mời các bạn thử

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$. Các đường cao $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ đồng quy tại $H$. $P$ là điểm bất kì trên $OH$. $AP$, $BP$, $CP$ cắt $(O)$ lần lượt tại $A_2$, $B_2$, $C_2$. $A_3$, $B_3$, $C_3$ là các điểm đối xứng với $A_2$, $B_2$, $C_2$ qua $A_1$, $B_1$, $C_1$. Chứng minh $H$, $A_3$, $B_3$, $C_3$ đồng viên.
Góp cho bạn bài toán có cấu hình gần giống bài 1

Cho tam giác ABC, P là một điểm trong tam giác. AP cắt (BPC) tại $A_{1}$ (khác P). Tương tự cho $B_{1},C_{1}$. Gọi X,Y, Z lần lượt là tâm $(PB_1C_1),(PC_1A_1),(PA_1B_1)$. Chứng minh rằng (XAP), (YBP), (ZCP) có một điểm chung khác P.

Xét phép nghịch đảo tâm $P$ phương tích $k$ bất kì
Đưa về bài toán sau: Cho $\Delta ABC$ với điểm $P$ nằm trong tam giác $AP$, $BP$, $CP$ cắt các cạnh tại $A_1$, $B_1$, $C_1$ . $X$, $Y$, $Z$ đối xứng với $P$ qua $B_1C_1$, $C_1A_1$, $A_1B_1$. Chứng minh $AX$, $BY$, $CZ$ đồng quy
https://www.facebook...300052160478291
Bạn tham khảo ở link này
Sr hqua mình không để ý tâm nghịch đảo $P$

Bài 16: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$. $P$ bất kì trong $\Delta ABC$, đường thẳng qua $P$ vuông góc với $CA$, $AB$ cắt $BC$ tại $X$, $Y$. $(PBX)$ cắt $AB$ tại $Z$, $(PCY)$ cắt $CA$ tại $T$
a) Chứng minh $P$, $Z$, $T$ thẳng hàng
b) Tiếp tuyến tại $T$ của $(PCY)$ cắt tiếp tuyến tại $Z$ của $(PBX)$ tại $K$. Chứng minh $KA$ đi qua một trong 2 giao điểm của $(KZT)$ và $(O)$
P/s: góp cho các bạn bài này, đây là bài kiểm tra của lớp 10 nhưng có vẻ nó chỉ áp dụng các kiến thức THCS. Mời các bạn thử nhé!

Cho $\Delta ABC$ có các đường cao $AD$, $BE$, $CF$. $M$, $N$ trung điểm $BC$, $EF$. Đường thẳng qua $M$ $//$ $EF$ cắt $DF$ và $DE$ tại $P$ và $Q$. $BP$ cắt $CQ$ tại $R$. Chứng minh tâm $(MNR)$ nằm trên $AD$

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$, trực tâm $H$. $M$ là điểm chính giữa $\widehat{BAC}$ của $(O)$, $P$ thuộc $HM$ sao cho $OP$ $//$ $AM$. $X, Y, Z$ là hình chiếu của $P$ lên các cạnh của $\Delta ABC$. Chứng minh $(XYZ)$ đi qua trung điểm $HM$.

$\boxed{29}$ Cho $\Delta ABC$ cân tại $A$ nội tiếp $(O)$, $D$ thuộc $BC$ và dựng hình bình hành $AEDF$ ($E$, $F$ thuộc $AC$, $AB$). $G$ đối xứng với $D$ qua $EF$. $DE$ cắt $(AEF)$ tại $H$ . $K$ thuộc $(O)$ sao cho $\widehat{KGH}=90^{\circ}$ , $L$ thuộc $(AEF)$ sao cho $\widehat{LGC}=90^{\circ}$. Gọi $P$, $Q$ lần lượt là tâm $(GKD)$, $(GLD)$. Chứng minh $AGQP$ nội tiếp
P/s: bài này hay

Tiếp ngày kiểm tra thứ 2   
$\boxed{23}$ Cho hình bình hành $ABCD$, đường thẳng qua $A$ vuông góc với $BD$ cắt $CD$, $CB$ tại $E$, $F$. Gọi $P$ đối xứng với $E$ qua $D$, $Q$ đối xứng với $F$ qua $B$. Các đường thẳng qua $A$, $P$, $Q$ theo thứ tự vuông góc với $AE$, $CD$, $CB$ cắt nhau tạo thành $\Delta XYZ$. Chứng minh $(XYZ)$ tiếp xúc với $(CDB)$.

$\boxed{22}$: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$. Lấy $M$, $P$ thuộc $AB$ sao cho $AM$ $=$ $BP$. $N$, $Q$ thuộc $AC$ sao cho $AN$ $=$ $CQ$. $(AMN)$ và $(APQ)$ cắt $(O)$ tại $E$, $F$. $(AMN)$ cắt $(APQ)$ tại $D$. $G$ đối xứng với $A$ qua $D$. Chứng minh $AEGF$ là tứ giác điều hòa.
P/s: Đề kiểm tra lớp mk vừa rồi

Ồ mk quên, $I$ là giao của $BE$, $CF$. $D$ là giao của $AI$ và $BC$